Татбиқи бефосилагӣ дар ҳалли нобаробариҳо - Алгебра — синфи 10
Хосияти асосӣ
Ин хосияти бефосилагист (графики бефосила аз тир бе буридан намегузарад); мо онро бе исбот қабул мекунем. Ин хосият усули фосилаҳоро, ки аз синфи 9 медонем, асос медиҳад ва имкон медиҳад, ки нобаробариҳои f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0
Нақшаи ҳал:
Нулҳои функсияро меёбем (нуқтаҳое, ки f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0
навбатӣ 45. Ҳосила дар физика ва техника 1 соат
Ин нуқтаҳо тири ададиро ба фосилаҳо ҷудо мекунанд; дар ҳар як фосила f f f Барои фаҳмидани аломат дар ҳар як фосила қимати f f f Ба тир хати мавҷиро мекашем: дар фосилаҳои f > 0 f > 0 f > 0 f < 0 f < 0 f < 0 Агар нобаробарӣ ғайриқатъӣ бошад (≥ \ge ≥ ё ≤ \le ≤ махраҷ ҳамеша кушода мемонанд (○): ба нол тақсим кардан мумкин нест.
Мисолҳо Мисоли 1. x 2 − 4 x + 3 x 2 − 4 > 0. \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 4} > 0. x 2 − 4 x 2 − 4 x + 3 > 0. x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 , x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0, x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1 , x = 3. x = 3. x = 3. x = ± 2 x = \pm 2 x = ± 2 ( − ∞ ; − 2 ) , (-\infty;\,-2), ( − ∞ ; − 2 ) , ( − 2 ; 1 ) , (-2;\,1), ( − 2 ; 1 ) , ( 1 ; 2 ) , (1;\,2), ( 1 ; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , (2;\,3), ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; + ∞ ) . (3;\,+\infty). ( 3 ; + ∞ ) .
Аломатро санҷем: x = 4 x = 4 x = 4 3 12 > 0 \dfrac{3}{12} > 0 12 3 > 0 (+ + + x = 2,5 x = 2{,}5 x = 2 , 5 ( 1,5 ) ( − 0,5 ) < 0 , (1{,}5)(-0{,}5) < 0, ( 1 , 5 ) ( − 0 , 5 ) < 0 , > 0 > 0 > 0 (− - − x = 1,5 x = 1{,}5 x = 1 , 5 ( 0,5 ) ( − 1,5 ) < 0 , (0{,}5)(-1{,}5) < 0, ( 0 , 5 ) ( − 1 , 5 ) < 0 , − 1,75 < 0 -1{,}75 < 0 − 1 , 75 < 0 (+ + + x = 0 x = 0 x = 0 3 − 4 \dfrac{3}{-4} − 4 3 (− - − x = − 3 x = -3 x = − 3 24 5 \dfrac{24}{5} 5 24 (+ + + Аломатҳо: + , − , + , − , + +,\ -,\ +,\ -,\ + + , − , + , − , +
Ҷавоб: ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) . (-\infty;\,-2) \cup (1;\,2) \cup (3;\,+\infty). ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 1 ; 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) .
Мисоли 2. x ( 2 x − 3 ) x + 1 ≤ 0. \dfrac{x(2x - 3)}{x + 1} \le 0. x + 1 x ( 2 x − 3 ) ≤ 0. 0 0 0 3 2 ; \dfrac{3}{2}; 2 3 ; − 1. -1. − 1. ( − ∞ ; − 1 ) , (-\infty;\,-1), ( − ∞ ; − 1 ) , ( − 1 ; 0 ) , (-1;\,0), ( − 1 ; 0 ) , ( 0 ; 3 2 ) , \left(0;\,\dfrac{3}{2}\right), ( 0 ; 2 3 ) , ( 3 2 ; + ∞ ) . \left(\dfrac{3}{2};\,+\infty\right). ( 2 3 ; + ∞ ) . − , + , − , + . -,\ +,\ -,\ +. − , + , − , + . x = 0 x = 0 x = 0 x = 3 2 x = \dfrac{3}{2} x = 2 3 x = − 1 x = -1 x = − 1
Ҷавоб: ( − ∞ ; − 1 ) ∪ [ 0 ; 3 2 ] . (-\infty;\,-1) \cup \left[0;\,\dfrac{3}{2}\right]. ( − ∞ ; − 1 ) ∪ [ 0 ; 2 3 ] .
Мисоли 3. Соҳаи муайянии y = x 4 − 5 x 2 + 4 y = \sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} y = x 4 − 5 x 2 + 4 x 4 − 5 x 2 + 4 ≥ 0. x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0. x 4 − 5 x 2 + 4 ≥ 0. t = x 2 : t = x^2: t = x 2 : t 2 − 5 t + 4 = 0 , t^2 - 5t + 4 = 0, t 2 − 5 t + 4 = 0 , t = 1 t = 1 t = 1 t = 4 , t = 4, t = 4 , x = ± 1 x = \pm 1 x = ± 1 x = ± 2. x = \pm 2. x = ± 2. ( x − 2 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) . (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2). ( x − 2 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) . − 2 , − 1 , 1 , 2 -2,\,-1,\,1,\,2 − 2 , − 1 , 1 , 2 + , − , + , − , + . +,\ -,\ +,\ -,\ +. + , − , + , − , + . D ( y ) = ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ − 1 ; 1 ] ∪ [ 2 ; + ∞ ) . D(y) = (-\infty;\,-2] \cup [-1;\,1] \cup [2;\,+\infty). D ( y ) = ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ − 1 ; 1 ] ∪ [ 2 ; + ∞ ) .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Нобаробариҳоро бо усули фосилаҳо ҳал кунед:
а) ( x − 3 ) ( x − 4 ) > 0 ; (x - 3)(x - 4) > 0; ( x − 3 ) ( x − 4 ) > 0 ;
б) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≥ 0 ; (x + 1)(x - 2) \ge 0; ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≥ 0 ;
в) ( x + 0,5 ) ( x − 1 ) ( x − 6 ) < 0 ; (x + 0{,}5)(x - 1)(x - 6) < 0; ( x + 0 , 5 ) ( x − 1 ) ( x − 6 ) < 0 ;
г) ( x − 0,5 ) ( x + 2 ) ( x − 7 ) ≥ 0 ; (x - 0{,}5)(x + 2)(x - 7) \ge 0; ( x − 0 , 5 ) ( x + 2 ) ( x − 7 ) ≥ 0 ;
д) ( x − 1 ) ( x − 2 ) x 2 − 9 < 0 ; \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x^2 - 9} < 0; x 2 − 9 ( x − 1 ) ( x − 2 ) < 0 ;
е) x 2 − 4 ( x + 1 ) ( x − 3 ) ≥ 0 ; \dfrac{x^2 - 4}{(x + 1)(x - 3)} \ge 0; ( x + 1 ) ( x − 3 ) x 2 − 4 ≥ 0 ;
ж) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) ( x − 6 ) < 0 ; \dfrac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 5)(x - 6)} < 0; ( x − 5 ) ( x − 6 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) < 0 ;
з) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ≥ 0. \dfrac{(x - 2)(x - 5)}{(x + 2)(x + 5)} \ge 0. ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ≥ 0.
2. Нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) 7 x 2 − 3 x − 4 ≥ 0 ; 7x^2 - 3x - 4 \ge 0; 7 x 2 − 3 x − 4 ≥ 0 ;
б) 2 x 2 − 5 x + 3 < 0 ; 2x^2 - 5x + 3 < 0; 2 x 2 − 5 x + 3 < 0 ;
в) 3 x 2 − x − 10 > 0 ; 3x^2 - x - 10 > 0; 3 x 2 − x − 10 > 0 ;
г) x 2 − 8 x − 9 ≤ 0 ; x^2 - 8x - 9 \le 0; x 2 − 8 x − 9 ≤ 0 ;
д) x 4 − 4 x 2 + 3 ≤ 0 ; x^4 - 4x^2 + 3 \le 0; x 4 − 4 x 2 + 3 ≤ 0 ;
е) x 4 − 3 x 2 + 2 ≥ 0. x^4 - 3x^2 + 2 \ge 0. x 4 − 3 x 2 + 2 ≥ 0.
3. Соҳаи муайянии функсияро ёбед:
а) y = x 3 + 5 x 2 − x − 5 ; y = \sqrt{x^3 + 5x^2 - x - 5}; y = x 3 + 5 x 2 − x − 5 ;
б) y = 5 x − 4 − x 2 x 2 + 1 . y = \sqrt{\dfrac{5x - 4 - x^2}{x^2 + 1}}. y = x 2 + 1 5 x − 4 − x
4. Дар кадом қиматҳои x x x
а) x 3 + 1 ( 3 − x ) ( x 2 + 1 ) ; \dfrac{x^3 + 1}{\sqrt{(3 - x)(x^2 + 1)}}; ( 3 − x ) ( x 2 + 1 ) x 3 + 1 ;
б) 1 x − 1 + x x 2 − 9 + x 3 ? \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} + \dfrac{x}{3}\ ? x − 1 1 +
Дар хона 5. Нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) ( x − 4 ) 2 ( x + 4 ) 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 3 ) 2 ≤ 0 ; \dfrac{(x - 4)^2(x + 4)^3(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)^2} \le 0; ( x + 1 ) ( x − 3 ) 2 ( x − 4 ) 2 ( x + 4 ) 3 ( x − 1 ) ≤ 0 ;
б) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) 4 x 3 ( x − 4 ) 2 ≤ 0 ; \dfrac{(x + 1)(x + 2)(x + 3)^4}{x^3(x - 4)^2} \le 0; x 3 ( x − 4 ) 2 ( x + 1 ) ( x + 2
в) ( x 2 − 4 ) ( x + 3 ) ( x 3 − 1 ) ≥ 0 ; (x^2 - 4)(x + 3)(x^3 - 1) \ge 0; ( x 2 − 4 ) ( x + 3 ) ( x 3 − 1 ) ≥ 0 ;
г) ( x 4 − 1 ) ( x 3 + 8 ) ( x − 3 ) ≥ 0 ; (x^4 - 1)(x^3 + 8)(x - 3) \ge 0; ( x 4 − 1 ) ( x 3 + 8 ) ( x − 3 ) ≥ 0 ;
д) x − 2 5 − x > 1 ; \dfrac{x - 2}{5 - x} > 1; 5 − x x − 2 > 1 ;
е) 3 x 3 + x 2 + 12 x − 2 > x 3 − 3 x 2 − 4 x + 12. 3x^3 + x^2 + 12x - 2 > x^3 - 3x^2 - 4x + 12. 3 x 3 + x 2 + 12 x − 2 > x 3 −
Такрор (дар хона) 6. Оё муодилаҳо (а–д) ва нобаробариҳои (е–и) баробарқувваанд?
а) x 2 + 14 = 7 x + 4 x^2 + 14 = 7x + 4 x 2 + 14 = 7 x + 4 ( x − 5 ) ( x − 2 ) = 0 ; (x - 5)(x - 2) = 0; ( x − 5 ) ( x − 2 ) = 0 ;
б) x 2 − 3 x + 2 = 0 x^2 - 3x + 2 = 0 x 2 − 3 x + 2 = 0 x 3 + 3 x + 2 = 0 ; x^3 + 3x + 2 = 0; x 3 + 3 x + 2
в) 3 x − 7 = 5 x + 5 3x - 7 = 5x + 5 3 x − 7 = 5 x + 5 2 ( x + 6 ) = 0 ; 2(x + 6) = 0; 2 ( x + 6 ) = 0 ;
г) 1 5 ( 2 x − 1 ) = 1 \dfrac{1}{5}(2x - 1) = 1 5 1 ( 2 x − 1 ) = 1 3 x − 1 8 = 1 ; \dfrac{3x - 1}{8} = 1; 8
д) ( x − 5 ) 2 = 3 ( x − 5 ) (x - 5)^2 = 3(x - 5) ( x − 5 ) 2 = 3 ( x − 5 ) x − 5 = 3 ; x - 5 = 3; x − 5 = 3 ;
е) 2 x − 1 ≥ 2 2x - 1 \ge 2 2 x − 1 ≥ 2 2 ( x − 1 ) ≥ 1 ; 2(x - 1) \ge 1; 2 ( x − 1 ) ≥ 1 ;
ж) ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 (x - 1)(x + 2) < 0 ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 x 2 + x < 2 ; x^2 + x < 2; x 2 + x < 2 ;
з) ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 3 x + 3 (x - 2)(x + 1) < 3x + 3 ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 3 x + 3 x − 2 < 3 ; x - 2 < 3; x − 2 < 3 ;
и) x ( x + 3 ) ≥ 2 x x(x + 3) \ge 2x x ( x + 3 ) ≥ 2 x x 2 ( x + 3 ) ≥ 2 x 2 . x^2(x + 3) \ge 2x^2. x 2 ( x + 3 ) ≥ 2 x
7. Ифодаи 1 + sin α − cos 2 α − sin 3 α 2 sin 2 α + sin α − 1 \dfrac{1 + \sin\alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1} 2 sin 2 α + sin α − 1 1 + sin α − cos 2 α − sin 3 α
8. Ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) sin α + cos α ; \sin\alpha + \cos\alpha; sin α + cos α ;
б) 2 sin α + 3 . 2\sin\alpha + \sqrt{3}. 2 sin α + 3 .
9. Барои кадом қиматҳои x x x f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 11 11 11
10. Суммаи − 17 + ( − 14 ) + ( − 11 ) + … + 13 -17 + (-14) + (-11) + \ldots + 13 − 17 + ( − 14 ) + ( − 11 ) + … + 13
11. Аз ду шаҳр, ки масофаи байнашон 700 700 700 20 20 20 5 5 5
12. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
а) y = 9 x 13 − 4 x ; y = 9x^{13} - 4x; y = 9 x 13 − 4 x ;
б) y = 3 cos x − 7 sin x . y = 3\cos x - 7\sin x. y = 3 cos x − 7 sin x .
Вазифаи хонагӣ
Машқи 5; такрор: машқҳои 6–12.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: Татбиқи бефосилагӣ дар ҳалли нобаробариҳо».
Хулоса
Функсияи бефосила дар фосилаи беҳадди нул аломатро нигоҳ медорад.
Нақша: нулҳо ва нуқтаҳои канда → фосилаҳо → аломат дар як нуқта → хати мавҷӣ.
Нобаробарии ғайриқатъӣ: нулҳои сурат дохил; нулҳои махраҷ ҳамеша кушода.
Соҳаи муайянии f ( x ) \sqrt{f(x)} f ( x ) f ( x ) ≥ 0. f(x) \ge 0. f ( x ) ≥ 0.
Худро санҷед. Ҳар сатрро бо ✓ ё ✗ нишон диҳед:
Нақшаи ҳалли нобаробариро аз ёд навишта метавонам.
Медонам, кай нуқта кушода ва кай пур аст.
Соҳаи муайянии функсияи решадорро бо нобаробарӣ меёбам.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки функсияи бефосила дар фосилае, ки нул надорад, аломатро нигоҳ медорад.Ман метавонам нобаробариҳои қатъӣ ва ғайриқатъии ратсионалиро бо усули фосилаҳо ҳал кунам.Ман метавонам соҳаи муайянии функсияи решадорро ба воситаи нобаробарӣ ёбам. Такрор (2 дақиқа)
( x − 1 ) ( x + 2 ) > 0 (x - 1)(x + 2) > 0 ( x − 1 ) ( x + 2 ) > 0 Нули махраҷ ба ҷавоби нобаробарии x − 1 x + 2 ≥ 0 \dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 0 x + 2 x − 1 ≥ 0
x − 3 \sqrt{x - 3} x − 3 x x x Ҷавобҳо
( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) . (-\infty;\,-2) \cup (1;\,+\infty). ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) . x = − 2 x = -2 x = − 2 x = 1 x = 1 x = 1 Вазъият барои андешаронӣ Функсияи f ( x ) = x − 1 x + 2 f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2} f ( x ) = x + 2 x − 1 x = 0 x = 0 x = 0 f ( 0 ) = − 1 2 . f(0) = -\dfrac{1}{2}. f ( 0 ) = − 2 1 . f f f − 2 -2 − 2 1 1 1
Хосият Агар функсияи f ( x ) f(x) f ( x ) ( a ; b ) (a;\,b) ( a ; b ) 0 0 0 f f f
Хати мавҷӣ: дар фосилаҳои «+» хат аз болои тир, дар фосилаҳои «−» аз поёни тир. Калимаҳои калидӣ усули фосилаҳо нули функсия хати мавҷӣ нобаробарии қатъӣ нобаробарии ғайриқатъӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро дар хати мавҷӣ аломат дар нули махраҷ ҳам иваз мешавад? Мисоли худро биёред.
Дар нобаробарии ғайриқатъии x − 3 x + 1 ≥ 0 \dfrac{x - 3}{x + 1} \ge 0 x + 1 x − 3 ≥ 0 x = − 1 x = -1 x = − 1
Дар нобаробарии ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 4 ≥ 0 \dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 4} \ge 0 x − 4 ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≥ 0
Як ҷавобро интихоб кунед A x = 4 x = 4 x =
B C D Ҳар се нуқта ( x + 1 ) ( x − 3 ) x − 1 < 0 \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{x - 1} < 0 x − 1 ( x + 1 ) ( x − 3 ) < 0
Як ҷавобро интихоб кунед A ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 1 ; 3 ] (-\infty;\ -1] \cup [1;\ 3]
B C D Соҳаи муайянии y = x 2 − x − 6 y = \sqrt{x^2 - x - 6} y = x 2 − x − 6
Як ҷавобро интихоб кунед A ( − ∞ ;
B C D 2
.
3 x ?
)
(
x
+
3
) 4
≤
0 ;
3 x 2 −
4 x +
12.
=
0 ;
3
x
−
1
=
1 ;
2
.
4
( − ∞ ; − 1 ] ∪
[ 1 ; 3 ]
( − 1 ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (-1;\ 1) \cup (3;\ +\infty) ( − 1 ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )
( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 1 ; 3 ) (-\infty;\ -1) \cup (1;\ 3) ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 1 ; 3 )
− 3 ] ∪ [ 2 ; + ∞ ) (-\infty;\ -3] \cup [2;\ +\infty) ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 2 ; + ∞ )
( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) (-\infty;\ -2] \cup [3;\ +\infty) ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )
