47 · 3/3. Экстремум бо ёрии ҳосилаи тартиби дуюм - Алгебра — синфи 10
Нишонаи дуюм
Ин теоремаро ин ҷо бе исбот меорем. Маъно: f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0) > 0 f ′′ ( x 0 ) > 0 f ′ f' f ′ x 0 x_0
навбатӣ 48 · 1/2. Нақшаи тадқиқи функсия 1 соат
x 0
Санҷем бо Мисоли 1-и дарси гузашта (y = x 3 − 9 x 2 + 24 x y = x^3 - 9x^2 + 24x y = x 3 − 9 x 2 + 24 x f ′ = 3 x 2 − 18 x + 24 , f' = 3x^2 - 18x + 24, f ′ = 3 x 2 − 18 x + 24 , f ′ ( 2 ) = f ′ ( 4 ) = 0 , f'(2) = f'(4) = 0, f ′ ( 2 ) = f ′ ( 4 ) = 0 , f ′ ′ = 6 x − 18. f'' = 6x - 18. f ′′ = 6 x − 18. f ′ ′ ( 2 ) = − 6 < 0 f''(2) = -6 < 0 f ′′ ( 2 ) = − 6 < 0 f ′ ′ ( 4 ) = 6 > 0 f''(4) = 6 > 0 f ′′ ( 4 ) = 6 > 0 y max = 20 , y_{\max} = 20, y m a x = 20 , y min = 16. y_{\min} = 16. y m i n = 16.
Мисолҳо Мисоли 1. Бо нишонаи дуюм тадқиқ мекунем.
а) f ( x ) = x 3 − 3 x + 4. f(x) = x^3 - 3x + 4. f ( x ) = x 3 − 3 x + 4. f ′ = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 , f' = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) = 0, f ′ = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 , x = ± 1. x = \pm 1. x = ± 1. f ′ ′ = 6 x : f'' = 6x: f ′′ = 6 x : f ′ ′ ( 1 ) = 6 > 0 f''(1) = 6 > 0 f ′′ ( 1 ) = 6 > 0 f ′ ′ ( − 1 ) = − 6 < 0 f''(-1) = -6 < 0 f ′′ ( − 1 ) = − 6 < 0 y min = f ( 1 ) = 1 − 3 + 4 = 2 , y max = f ( − 1 ) = − 1 + 3 + 4 = 6. y_{\min} = f(1) = 1 - 3 + 4 = 2, \qquad y_{\max} = f(-1) = -1 + 3 + 4 = 6. y m i n = f ( 1 ) = 1 − 3 + 4 = 2
б) f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16. f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16. f ′ = 4 x 3 − 16 x = 4 x ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 , f' = 4x^3 - 16x = 4x(x - 2)(x + 2) = 0, f ′ = 4 x 3 − 16 x = 4 x ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 , x = − 2 , 0 , 2. x = -2,\ 0,\ 2. x = − 2 , 0 , 2. f ′ ′ = 12 x 2 − 16 : f'' = 12x^2 - 16: f ′′ = 12 x 2 − 16 : f ′ ′ ( ± 2 ) = 32 > 0 , f''(\pm 2) = 32 > 0, f ′′ ( ± 2 ) = 32 > 0 , f ′ ′ ( 0 ) = − 16 < 0. f''(0) = -16 < 0. f ′′ ( 0 ) = − 16 < 0.
x x x − 2 -2 − 2 0 0 0 2 2 2 f ′ f' f ′ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f ′ ′ f'' f ′′ 32 32 32 − 16 -16 − 16 32 32 32 f f f min max min
y min = f ( ± 2 ) = 16 − 32 + 16 = 0 , y_{\min} = f(\pm 2) = 16 - 32 + 16 = 0, y m i n = f ( ± 2 ) = 16 − 32 + 16 = 0 , y max = f ( 0 ) = 16. y_{\max} = f(0) = 16. y m a x = f ( 0 ) = 16.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Функсияро бо ёрии ҳосилаи тартиби дуюм доир ба экстремум тадқиқ намоед:
а) f ( x ) = x 3 ( x − 1 ) 2 ; f(x) = x^3(x - 1)^2; f ( x ) = x 3 ( x − 1 ) 2 ;
б) f ( x ) = 3 x 5 − x 4 − 1 ; f(x) = 3x^5 - x^4 - 1; f ( x ) = 3 x 5 − x 4 − 1 ;
в) f ( x ) = 4 x ( 2 − x 2 ) ; f(x) = \dfrac{4}{x(2 - x^2)}; f ( x ) = x ( 2 − x 2 ) 4 ;
г) f ( x ) = x 2 x 2 + 1 . f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}. f ( x ) = x 2 + 1 x 2 .
Такрор (дар хона) 2. Қатора аз назди одами дар платформа беҳаракат истода дар 6 6 6 150 150 150 15 15 15
а) 3 ( 0,5 : 1,25 + 7 5 ) : 1 4 7 − 3 11 ( 1,5 + 1 4 ) : 18 1 3 ; \dfrac{3\left(0{,}5 : 1{,}25 + \dfrac{7}{5}\right) : 1\dfrac{4}{7} - \dfrac{3}{11}}{\left(1{,}5 + \dfrac{1}{4}\right) : 18\dfrac{1}{3}}; ( 1 , 5 + 4 1 ) : 18 3 1 3 ( 0 , 5 : 1 , 25 + 5 7 ) : 1 7 4 − 11 ;
б) ( 3,75 + 2,5 2 1 3 − 1,875 − 2,75 − 1,5 8 1 8 + 1,5 ) : 10 11 . \left(\dfrac{3{,}75 + 2{,}5}{2\dfrac{1}{3} - 1{,}875} - \dfrac{2{,}75 - 1{,}5}{8\dfrac{1}{8} + 1{,}5}\right) : \dfrac{10}{11}. 2 3
а) a 2 + 2 a − 15 a 2 − 9 ; \dfrac{a^2 + 2a - 15}{a^2 - 9}; a 2 − 9 a 2 + 2 a − 15 ;
б) 2 b 2 − 5 b − 3 b 2 + b − 6 ; \dfrac{2b^2 - 5b - 3}{b^2 + b - 6}; b 2 + b − 6 2 b 2 − 5 b − 3 ;
в) 2 c 2 − 3 c − 2 c 2 + 3 c − 10 . \dfrac{2c^2 - 3c - 2}{c^2 + 3c - 10}. c 2 + 3 c − 10 2 c 2 − 3 c − 2 .
5. Исбот кунед, ки суммаи
1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + … + 1 n ( n + 1 ) \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} 1 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 4 1 + … + n ( n + 1 ) 1 n n + 1 \dfrac{n}{n + 1} n + 1 n
6. Муодиларо ҳал кунед:
x 2 3 + 48 x 2 = 10 ( x 3 − 4 x ) . \frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 10\left(\frac{x}{3} - \frac{4}{x}\right). 3 x 2 + x 2 48 = 10 ( 3 x − x 4 ) .
7. Чор адади пай дар пайи натуралиро ёбед, ки ҳосили зарбашон ба 5040 5040 5040
8. Ҳосилаи тартиби дуюми функсияро ёбед:
а) y = 4 x − 3 sin 2 x ; y = 4x - 3\sin 2x; y = 4 x − 3 sin 2 x ;
б) y = 5 x + 3 cos 5 x . y = 5x + 3\cos 5x. y = 5 x + 3 cos 5 x .
9. Исбот кунед, ки функсияи y = x + 1 x y = x + \dfrac{1}{x} y = x + x 1 ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 ) (-1;\,0) \cup (0;\,1) ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 )
10. Агар y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 x x x − 3 y ′ + 8 y -3y' + 8y − 3 y ′ + 8 y 0 0 0
Вазифаи хонагӣ
Такрор: машқҳои 2–10.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 47. Нуқтаҳои критикӣ ва экстремуми функсия».
Хулоса
Нуқтаи статсионарӣ: f ′ ( x 0 ) = 0 ; f'(x_0) = 0; f ′ ( x 0 ) = 0 ; f ′ f' f ′
Теоремаи Ферма: экстремум ⟹ \Longrightarrow ⟹ f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ′ f' f ′
Нишонаи 1: f ′ f' f ′ + + + − - − − - − + + +
Нишонаи 2: f ′ ( x 0 ) = 0 , f'(x_0) = 0, f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0) > 0 f ′′ ( x
Худро санҷед. Ҳар сатрро бо ✓ ё ✗ нишон диҳед:
Нуқтаҳои критикиро меёбам ва фарқи онҳоро аз статсионарӣ медонам.
Аломати f ′ f' f ′
f ′ ′ f'' f ′′ Дар ин дарс
Ман медонам нишонаи дуюми кифоягии экстремум бо ҳосилаи тартиби дуюм.Ман метавонам функсияро бо f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) Ман медонам , ки кай нишона ҷавоб намедиҳад (f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0) = 0 f ′′ ( x 0 ) = 0 Такрор (2 дақиқа)
f ( x ) = x 3 − 3 x + 4 f(x) = x^3 - 3x + 4 f ( x ) = x 3 − 3 x + 4 f ′ f' f ′ f ′ ′ . f''. f ′′ . Нишонаи аввали кифоягии экстремум чист?
y = x 4 y = x^4 y = x 4 x = 0 x = 0 x = 0 Ҷавобҳо
f ′ = 3 x 2 − 3 , f' = 3x^2 - 3, f ′ = 3 x 2 − 3 , f ′ ′ = 6 x . f'' = 6x. f ′′ = Вазъият барои андешаронӣ Агар дар нуқтаи статсионарӣ график «ба боло» хам шуда бошад (∪ \cup ∪ ∩ \cap ∩
Теорема (бе исбот) Бигузор f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 x 0 x_0 x 0 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0) > 0 f ′′ ( x 0 ) > 0 x 0 x_0 x 0 минимум ; агар f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0) < 0 f ′′ ( x 0 ) < 0 x 0 x_0 x 0 максимум .
Ҳолати $f''(x_0) = 0$ Агар f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0) = 0
Калимаҳои калидӣ нуқтаи статсионарӣ нуқтаи критикӣ теоремаи Ферма максимум минимум экстремум
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом нишона (аввал ё дуюм) бароям қулайтар аст ва чаро? Дар кадом ҳолат нишонаи дуюм ёрӣ намедиҳад?
f ′ ( 1 ) = 0 f'(1) = 0 f ′ ( 1 ) = 0 f ′ ′ ( 1 ) > 0 f''(1) > 0 f ′′ ( 1 ) > 0 x = 1 x = 1 x
Як ҷавобро интихоб кунед A Экстремум нест B Бо ин маълумот нашудан мумкин нест C Нуқтаи минимум D Нуқтаи максимум
Агар f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0) = 0 f ′′ ( x
f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x x = − 1 x = -1 x = − 1
Як ҷавобро интихоб кунед A Экстремум нест B Нуқтаи статсионарӣ нест C Нуқтаи максимум D Нуқтаи минимум
Қадамҳои тадқиқи функсияро бо нишонаи дуюм ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Аз аломати f ′ ′ f'' f ′′ > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0
2 f ′ f' f
3
4
5
,
y m a x
=
f ( − 1 ) =
− 1 +
3 +
4 =
6.
3
1
−
1
,
875
3 , 75 + 2 , 5
−
8 8 1 + 1 , 5 2 , 75 − 1 , 5
:
11 10 .
0
)
>
0
6 x .
y ≥ 0 = y ( 0 ) . y \ge 0 = y(0). y ≥ 0 = y ( 0 ) . f
′′
(
x 0
)
=
0
=
1
0
)
=
0
′
f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f ′ ( x ) = 0 f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x )
f ′ ′ f'' f ′′
Қимати экстремумро (y max , y_{\max}, y m a x , y min y_{\min} y m i n