46 · 2/2. Фосилаҳои монотонӣ - Алгебра — синфи 10
Мисолҳо
Мисоли 1. f(x)=x+x1. Соҳаи муайянӣ: ҳамаи x= Ҳосила: Нуқтаҳои (ҳосила ва (функсия муайян нест) тирро ба чор фосила ҷудо мекунанд: Аломатҳои
навбатӣ47 · 1/3. Нуқтаҳои критикӣ. Теоремаи Ферма
1 соат
0.
f′(x)=1−x21=x2(x−1)(x+1). (−∞;−1), (1;+∞). +, −, −, +. Пас f дар (−∞;−1) ва (1;+∞) меафзояд, дар (−1;0) ва (0;1) кам мешавад. Функсия тоқ аст (f(−x)=−f(x)), тирҳоро намебурад; f(1)=2, f(−1)=−2. Ҳангоми x→0 қимати x1 беҳад зиёд мешавад — график ба тири Oy наздик мешавад.
Бо лаборатория санҷед: курсорро аз −4 то 4 ҳаракат диҳед.
Лабораторияи ҳосила: x + 1/xсанҷида бин! Мисоли 2. Нишон медиҳем, ки y=x3+3x дар тамоми тири ададӣ меафзояд ва y=cos4x−8x кам мешавад.
а) y′=3x2+3=3(x2+1)>0 барои ҳар як x, пас функсия дар (−∞;+∞) меафзояд.
б) y′=−4sin4x−8. Азбаски sin4x≥−1, −4sin4x≤4, пас y′≤4−8=−4<0. Функсия дар тамоми тир кам мешавад.
Мисоли 3. Фосилаҳои монотонии y=2x3−3x2-ро меёбем. y′=6x2−6x=6x(x−1). Аз 6x(x−1)>0 — x<0 ва x>1 (афзуншавӣ); аз 6x(x−1)<0 — 0<x<1 (камшавӣ).
Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавиро якҷоя фосилаҳои монотонӣ меноманд.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Нишон диҳед, ки функсия афзуншаванда аст:
- а) f(x)=x3+4x−100;
- б) f(x)=x5+x3+x−8;
- в) f(x)=3x−x1;
- г) f(x)=x(x2+1);
- д) f(x)=3x9+x7+2x5−1;
- е) f(x)=0,2sin5x+2x.
2. Исбот кунед, ки функсияи g(x) дар нуқтаҳои соҳаи муайянияш камшаванда аст:
- а) g(x)=−71x7−9x;
- б) g(x)=1−3x3;
- в) g(x)=x5+3;
- г) g(x)=xx+9;
- д) g(x)=x1−x3+100;
- е) g(x)=cos3x−6x.
Такрор (дар хона)
3. Графики функсияро созед:
- а) y=∣x+2∣+∣x−3∣;
- б) y=∣x−1∣3x−2.
4. P фоизи адади a-ро ёбед, агар
- а) a=2,5, P=240;
- б) a=14,5, P=2,5 бошад.
5. Ифодаро ба намуди бисёраъзогии стандартӣ нависед:
- а) (x−7)(x+5)−x3(x2+2x−1);
- б) (3a−b)2+4(a−2b
- а) x2−4x2+12−x−2x+3;
- б) xy−x23−x−y
7. Қуллаи параболаи y=x2−8x+11 дар кадом чоряк ҷойгир аст?
8. Аъзои якум ва махраҷи аъзоҳояш мусбати прогрессияи геометрии беохир камшавандаи (bn)-ро ёбед, агар аъзои дуюмаш ба 41 ва суммааш аз суммаи (bn2) се маротиба зиёд бошад.
9. Дарозӣ ва бари росткунҷаро ёбед, агар фарқи ченакҳояш 5 м ва масоҳаташ 500 м2 бошад.
10. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) y=x2−x5;
- б) y=x3−xcosx.
★ Барои ҳавасмандон
11★. Барои кадом қиматҳои a функсияи y=ax−sinx дар тамоми нуқтаҳои тири ададӣ меафзояд?
12★. Барои кадом қиматҳои a функсияи y=ax3+3x2−2x+7 дар тамоми нуқтаҳои тири ададӣ кам мешавад?
Вазифаи хонагӣ
- Такрор: машқҳои 3–10; ★ 11, 12.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 46. Аломатҳои афзуншавӣ ва камшавии функсия».
Хулоса
- f′>0 дар (a;b) ⟹ f меафзояд; f′<0 ⟹ f кам мешавад (формулаи Лагранж).
- Фосилаҳоро нуқтаҳои f′=0 ва нуқтаҳое, ки f′ вуҷуд надорад (ё f муайян нест), муайян мекунанд.
- f′>0 дар тамоми тир (ё f′<0) — функсия дар тамоми тир монотон аст.
Худро санҷед. Ҳар сатрро бо ✓ ё ✗ нишон диҳед:
- Фосилаҳои афзуншавии бисёраъзогиро бо ҳосила меёбам.
- Нуқтаҳои канда (масалан x=0 барои x+x1)-ро дар нақша ба назар мегирам.
- Исбот карда метавонам, ки функсия дар тамоми тир монотон аст.
Дар ин дарс
- Ман метавонам фосилаҳои монотонии функсияҳоро бо нуқтаҳои канда (масалан x+x1) ёбам.
- Ман метавонам нишон диҳам, ки функсия дар тамоми тири ададӣ меафзояд ё кам мешавад.
- Ман метавонам параметрро чунон ёбам, ки функсия дар тамоми тир монотон бошад.
Такрор (2 дақиқа)
- Дар f(x)=x3−3x барои кадом x f′(x)>0 аст?
- (x+x1)′-ро нависед.
- cos4x−8x-ро дифференсиронӣ кунед.
Ҷавобҳо
- f′=3x2−3>0 ҳангоми ∣x∣>1. 2) 3)
Вазъият барои андешаронӣf(x)=x+x1 дар x=0 муайян нест. Оё метавон гуфт, ки функсия «дар тамоми соҳаи муайянӣ меафзояд»? Чаро барои x=1 ва x=−1 ҳосила ба нул баробар аст?
Графики x + 1/x: ду шоха, ҳар кадом дар фосилаи худ.Калимаҳои калидӣафзуншавӣкамшавӣфосилаи монотонӣформулаи Лагранж
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Мисоле биёред, ки дар он f′(x)=0 дар як нуқта, вале функсия дар тамоми тир меафзояд (y=x). Чаро ин зиддият надорад?
y=cosx−2x дар тамоми тири ададӣ кам мешавад.
f(x)=x+x4 кадом фосилаҳо меафзояд?
Як ҷавобро интихоб кунед Кадом функсия дар тамоми тири ададӣ меафзояд?
Як ҷавобро интихоб кунед y=x2−4x кадом фосилаҳо кам мешавад?
Як ҷавобро интихоб кунед )
(a+2b)
.
2
−
x2
3−y
.
1−x21.
−4sin4x−8.
3
(4; +∞)
(−∞; −2) ва (2; +∞)
(−∞; 0) ва (0; +∞)
y=−x3
(−∞; 4)
(−∞; 2)