Дарси 35. Таҳқиқи амсилаҳои математикӣ - Технологияи иттилоотӣ — синфи 11
Амсилаҳои математикӣ
Таҳқиқи амсилаи математикӣ аз тасвири амсилаи шаклӣ бо забони расмии як соҳаи математика – алгебра, мантиқ, геометрия – оғоз мешавад. Дар забони алгебра амсилаи шаклӣ бо муодила навишта мешавад. Ёфтани ҳалли аниқ ба ифодаҳои алгебравии баробарқувва меорад, ки дар онҳо бузургии матлуб бо формула ифода шудааст.
Ҳалли аниқро одатан танҳо барои муодилаҳои навъҳои муайян – хаттӣ, квадратӣ, баъзе тригонометрӣ – ёфтан мумкин аст. Барои дигар муодилаҳо усулҳои тақрибӣ лозиманд: усули графикӣ, ададӣ ва ғайра, ки решаро бо дақиқии додашуда медиҳанд.
Усули графикӣ
Графики функсия имкон медиҳад, ки ҳалли тақрибии аввалин (дағал)-и муодила ёфта шавад. Муодилаи f(x)=0, ки f функсияи бефосила аст, решаҳояш нуқтаҳои буриши графики f(x) бо меҳвари абсисса мебошанд.
навбатӣДарси 36. Таҳқиқи амсилаҳои биологӣ
1 соат
Ox
Мисоли 1. Решаи муодилаи x3−cosx=0-ро (ҳалли аниқи алгебравӣ надорад) бо усули графикӣ меёбем.
Графики y=x3−cosx меҳвари Ox-ро танҳо як маротиба мебурад, пас муодила як реша дорад. Аз график x≈0,8-ро мегирем: ин ҳалли тақрибии аввалин аст, ба мо порчаи [0,5; 1]-ро барои усули дақиқтар медиҳад.
Усули тақсими нимакии порча
Агар порчаеро донем, ки дар он реша ҳаст ва дар нӯги он функсия қиматҳои аломатҳои муқобил дорад, усули тақсими нимакӣ қадам ба қадам решаро дақиқ мекунад.
Чаро f(A)⋅f(C)<0 нишони реша аст? Агар қиматҳо аломати муқобил дошта бошанд, функсияи бефосила ҳатман аз сифр мегузарад.
Барномаи C++-и усул. Функсия f – дар алоҳида, дар main – такрор бо do … while:
Барнома бо порчаи [0,5; 1] ва ε=0,00001 решаи x≈0,86547-ро медиҳад. Порчаи [0,5; 1]-ро аз график гирифтем: f(0,5)<0, f(1)>0.
Қадамҳои усулро худатон дар ҷадвал мебинед:
Ҷадвал: f(x) ва тақсими нимакӣсанҷида бин! Амсилаҳои эҳтимолӣ
Амсилаи эҳтимолӣ ба гузаронидани силсилаи калони озмоишҳо бо параметрҳои тасодуфӣ такя мекунад; дақиқии натиҷа аз миқдори озмоишҳо вобаста аст. Намуна – ҳисоби тақрибии масоҳати шакл бо усули Монте-Карло.
- Шакли додашударо пурра дар дохили мураббаъ мегузорем.
- Нуқтаҳоро тасодуфӣ ба дохили мураббаъ «меафканем» (координатҳо бо генератори ададҳои тасодуфӣ).
- Нисбати нуқтаҳои дохили шакл ба ҳамаи нуқтаҳо тақрибан ба нисбати масоҳати шакл ба масоҳати мураббаъ баробар аст. Нуқта бисёртар бошад, нисбат дақиқтар аст.
Амсилаи зоҳирӣ. Масоҳати давраи радиусаш R, маркази он дар ибтидои координата. Давра дар дохили мураббаъ бо тарафи 2R ва масоҳати 4R2 ҷойгир аст. N – ҳамаи нуқтаҳои тасодуфӣ: −R≤x≤R, −R≤y≤R. M – нуқтаҳое, ки ба давра афтоданд: x2+y2≤R2. Пас:
S=N4R2⋅M. Формулаи дақиқ S=πR2 маълум аст. Агар R=1 бошад, S=π: пас бо усули Монте-Карло қимати π-ро бо дақиқии дилхоҳ ёфтан мумкин аст – ҳар қадар N зиёд, ҳамон қадар қимат ба π наздик.
Барномаи C++ (rand() – ададҳои тасодуфӣ; барои R=1, N=100000):
Натиҷаи шумо каме фарқ мекунад: нуқтаҳо тасодуфианд, фарқ – бо N кам мешавад.
Монте-Карло: нуқтаҳо ва πсанҷида бин! Кор дар синф
Лаборатория
Барномаи аввал – тақсими нимакӣ бо қиматҳои тайёр. Баъд се супориш.
Лабораторияи C++: тақсими нимакӣ ва Монте-Карлосанҷида бин! Машқҳо
Саволҳо. Шифоҳӣ ҷавоб гӯед.
1. Таҳқиқи амсилаҳои математикӣ аз тасвири кадом намуди амсилаҳо оғоз мешавад?
2. Ҳангоми тасвири амсилаҳои шаклӣ бештар аз кадом забонҳои расмии математикӣ истифода мебаранд?
3. Фарқи асосии амсиласозии математикӣ аз физикӣ дар чист?
4. Оё ҳамеша ҳалли аниқи муодиларо ёфтан мумкин аст? Агар не, аз кадом усулҳо истифода мебаранд?
5. Усули графикӣ чӣ гуна усул аст? Ғояи онро шарҳ диҳед.
6. Дар кадом ҳолат усули тақсими нимакӣ созгортар аст?
7. Амсилаи эҳтимолӣ чист? Моҳияти усули Монте-Карло аз чӣ иборат аст?
8. Барои чӣ ҳангоми ҳисобҳои математикӣ аз компютер бештар истифода мебаранд?
Супоришҳо. Мустақилона иҷро кунед.
9. Амсилаи зоҳириро барои ҳисоби масоҳати давра (радиуси R, маркази ибтидои координата) бо расм (ба тарзи геометрӣ) тасвир кунед.
10. Ҳалли тақрибии муодилаи x3−cosx=0-ро бо амсилаи компютерӣ дар ҷадвали электронӣ ёбед (ҷадвали боло).
11. Бо усули Монте-Карло масоҳати секунҷаеро ёбед, ки қуллаҳояш (−1, 0), (0, 1) ва (1, 0) мебошанд (лабораторияи боло, супориши 3; масоҳати дақиқ – 1).
Вазифаи хонагӣ
- Саволҳои 1–8-ро барои ҷавоби шифоҳӣ омода кунед.
- Супоришҳои 9–11-ро иҷро кунед.
- Вазифаи хонагии онлайнро («ТИ 11 · Вазифаи хонагӣ · Дарси 35») дар саҳифаи «Супоришҳо» иҷро кунед, агар омӯзгор таъин карда бошад.
Хулоса
- Барои баъзе муодилаҳо ҳалли аниқ нест: усулҳои тақрибӣ (графикӣ, ададӣ) лозиманд.
- Усули графикӣ: реша – нуқтаи буриши графики f(x) бо Ox.
- Тақсими нимакӣ: нимае мемонад, ки f(A)⋅f(C)<0; то (B−A)/2≤ε.
- Монте-Карло: S=4R2⋅M/N; барои R=1 масоҳат ба π наздик мешавад.
Дар ин дарс
- мефаҳмед, ки таҳқиқи амсилаи математикӣ аз чӣ оғоз мешавад ва чаро баъзан ҳалли аниқ нест;
- решаи муодиларо бо усули графикӣ ва бо тақсими нимакӣ меёбед;
- усули Монте-Карло барои масоҳатро мефаҳмед ва π-ро ҳисоб мекунед;
- барномаи C++-и тақсими нимакиро менависед.
Такрор (2 дақиқа)
- Усули «чангак»-ро дар як ҷумла шарҳ диҳед.
- Дар ҷадвал
$B$1 чӣ маъно дорад?
- Барои кунҷи дараҷа ба радиан чӣ тавр мегузаранд?
Ҷавоб
- Ду кунҷ (нарасид / гузашт) мегирем, миёнаро месанҷем ва чангакро ду баробар танг мекунем. 2. Суроғаи мутлақ: ҳангоми пуркунӣ иваз намешавад. 3. рад=дараҷа⋅π/180.
Вазъият барои андешаронӣМуодилаи x2−5x+6=0-ро ҳал карда метавонед. Ва x3−cosx=0-ро? Ягон формулаи тайёр нест. Чӣ тавр решаро ёфтан мумкин аст, агар ҳалли аниқ набошад?
Графики y = x³ − cos x меҳвари x-ро як маротиба мебурад: муодила як реша дорад, x ≈ 0,87.Қоида
- Порчаи аввала [A; B] ва дақиқии ε интихоб мешаванд.
- Миёна C=(A+B ҳисоб мешавад.
![Чор порчаи кабуд, ҳар кадом нисфи порчаи пешин: [0,5; 1], [0,75; 1], [0,75; 0,875], [0,813; 0,875]; нуқтаи сурх – миёна c.](/api/lessons/cmvyaz45y003ffxx8llkjwjak/images/l35-halving-23cb62eb47.svg)
Чаҳор қадами аввали тақсими нимакӣ барои x³ − cos x дар [0,5; 1].Хатои маъмулДар барнома нимаи иваз кардашавандаро иваз накардан хатои маъмул аст. Дуруст: агар f(A)⋅f(C)<0, он гоҳ B=C, вагарна .
Калимаҳои калидӣамсилаи математикӣусули графикӣусули ададӣтақсими нимакӣдақиқӣамсилаи эҳтимолӣМонте-Карлоададҳои тасодуфӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадомашро аллакай метавонед ва кадомашро боз машқ мекунед?
- ✓ Ман решаи муодиларо бо график ва бо тақсими нимакӣ меёбам.
- ✓ Ман мегӯям, кадом нима мемонад ва чаро.
- ✓ Ман усули Монте-Карлоро мефаҳмам.
- ✗ Ман ҳоло боз ба машқ ниёз дорам: ____________
Нависед: чаро Монте-Карло ҳар дафъа каме дигар ҷавоб медиҳад?
Агар дар Монте-Карло N -ро аз 1 000 ба 100 000 зиёд кунем, натиҷа:
Як ҷавобро интихоб кунед
f(x)=x3−cosx. f(0,5)≈−0,75, . Миёна . Кадом нима мемонад?
Як ҷавобро интихоб кунед
Нишони он, ки дар [A;B] реша ҳаст (функсия бефосила):
Як ҷавобро интихоб кунед Бо усули графикӣ решаи муодилаи f(x)=0 – ин:
Як ҷавобро интихоб кунед )
/2
Нимае, ки дар он реша ҳаст, мемонад: ҳамонест, ки дар он f(A)⋅f(C)<0 (f дар нӯгҳо аломати муқобил дорад, яъне график меҳвари Ox-ро мебурад). Дигар нима партофта мешавад. Ин то он вақт такрор мешавад, ки (B−A)/2≤ε. Реша: x=(A+B)/2. A=C
2
M
/
N
f(1)≈0,46
f(0,75)≈−0,31 [0,75; 1]
[0,5; 0,75]
f(A)⋅f(B)<0
f(A)=f(B)
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
double f(double x) {
return x * x * x - cos(x);
}
int main() {
double a, b, e, c;
cin >> a >> b >> e;
do {
c = (a + b) / 2;
if (f(a) * f(c) < 0)
b = c;
else
a = c;
} while ((b - a) / 2 > e);
cout << fixed << setprecision(5);
cout << (a + b) / 2 << endl;
return 0;
}
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int main() {
int n = 100000, m = 0;
srand(1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
double x = 2.0 * rand() / RAND_MAX - 1;
double y = 2.0 * rand() / RAND_MAX - 1;
if (x * x + y * y <= 1)
m++;
}
cout << 4.0 * m / n << endl;
return 0;
}