4.5. Формулаи Герон - Геометрия — синфи 9
Маълум: △ A B C \triangle ABC △ A BC a , b , c . a, b, c. a , b , c . Матлуб: S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. S = p ( p − a
навбатӣ 4.6 · 1/2. Тараф ва масоҳати n-кунҷаи мунтазам 1 соат
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
Исбот. Аз S = 1 2 b c sin α S = \frac12 bc\sin\alpha S = 2 1 b c sin α cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos α = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 0 ∘ < α < 180 ∘ , 0^\circ < \alpha < 180^\circ, 0 ∘ < α < 18 0 ∘ , sin α > 0. \sin\alpha > 0. sin α > 0. sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α
sin 2 α = 1 − cos 2 α = ( 1 − cos α ) ( 1 + cos α ) = 2 b c − b 2 − c 2 + a 2 2 b c ⋅ 2 b c + b 2 + c 2 − a 2 2 b c (ивазкунӣ) = a 2 − ( b − c ) 2 2 b c ⋅ ( b + c ) 2 − a 2 2 b c (квадрати фарқ ва ҷамъ) = ( a − b + c ) ( a + b − c ) 4 b 2 c 2 ⋅ ( b + c − a ) ( a + b + c ) (фарқи квадратҳо) . \begin{aligned}
\sin^2\alpha &= 1 - \cos^2\alpha\\
&= (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)\\
&= \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2bc}\\
&\quad\cdot\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\
&\quad\text{(ивазкунӣ)}\\
&= \frac{a^2 - (b - c)^2}{2bc}\cdot\frac{(b + c)^2 - a^2}{2bc}\\
&\quad\text{(квадрати фарқ ва ҷамъ)}\\
&= \frac{(a - b + c)(a + b - c)}{4b^2c^2}\\
&\quad\cdot(b + c - a)(a + b + c)\\
&\quad\text{(фарқи квадратҳо)}.
\end{aligned} sin 2 α = 1 − cos 2 α Азбаски a + b + c = 2 p , a + b + c = 2p, a + b + c = 2 p , a + b − c = 2 p − 2 c = 2 ( p − c ) , a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c), a + b − c = 2 p − 2 c = 2 ( p − c ) , a − b + c = 2 ( p − b ) , a - b + c = 2(p - b), a − b + c = 2 ( p − b ) , b + c − a = 2 ( p − a ) : b + c - a = 2(p - a): b + c − a = 2 ( p − a ) :
sin 2 α = 2 p ⋅ 2 ( p − a ) ⋅ 2 ( p − b ) ⋅ 2 ( p − c ) 4 b 2 c 2 = 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) b 2 c 2 . \sin^2\alpha = \frac{2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c)}{4b^2c^2} = \frac{4\,p(p - a)(p - b)(p - c)}{b^2c^2}. sin 2 α = 4 b 2 c 2 2 p ⋅ 2 ( p − a ) ⋅ 2 ( p − b ) ⋅ 2 ( p − c ) = b 2 c 2 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . Ҳоло S 2 = 1 4 b 2 c 2 sin 2 α = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , S^2 = \frac14 b^2c^2\sin^2\alpha = p(p - a)(p - b)(p - c), S 2 = 4 1 b 2 c 2 sin 2 α = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) .
Аз се тараф ҳама чиз Агар се тарафи секунҷа маълум бошад, ҳамаро ёфтан мумкин аст:
Мисоли 1. Тарафҳои секунҷа a = 8 , a = 8, a = 8 , b = 15 , b = 15, b = 15 , c = 17. c = 17. c = 17. r r r R R R
Ҳал. p = 8 + 15 + 17 2 = 20. p = \dfrac{8 + 15 + 17}{2} = 20. p = 2 8 + 15 + 17 = 20. S = 20 ⋅ 12 ⋅ 5 ⋅ 3 = 3600 = 60. S = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60. S = 20 ⋅ 12 ⋅ 5 ⋅ 3 = 3600 = 60. h a = 120 8 = 15 , h_a = \dfrac{120}{8} = 15, h a = 8 120 = 15 , h b = 120 15 = 8 , h_b = \dfrac{120}{15} = 8, h b = 15 120 = 8 , h c = 120 17 ≈ 7,06. h_c = \dfrac{120}{17} \approx 7{,}06. h c = 17 120 ≈ 7 , 06. r = 60 20 = 3 , r = \dfrac{60}{20} = 3, r = 20 60 = 3 , R = 8 ⋅ 15 ⋅ 17 240 = 8,5. R = \dfrac{8 \cdot 15 \cdot 17}{240} = 8{,}5. R = 240 8 ⋅ 15 ⋅ 17 = 8 , 5. R = c 2 = 8,5 R = \frac{c}{2} = 8{,}5 R = 2 c = 8 , 5 r = 8 + 15 − 17 2 = 3 r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3 r = 2 8 + 15 − 17 = 3
Кор дар синф
Машқҳо 1. Масоҳати секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш ба: а) 13 см, 14 см, 15 см; б) 5 см, 6 см, 7 см баробар бошанд.
2. Радиусҳои давраҳои дарункашида ва берункашидаи секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш 13, 14, 15 бошанд.
3. Баландиҳои секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш 13 см, 14 см ва 15 см бошанд.
4. Масоҳати секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш 17 м, 65 м ва 80 м бошанд.
5. Тарафҳои секунҷа 5 м, 6 м ва 7 м мебошанд. Косинуси кунҷҳои секунҷа, масоҳат ва радиусҳои давраҳои дарун ва берункашидаро ёбед.
6. Радиусҳои давраҳои дарун ва берункашидаи секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш 15, 13, 12 бошанд.
7. Баландии хурди секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш: а) 5, 5, 6; б) 17, 65, 80 бошанд.
8. Радиусҳои давраҳои дарун ва берункашидаи секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш: а) 35, 29, 8; б) 4, 5, 7 бошанд.
9. Баландии калони секунҷаро ёбед, агар тарафҳояш: а) 25 6 , \dfrac{25}{6}, 6 25 , 29 6 , \dfrac{29}{6}, 6 29 , 6 ; 6; 6 ; 13 , 13, 13 , 37 12 13 , 37\dfrac{12}{13}, 37 13 12 , 47 1 13 47\dfrac{1}{13} 47 13 1
10. Исбот кунед, ки тарафҳои секунҷа ба баландиҳо мутаносиби чаппа мебошанд, яъне a : b : c = 1 h a : 1 h b : 1 h c . a : b : c = \dfrac{1}{h_a} : \dfrac{1}{h_b} : \dfrac{1}{h_c}. a : b : c = h a 1 : h b 1 : h c 1 .
Нишондод Аз S = 1 2 a h a S = \frac12 a h_a S = 2 1 a h a a = 2 S h a , a = \dfrac{2S}{h_a}, a = h a 2 S , b b b c . c. c .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4, 5, 6 ва 7. Исботи формулаи Геронро дар дафтари хотира нависед.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 4.5» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш. Калкулятор иҷозат аст.
Хулоса
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , p = a + b + c 2 . p = \frac{a + b + c}{2}. p = 2 a + b + c . Аз се тараф: h a = 2 S a , h_a = \frac{2S}{a}, h a = a 2 S , r = S p , r = \frac{S}{p}, r =
Дар ин дарс
Ман медонам формулаи Геронро ва исботи онро.Ман метавонам масоҳати секунҷаро аз се тараф ёбам.Ман метавонам аз се тараф баландиҳо, r r r R R R Такрор (2 дақиқа)
Масоҳати секунҷа бо ду тараф ва кунҷи байнашон чӣ тавр ёфта мешавад?
cos α \cos\alpha cos α x 2 − y 2 x^2 - y^2 x 2 − y 2 Ҷавобҳо
S = 1 2 b c sin α ; S = \frac12 bc\sin\alpha; S = 2 1 b c sin α ; cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c ; \cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}; cos α = 2 b c b 2 + c 2 − a ( x − y ) ( x + y ) . (x - y)(x + y). ( x − y ) ( x + y ) . Вазъият барои андешаронӣ Заминро бо тарафҳои 13, 14 ва 15 м бояд пӯшонед. Баландиро наметавонед ченед — танҳо се тарафро дорем. Чӣ тавр масоҳатро ҳисоб кардан мумкин аст? Ёдовар шавед: аз се тараф кунҷро ёфтан мумкин аст.
Теорема Масоҳати секунҷа бо тарафҳои a , b , c a, b, c a , b , c p = a + b + c 2 p = \dfrac{a + b + c}{2} p = 2 a + b + c
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . S = \sqrt{p\,(p - a)(p - b)(p - c)}. S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) Расми 1. Секунҷа бо тарафҳои a, b, c ва кунҷи α. Оё медонед? Ин формула ба олими юнонии Искандария Герон (тақрибан асри 1-и милодӣ) мансуб аст. Бо он замин ва майдонҳоро танҳо бо ченкунии тарафҳо ҳисоб мекарданд.
Масоҳат S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) . S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) Калимаҳои калидӣ формулаи Герон нимпериметр баландии секунҷа радиуси давраи дарункашида радиуси давраи берункашида
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман масоҳатро аз се тараф ёфта метавонам; ✓ ман аз S S S r r r R R R
Формулаи Герон барои секунҷаи росткунҷа ҳам дуруст аст.
Қадамҳои асосии исботи формулаи Геронро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 S = 1 2 b c sin α S = \frac12 bc\sin\alpha S = 2 1 b c sin α cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos α =
2
3
4
=
(
1
−
cos
α
)
(
1
+
cos
α
)
= 2 b c 2 b c − b 2 − c 2 + a 2
⋅ 2 b c 2 b c + b 2 + c 2 − a 2
( ивазкунӣ )
= 2 b c a 2 − ( b − c ) 2 ⋅ 2 b c ( b + c ) 2 − a 2
( квадрати фарқ ва ҷамъ )
= 4 b 2 c 2 ( a − b + c ) ( a + b − c )
⋅ ( b + c − a ) ( a + b + c )
( фарқи квадратҳо ) .
p S
,
R = a b c 4 S . R = \frac{abc}{4S}. R = 4 S ab c . 2
;
.
.
Баландиҳо h a = 2 S a , h_a = \dfrac{2S}{a}, h a = a 2 S , h b = 2 S b , h_b = \dfrac{2S}{b}, h b = b 2 S , h c = 2 S c . h_c = \dfrac{2S}{c}. h c = c 2 S . Радиуси давраи дарункашида r = S p . r = \dfrac{S}{p}. r = p S . Радиуси давраи берункашида R = a b c 4 S . R = \dfrac{abc}{4S}. R = 4 S ab c . 2 b c b 2 + c 2 − a 2
Фарқи квадратҳоро ба зарбшавандаҳо ҷудо мекунем ва a + b + c = 2 p a + b + c = 2p a + b + c = 2 p sin 2 α = 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) b 2 c 2 \sin^2\alpha = \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{b^2c^2} sin 2 α = b 2 c 2 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
sin 2 α = ( 1 − cos α ) ( 1 + cos α ) \sin^2\alpha = (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) sin 2 α = ( 1 − cos α ) ( 1 + cos α ) cos α \cos\alpha cos α
S 2 = 1 4 b 2 c 2 sin 2 α = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S^2 = \frac14 b^2c^2\sin^2\alpha = p(p - a)(p - b)(p - c) S 2 = 4 1 b 2 c 2 sin 2 α = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
