4.1 · 1/2. Хосияти биссектрисаи секунҷа - Геометрия — синфи 9
Хосияти биссектриса
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , A D AD A D A , A, A , D ∈ B C . D \in BC. D ∈ BC .
Матлуб: B D : D C = A B : A C . BD : DC = AB : AC. B
навбатӣ 4.1 · 2/2. Радиуси давраи дарункашида 1 соат
D
:
D C =
A B :
A C .
Нақшаи исбот. Аз қуллаи C C C C E ∥ D A CE \parallel DA CE ∥ D A (E E E — нуқтаи буриши он бо хатти A B AB A B A B AB A B D A DA D A A B AB A B E E E A A A D D D B B B C C C
Ҳамин тавр, биссектриса тарафи муқобилро ба қисмҳои мутаносиб ба тарафҳои ҳамсоя тақсим мекунад. Қисми калон ба тарафи калон часпидааст.
Акнун вазъияти аввалро ҳал мекунем. Азбаски B D : D C = 60 : 40 = 3 : 2 , BD : DC = 60 : 40 = 3 : 2, B D : D C = 60 : 40 = 3 : 2 , D D D C C C B D = 50 ⋅ 3 5 = 30 BD = 50 \cdot \frac{3}{5} = 30 B D = 50 ⋅ 5 3 = 30 D C = 20 DC = 20 D C = 20
Мисол Мисоли 1. Биссектрисаи кунҷи A A A A B C ABC A BC B D BD B D O O O ∠ A = 60 ∘ \angle A = 60^\circ ∠ A = 6 0 ∘ O D : O B OD : OB O D : OB
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , B D ⊥ A C , BD \perp AC, B D ⊥ A C , ∠ A = 60 ∘ , \angle A = 60^\circ, ∠ A = 6 0 ∘ , A O AO A O A , A, A , O ∈ B D . O \in BD. O ∈ B D .
Матлуб: O D : O B . OD : OB. O D : OB .
Ҷавоб: O D : O B = 1 : 2. OD : OB = 1 : 2. O D : OB = 1 : 2.
Кор дар синф
Машқҳо 1. Дар секунҷаи A B C ABC A BC A B = 10 , AB = 10, A B = 10 , A C = 14 , AC = 14, A C = 14 , B C = 18. BC = 18. BC = 18. A D AD A D B C BC BC B D BD B D D C DC D C
2. Биссектрисаи кунҷи B B B A B C ABC A BC A C AC A C D D D A D = 3 , AD = 3, A D = 3 , D C = 5 , DC = 5, D C = 5 , A B = 6 AB = 6 A B = 6 B C BC BC
3. Исбот кунед, ки дар секунҷаи баробарпаҳлу биссектрисаи кунҷи назди қулла медианаи ба асос фуровардашуда низ аст.
Нишондод Теоремаро барои A B = A C AB = AC A B = A C B D : D C = A B : A C . BD : DC = AB : AC. B D : D C = A B : A C .
4. Биссектрисаи кунҷи C C C A B C ABC A BC A B AB A B A D = 4 AD = 4 A D = 4 D B = 6 DB = 6 D B = 6 A C AC A C B C BC BC
5. Катетҳои секунҷаи росткунҷа 6 ва 8 аст. Биссектрисаи кунҷи рост гипотенузаро ба кадом порчаҳо тақсим мекунад?
6. Исбот кунед, ки агар нуқтаи D D D B C BC BC A B C ABC A BC B D : D C = A B : A C , BD : DC = AB : AC, B D : D C = A B : A C , A D AD A D A A A
Нишондод Биссектрисаи кунҷи A A A D 1 D_1 D 1 B C BC BC B C BC BC
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4 ва 5. Теорема ва исботи онро дар дафтари хотира нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам хосияти биссектрисаи кунҷи дарунии секунҷаро ва исботи онро.Ман метавонам тарафи муқобилро аз рӯи биссектриса ба қисмҳои мутаносиб тақсим кунам ва қисмҳоро ҳисоб кунам.Ман метавонам хосияти биссектрисаро дар масъалаҳо бо секунҷаи росткунҷа истифода барам. Такрор (2 дақиқа)
Теоремаи порчаҳои мутаносибро баён кунед: хатҳои параллел тарафҳои кунҷро чӣ гуна мебуранд?
Дар секунҷа ду кунҷ баробаранд. Дар бораи тарафҳои муқобили онҳо чӣ гуфта метавонед?
Кунҷҳои дохилии чаппаи ду хати параллел ва буранда чӣ гунаанд?
Ҷавобҳо
порчаҳои дар як тарафи кунҷ ба порчаҳои мувофиқ дар тарафи дигар мутаносибанд; 2) тарафҳои муқобил низ баробаранд, секунҷа баробарпаҳлу аст; 3) баробаранд.
Вазъият барои андешаронӣ Қитъаи замини секунҷашакл дорем: A B = 60 AB = 60 A B = 60 A C = 40 AC = 40 A C = 40 B C = 50 BC = 50 BC = 50 A A A A A A B C BC BC D D D D D D B C BC BC D D D B D BD B D
Теорема Биссектрисаи кунҷи дарунии секунҷа тарафи муқобилро ба порчаҳое тақсим мекунад, ки ба тарафҳои ҳамсоя мутаносибанд.
B D D C = A B A C . \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}. D C B D = A C A B . Расми 1. Биссектрисаи AD ва хати CE, ки ба DA параллел аст.
∠ D A C = ∠ A C E \angle DAC = \angle ACE ∠ D A C = ∠ A CE кунҷҳои дохилии чаппа дар хатҳои параллел A D , C E AD, CE A D , CE A C . AC. A C . ∠ B A D = ∠ A E C \angle BAD = \angle AEC ∠ B Дар хотир доред Қисмҳои тарафи B C BC BC A B AB A B A C AC A C B C BC BC B D A B = D C A C . \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}.
Расми 2. Биссектрисаи AO ва баландии BD.
△ A B D \triangle ABD △ A B D ∠ D = 90 ∘ \angle D = 90^\circ ∠ D = 9 0 ∘ ∠ B A D = 60 ∘ , \angle BAD = 60^\circ, ∠ B A D = 6 0 Биссектрисаи кунҷи секунҷа тарафи муқобилро ҳамеша ба ду қисми баробар тақсим мекунад.
Биссектрисаи A D AD A D A B C ABC A BC (D ∈ B C D \in BC D ∈ BC гузаронида шудааст. Кадом баробарӣ ҳамеша дуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A B D = D C BD = DC B D = D C
B B D A B =
C D Қадамҳои исботи хосияти биссектрисаро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Аз теоремаи порчаҳои мутаносиб B D : D C = B A : A E = A B : A C BD : DC = BA : AE = AB : AC B D : D C = B A : A E = A B : A C
2 Аз C C C C E ∥ D A
3
4
A
D
=
∠ A EC
кунҷҳои мувофиқ дар хатҳои параллел A D , C E AD, CE A D , CE B E . BE. BE . ∠ B A D = ∠ D A C \angle BAD = \angle DAC ∠ B A D = ∠ D A C A D AD A D ∠ A C E = ∠ A E C \angle ACE = \angle AEC ∠ A CE = ∠ A EC аз 1, 2 ва 3. A E = A C AE = AC A E = A C дар секунҷаи A C E ACE A CE B D : D C = B A : A E BD : DC = BA : AE B D : D C = B A : A E теоремаи порчаҳои мутаносиб барои кунҷи B B B D A , C E . DA, CE. D A , CE . B D : D C = A B : A C BD : DC = AB : AC B D : D C = A B : A C аз 5 ва 6: A E AE A E A C AC A C A B B D
=
A C D C .
∘
,
∠ A B D = 90 ∘ − 60 ∘ = 30 ∘ . \angle ABD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ. ∠ A B D = 9 0 ∘ − 6 0 ∘ = 3 0 ∘ . Катети A D AD A D 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ A D = A B 2 , AD = \dfrac{AB}{2}, A D = 2 A B , A B = 2 A D . AB = 2AD. A B = 2 A D . A O AO A O B A D BAD B A D A B D . ABD. A B D . B O O D = A B A D = 2 A D A D = 2 1 . \dfrac{BO}{OD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2AD}{AD} = \dfrac{2}{1}. O D BO = A D A B = A D 2 A D = 1 2 . Пас O D : O B = 1 : 2. OD : OB = 1 : 2. O D : OB = 1 : 2. A D
A B = 9. AB = 9. A B = 9.
D C A C \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC} A B B D = A C D C
B D B C = A B A C \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AB}{AC} BC B D = A C A B
B D D C = A C A B \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AC}{AB} D C B D = A B A C
CE \parallel DA CE ∥ D A
∠ B A D = ∠ D A C , \angle BAD = \angle DAC, ∠ B A D = ∠ D A C , ∠ A C E = ∠ A E C , \angle ACE = \angle AEC, ∠ A CE = ∠ A EC , A E = A C AE = AC A E = A C
∠ A C E = ∠ D A C \angle ACE = \angle DAC ∠ A CE = ∠ D A C ∠ A E C = ∠ B A D \angle AEC = \angle BAD ∠ A EC = ∠ B A D
