4.4 · 2/2. Исботи векторӣ. Навъи секунҷа аз рӯйи тарафҳо - Геометрия — синфи 9
Исботи векторӣ
Теоремаи зарби скалярӣ (a ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ cos φ \vec a \cdot \vec c = |\vec a||\vec c|\cos\varphi a ⋅ c
навбатӣ 4.5. Формулаи Герон 1 соат
=
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , a ⃗ = B C → , \vec a = \overrightarrow{BC}, a = BC , c ⃗ = B A → , \vec c = \overrightarrow{BA}, c = B A , β = ∠ B . \beta = \angle B. β = ∠ B .
Матлуб: b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β . b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta. b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β .
A C → = B C → − B A → = a ⃗ − c ⃗ (қоидаи секунҷа) b 2 = A C → 2 = ( a ⃗ − c ⃗ ) 2 = a ⃗ 2 − 2 a ⃗ ⋅ c ⃗ + c ⃗ 2 (хосиятҳои зарби скалярӣ) = a 2 + c 2 − 2 ∣ a ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ cos β (таърифи зарби скалярӣ) = a 2 + c 2 − 2 a c cos β . \begin{aligned}
\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \vec a - \vec c\\
&\quad\text{(қоидаи секунҷа)}\\
b^2 &= \overrightarrow{AC}^{\,2} = (\vec a - \vec c)^2\\
&= \vec a^{\,2} - 2\,\vec a\cdot\vec c + \vec c^{\,2}\\
&\quad\text{(хосиятҳои зарби скалярӣ)}\\
&= a^2 + c^2 - 2\,|\vec a||\vec c|\cos\beta\\
&\quad\text{(таърифи зарби скалярӣ)}\\
&= a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta.
\end{aligned} A C b 2 = Теорема исбот шуд. ∎ Барои a 2 a^2 a 2
Навъи секунҷа аз рӯи тарафҳо Аз cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} cos γ = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 cos γ \cos\gamma cos γ a 2 + b 2 − c 2 a^2 + b^2 - c^2 a 2 + b 2 − c 2
Барои муайян кардани навъи секунҷа танҳо кунҷи бузургтаринро (муқобили тарафи калонтарин) санҷидан кифоя аст: агар он тез бошад, ҳар се кунҷ тез аст.
Мисоли 1. Секунҷаи 5, 6, 8 кадом навъ аст?
Ҳал. Тарафи калонтарин 8: 8 2 = 64 , 8^2 = 64, 8 2 = 64 , 5 2 + 6 2 = 61. 5^2 + 6^2 = 61. 5 2 + 6 2 = 61. 64 > 61 , 64 > 61, 64 > 61 ,
Диагоналҳои параллелограмм Мисоли 2. Дар параллелограмм бо тарафҳои a a a b b b φ \varphi φ d 1 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos φ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\varphi d 1 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos φ d 2 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ( 180 ∘ − φ ) = a 2 + b 2 + 2 a b cos φ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \varphi) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\varphi d 2 2 = a 2 + b 2 −
d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) . d_1^2 + d_2^2 = 2\,(a^2 + b^2). d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) . Ҷамъи квадратҳои диагоналҳои параллелограмм ба ҷамъи квадратҳои ҳамаи чор тарафи он баробар аст.
Кор дар синф
Машқҳо 1. Бо усули векторӣ теоремаи косинусҳоро барои тарафи a a a a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α .
Нишондод Аз қуллаи A A A b ⃗ = A C → \vec b = \overrightarrow{AC} b = A C c ⃗ = A B → \vec c = \overrightarrow{AB} c = A B B C → \overrightarrow{BC} BC
2. Муайян кунед, ки секунҷаҳои тарафҳояшон зерин кадом навъанд (тез, рост ё кунд): а) 9, 10, 13; б) 8, 15, 17; в) 6, 7, 10.
3. Тарафҳои параллелограмм 5 ва 8 см, яке аз диагоналҳо 7 см. Диагонали дигарро ёбед (то 0,01 0{,}01 0 , 01
4. Дар секунҷа a = 6 , a = 6, a = 6 , b = 8 , b = 8, b = 8 , c = 10. c = 10. c = 10. c c c
Нишондод Секунҷаро то параллелограмм пурра кунед: диагоналҳои он ба c c c 2 m c 2m_c 2 m c
5. Исбот кунед, ки медианаи m c m_c m c c c c m c 2 = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 4 m_c^2 = \dfrac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} m c 2 = 4 2 a 2 + 2 b 2 − c 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3 ва 4.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 4.4» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш.
Хулоса
Теоремаи косинусҳо: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ ; c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma; c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ ; b 2 = ( a ⃗ − c ⃗ ) 2 . b^2 = (\vec a - \vec c)^2. b 2 = ( a − c )
Навъ: c 2 ≶ a 2 + b 2 c^2 \lessgtr a^2 + b^2 c 2 ≶ a 2 + b 2 c c c
Параллелограмм: d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) . d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2). d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2
Дар ин дарс
Ман медонам исботи вектории теоремаи косинусҳоро.Ман метавонам аз рӯи се тараф муайян кунам, ки секунҷа тез, рост ё кунд аст.Ман метавонам диагоналҳои параллелограммро бо теоремаи косинусҳо алоқаманд кунам. Такрор (2 дақиқа)
Теоремаи косинусҳоро нависед.
Зарби скалярии векторҳои a ⃗ \vec a a c ⃗ \vec c c φ \varphi φ
( a ⃗ − c ⃗ ) 2 (\vec a - \vec c)^2 ( a − c ) Ҷавобҳо
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ ; c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma; c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ ; a ⃗ ⋅ Расми 1. Векторҳои a, c аз қуллаи B ва b = a − c. Натиҷа Кунҷи γ \gamma γ c c c
тез аст ⟺ c 2 < a 2 + b 2 ; \iff c^2 < a^2 + b^2; ⟺ c 2 <
Калимаҳои калидӣ теоремаи косинусҳо зарби скалярӣ секунҷаи тез секунҷаи кунд диагоналҳои параллелограмм
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман навъи секунҷаро аз рӯи тарафҳо муайян мекунам; ✓ ман исботи вектории теоремаро шарҳ дода метавонам; ✗ ман ҳоло ҳам мушкилӣ дорам: ______.
Секунҷаи тарафҳояш 4, 6 ва 8 кадом навъ аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A кунд B рост C тез D баробартараф
Кадом секунҷаҳо тезкунҷаанд (ҳар се кунҷ тез)? (Якчанд ҷавоб дуруст аст.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 3, 4, 5 B 7, 8, 9 C 5, 7, 10 D 4, 5, 6
Агар дар секунҷа a 2 + b 2 < c 2 , a^2 + b^2 < c^2, a 2 + b 2 < c 2 , γ \gamma γ
Қадамҳои исботи вектории теоремаи косинусҳоро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 A C → = a ⃗ − c ⃗ \overrightarrow{AC} = \vec a - \vec c A C = a
2
3
4
−
=
−
( қоидаи секунҷа )
( хосиятҳои зарби скалярӣ )
( таърифи зарби скалярӣ )
= a 2 + c 2 − 2 a c cos β .
2 ab cos ( 18 0 ∘ −
φ ) =
a 2 +
b 2 +
2 ab cos φ
2
.
+
b 2 ) .
2
c ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ cos φ ; \vec a \cdot \vec c = |\vec a||\vec c|\cos\varphi; a ⃗ 2 − 2 a ⃗ ⋅ c ⃗ + c ⃗ 2 . \vec a^{\,2} - 2\,\vec a\cdot\vec c + \vec c^{\,2}. a 2 − 2 a ⋅ c + c 2 . a 2
+
b 2 ;
рост аст ⟺ c 2 = a 2 + b 2 ; \iff c^2 = a^2 + b^2; ⟺ c 2 = a 2 + b 2 ; кунд аст ⟺ c 2 > a 2 + b 2 . \iff c^2 > a^2 + b^2. ⟺ c 2 > a 2 + b 2 . −
Зарби скалярии a ⃗ ⋅ c ⃗ \vec a\cdot\vec c a ⋅ c a ⃗ ⋅ c ⃗ = a c cos β \vec a\cdot\vec c = ac\cos\beta a ⋅ c = a c cos β
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β
b 2 = ( a ⃗ − c ⃗ ) 2 = a ⃗ 2 − 2 a ⃗ ⋅ c ⃗ + c ⃗ 2 b^2 = (\vec a - \vec c)^2 = \vec a^{\,2} - 2\,\vec a\cdot\vec c + \vec c^{\,2} b 2 = ( a − c ) 2 = a 2 − 2 a ⋅ c + c 2
