4.3 · 1/2. Теоремаи синусҳо - Геометрия — синфи 9
Теоремаи синусҳо
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , B C = a , BC = a, BC = a , C A = b , CA = b, C A = b , A B = c , AB = c, A B = c
навбатӣ 4.3 · 2/2. Масоҳати секунҷа ва радиуси давраи берункашида 1 соат
,
∠ A = α , \angle A = \alpha, ∠ A = α , ∠ B = β , \angle B = \beta, ∠ B = β , ∠ C = γ , \angle C = \gamma, ∠ C = γ , Матлуб: a sin α = 2 R \dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R sin α a = 2 R b b b c c c
Маркази O O O B B B C C C O B = O C = R OB = OC = R OB = OC = R △ B O C \triangle BOC △ BOC A 1 A_1 A 1 B C . BC. BC . O A 1 ⊥ B C OA_1 \perp BC O A 1 ⊥ BC O A 1 OA_1 O A 1 B O C BOC BOC α \alpha α
Ҳолати 1: α < 90 ∘ . \alpha < 90^\circ. α < 9 0 ∘ .
Ҳолати 2: α = 90 ∘ . \alpha = 90^\circ. α = 9 0 ∘ .
Ҳолати 3: α > 90 ∘ . \alpha > 90^\circ. α > 9 0 ∘ .
Дар ҳар се ҳолат a = 2 R sin α , a = 2R\sin\alpha, a = 2 R sin α , a sin α = 2 R . \dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R. sin α a = 2 R . b b b β , \beta, β , c c c γ \gamma γ «A A A бошад). Теорема исбот шуд. ∎
α \alpha α sin α \sin\alpha sin α 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 1 2 \frac12 2 1 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 1 1 1 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ 1 2 \frac12 2 1
Калкулятор Дар ин боб барои кунҷҳои дилхоҳ калкулятори телефон лозим аст. Реҷаи кунҷро ба градус (DEG) гузоред: дар экран «DEG» нависта мешавад. Тугмаҳо: sin , \sin, sin , cos , \cos, cos , tan \tan tan tg \operatorname{tg} tg sin − 1 \sin^{-1} sin − 1 sin \sin sin sin − 1 ( 0,5 ) = 30 ∘ . \sin^{-1}(0{,}5) = 30^\circ. sin − 1 ( 0 , 5 ) = 3 0 ∘ . 0,1 ∘ 0{,}1^\circ 0 , 1 ∘
Мисол Мисоли 1. Дар секунҷаи A B C ABC A BC a = 12 a = 12 a = 12 α = 30 ∘ , \alpha = 30^\circ, α = 3 0 ∘ , β = 45 ∘ . \beta = 45^\circ. β = 4 5 ∘ . b b b
Ҳал. Аз теоремаи синусҳо a sin α = b sin β , \dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}, sin α a = sin β b ,
b = a sin β sin α = 12 ⋅ 2 2 1 2 = 12 2 ≈ 16,97 см . b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} = 12\sqrt2 \approx 16{,}97 \text{ см}. b = sin α a sin β = 2 1 12 ⋅ 2 2 = 12 2 ≈ 16 , 97 см . Ҷавоб: b = 12 2 ≈ 16,97 b = 12\sqrt2 \approx 16{,}97 b = 12 2 ≈ 16 , 97
Ду номзад барои кунҷ Агар кунҷро аз синус ёбем, ду номзад пайдо мешавад: sin 30 ∘ = sin 150 ∘ = 1 2 . \sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac12. sin 3 0 ∘ = sin 15 0 ∘ = 2 1 . 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘
Кор дар синф
Машқҳо 1. Дар секунҷаи A B C ABC A BC a = R = 5 a = R = 5 a = R = 5 α \alpha α
2. Дар секунҷаи A B C ABC A BC a = 8 a = 8 a = 8 α = 30 ∘ . \alpha = 30^\circ. α = 3 0 ∘ .
3. Дар секунҷаи A B C ABC A BC α = 60 ∘ , \alpha = 60^\circ, α = 6 0 ∘ , β = 45 ∘ , \beta = 45^\circ, β = 4 5 ∘ , a = 3 6 a = 3\sqrt6 a = 3 6 b b b
4. Дар секунҷаи A B C ABC A BC b = 10 b = 10 b = 10 β = 150 ∘ . \beta = 150^\circ. β = 15 0 ∘ .
5. Дар секунҷаи A B C ABC A BC b = 6 2 b = 6\sqrt2 b = 6 2 β = 45 ∘ , \beta = 45^\circ, β = 4 5 ∘ , α = 60 ∘ . \alpha = 60^\circ. α = 6 0 ∘ . a a a
6. Тарафҳои секунҷа a a a b b b α \alpha α β \beta β a sin β = b sin α . a\sin\beta = b\sin\alpha. a sin β = b sin α .
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4, 5 ва 6. Исботи теоремаи синусҳоро барои се ҳолат дар дафтари хотира нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам теоремаи синусҳоро ва исботи онро барои кунҷи тез, рост ва кунд.Ман метавонам тарафи секунҷаро аз ду кунҷ ва як тараф ёбам ва 2 R 2R 2 R Ман метавонам калкулятори телефонро барои sin \sin sin Такрор (2 дақиқа)
Синуси кунҷи тези секунҷаи росткунҷа чист?
sin ( 180 ∘ − α ) \sin(180^\circ - \alpha) sin ( 18 0 ∘ − α ) Кунҷи дарункашида ба кунҷи марказии ба ҳамон камон такякунанда чӣ гуна аст?
Ҷавобҳо
таносуби катети муқобил ба гипотенуза; 2) sin α ; \sin\alpha; sin α ;
Вазъият барои андешаронӣ Дар секунҷаи A B C ABC A BC A A A 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ B C = 5 BC = 5 BC = 5 ∠ A \angle A ∠ A R R R
Теорема Тарафҳои секунҷа ба синусҳои кунҷҳои муқобилхобида мутаносибанд, ва таносуби ҳар тараф ба синуси кунҷи муқобил ба диаметри давраи берункашида баробар аст:
a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R . \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. sin α a = sin β b = sin γ c = 2 R . Расми 1. Се ҳолат: кунҷи A тез, рост ва кунд.
Камони B C BC BC A A A α \alpha α ∠ B O C = 2 α \angle BOC = 2\alpha ∠ BOC = 2 α кунҷи дарункашида нисфи кунҷи марказии ба ҳамон камон такякунанда аст.
∠ B O A 1 = 1 2 ∠ B O C = α \angle BOA_1 = \dfrac12\angle BOC = \alpha ∠
B C BC BC a = B C = 2 R . a = BC = 2R. a = BC = 2 R . sin 90 ∘ = 1 , \sin 90^\circ = 1, sin 9 0 ∘ = 1 ,
Кунҷи A A A A A A B C BC BC B C BC BC α \alpha α 2 α 2\alpha 2 α 360 ∘ − 2 α 360^\circ - 2\alpha
Дар хотир доред Аз теорема: a : b = sin α : sin β . a : b = \sin\alpha : \sin\beta. a : b = sin α : sin β .
Дар секунҷа тарафи калон дар муқобили кунҷи калон мехобад.
Дар секунҷа sin α = 1 2 . \sin\alpha = \frac12. sin α = 2 1 . α \alpha α
Як ҷавобро интихоб кунед A Ду қимат: 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
B C D Се қимат
BO
A 1
=
2 1 ∠ BOC =
α
O A 1 OA_1 O A 1 B O C . BOC. BOC . Дар △ B O A 1 \triangle BOA_1 △ BO A 1 ∠ A 1 = 90 ∘ \angle A_1 = 90^\circ ∠ A 1 = 9 0 ∘ B A 1 = O B ⋅ sin ∠ B O A 1 = R sin α BA_1 = OB \cdot \sin\angle BOA_1 = R\sin\alpha B A 1 = OB ⋅ sin ∠ BO A 1 = R sin α таърифи синус дар секунҷаи росткунҷа. a = B C = 2 B A 1 = 2 R sin α . a = BC = 2BA_1 = 2R\sin\alpha. a = BC = 2 B A 1 = 2 R sin α . a = 2 R sin α . a = 2R\sin\alpha. a = 2 R sin α .
36 0 ∘ −
2 α
∠ B O C = 360 ∘ − 2 α . \angle BOC = 360^\circ - 2\alpha. ∠ BOC = 36 0 ∘ − 2 α . ∠ B O A 1 = 1 2 ∠ B O C = 180 ∘ − α \angle BOA_1 = \dfrac12\angle BOC = 180^\circ - \alpha ∠ BO A 1 = 2 1 ∠ BOC = 18 0 ∘ − α O A 1 OA_1 O A 1 B A 1 = R sin ( 180 ∘ − α ) = R sin α BA_1 = R\sin(180^\circ - \alpha) = R\sin\alpha B A 1 = R sin ( 18 0 ∘ − α ) = R sin α таърифи синус ва sin ( 180 ∘ − α ) = sin α . \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha. sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α . a = 2 B A 1 = 2 R sin α . a = 2BA_1 = 2R\sin\alpha. a = 2 B A 1 = 2 R sin α . 6
0 ∘
.
Ду қимат: 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
