4.4 · 1/2. Теоремаи косинусҳо - Геометрия — синфи 9
Теоремаи косинусҳо
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , C B = a , CB = a, CB = a , C A = b , CA = b, C A = b , A B = c , AB = c, A B = c
навбатӣ 4.4 · 2/2. Исботи векторӣ. Навъи секунҷа аз рӯйи тарафҳо 1 соат
,
∠ C = γ . \angle C = \gamma. ∠ C = γ . Матлуб: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ .
Исбот. Системаи координатаро тавре мегирем, ки C C C B B B O x Ox O x B ( a ; 0 ) . B(a;\,0). B ( a ; 0 ) . A A A b b b C A CA C A O x Ox O x γ \gamma γ 0 ∘ < γ < 180 ∘ 0^\circ < \gamma < 180^\circ 0 ∘ < γ < 18 0 ∘ 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ A ( b cos γ ; b sin γ ) . A(b\cos\gamma;\,b\sin\gamma). A ( b cos γ ; b sin γ ) .
c 2 = A B 2 = ( b cos γ − a ) 2 + ( b sin γ − 0 ) 2 (формулаи масофа) = b 2 cos 2 γ − 2 a b cos γ + a 2 + b 2 sin 2 γ (кушодани қавсҳо) = a 2 + b 2 ( cos 2 γ + sin 2 γ ) − 2 a b cos γ (гурӯҳбандӣ) = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ , зеро sin 2 γ + cos 2 γ = 1. \begin{aligned}
c^2 &= AB^2\\
&= (b\cos\gamma - a)^2 + (b\sin\gamma - 0)^2\\
&\quad\text{(формулаи масофа)}\\
&= b^2\cos^2\gamma - 2ab\cos\gamma + a^2\\
&\quad + b^2\sin^2\gamma\\
&\quad\text{(кушодани қавсҳо)}\\
&= a^2 + b^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) - 2ab\cos\gamma\\
&\quad\text{(гурӯҳбандӣ)}\\
&= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,\\
&\quad\text{зеро } \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1.
\end{aligned} c 2 = A B 2 = ( b cos γ Қуллаҳои секунҷаро иваз карда, ду шакли дигарро ҳосил мекунем:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β .
Натиҷаҳо Теоремаи Пифагор. Агар γ = 90 ∘ , \gamma = 90^\circ, γ = 9 0 ∘ , cos γ = 0 \cos\gamma = 0 cos γ = 0 c 2 = a 2 + b 2 . c^2 = a^2 + b^2. c 2 = a 2 + b 2 .
Кунҷ аз се тараф. Аз теорема cos γ \cos\gamma cos γ
cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. cos γ = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 . Аз ин ҷо кунҷро меёбем (дар калкулятор: cos − 1 \cos^{-1} cos − 1 α \alpha α β \beta β cos α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c . \cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. cos α = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 .
Мисол Мисоли 1. Тарафҳои секунҷа a = 5 , a = 5, a = 5 , b = 6 , b = 6, b = 6 , γ = 60 ∘ . \gamma = 60^\circ. γ = 6 0 ∘ . c c c
Ҳал. c 2 = 25 + 36 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos 60 ∘ = 61 − 60 ⋅ 1 2 = 31. c^2 = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 61 - 60 \cdot \frac12 = 31. c 2 = 25 + 36 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos 6 0 ∘ = 61 − 60 ⋅ 2 1 = 31. c = 31 ≈ 5,57. c = \sqrt{31} \approx 5{,}57. c = 31 ≈ 5 , 57.
Мисоли 2. Тарафҳои секунҷа a = 2 , a = 2, a = 2 , b = 3 , b = 3, b = 3 , c = 4. c = 4. c = 4.
Ҳал. Бузургтарин кунҷ дар муқобили бузургтарин тараф аст (c = 4 c = 4 c = 4 cos γ = 4 + 9 − 16 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 1 4 . \cos\gamma = \dfrac{4 + 9 - 16}{2 \cdot 2 \cdot 3} = -\dfrac14. cos γ = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 4 + 9 − 16 = − 4 1 . γ = cos − 1 ( − 0,25 ) ≈ 104,5 ∘ \gamma = \cos^{-1}(-0{,}25) \approx 104{,}5^\circ γ = cos − 1 ( − 0 , 25 ) ≈ 104 , 5 ∘
Кор дар синф
Машқҳо 1. Дар ҳолати γ = 90 ∘ \gamma = 90^\circ γ = 9 0 ∘
2. Дар секунҷаи A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 B C = 3 BC = 3 BC = 3 A C = 4 AC = 4 A C = 4 C C C
3. Дар секунҷаи A B C ABC A BC C B = 7 , CB = 7, CB = 7 , C A = 8 CA = 8 C A = 8 ∠ C = 60 ∘ . \angle C = 60^\circ. ∠ C = 6 0 ∘ . A B AB A B 0,01 0{,}01 0 , 01
4. Тарафҳои секунҷа 5, 7 ва 8 см. Кунҷи муқобили тарафи 7 см-ро ёбед (то 0,1 ∘ 0{,}1^\circ 0 , 1 ∘
5. Дар секунҷа a = 3 , a = 3, a = 3 , b = 8 , b = 8, b = 8 , γ = 60 ∘ . \gamma = 60^\circ. γ = 6 0 ∘ . c c c
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 3, 4 ва 5. Исботи теоремаи косинусҳоро дар дафтари хотира нависед. Қиматҳои cos 30 ∘ , cos 45 ∘ , cos 60 ∘ , cos 120 ∘ , cos 135 ∘ , cos 150 ∘ \cos 30^\circ, \cos 45^\circ, \cos 60^\circ, \cos 120^\circ, \cos 135^\circ, \cos 150^\circ cos 3 0 ∘ , cos 4 5 ∘ , cos 6 0 ∘ , cos 12 0 ∘ , cos 13 5 ∘ , cos 15 0 ∘
Дар ин дарс
Ман медонам теоремаи косинусҳоро ва исботи координатии онро барои кунҷи дилхоҳи γ \gamma γ 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ . 180^\circ. 18 0 ∘ . Ман метавонам тарафи сеюмро аз ду тараф ва кунҷи байнашон ёбам.Ман метавонам кунҷро аз се тараф ёбам ва аз теоремаи косинусҳо теоремаи Пифагорро ҳосил кунам. Такрор (2 дақиқа)
Формулаи масофаи байни ду нуқтаро нависед.
Агар A A A b b b O O O O A OA O A γ \gamma γ A A A
sin 2 γ + cos 2 γ \sin^2\gamma + \cos^2\gamma sin 2 γ + cos 2 γ Ҷавобҳо
A B = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 ; AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}; A B = ( x A − x B ) Вазъият барои андешаронӣ Теоремаи Пифагор (c 2 = a 2 + b 2 c^2 = a^2 + b^2 c 2 = a 2 + b 2 a a a b b b c 2 c^2 c 2 a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ c c c
Теорема Квадрати тарафи дилхоҳи секунҷа ба суммаи квадратҳои ду тарафи дигар бе дучандкардашудаи ҳосили зарби ин тарафҳо ба косинуси кунҷи байнашон баробар аст:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ . Расми 1. Секунҷа дар ҳамвории координатӣ: C — ибтидо, B(a; 0). Дар хотир доред Кунҷи γ \gamma γ байни тарафҳои a a a b b b c . c. c . γ \gamma γ cos γ < 0 \cos\gamma < 0 cos γ <
Барои γ = 90 ∘ \gamma = 90^\circ γ = 9 0 ∘
Кадом баробарӣ теоремаи косинусҳо барои тарафи a a a
Як ҷавобро интихоб кунед A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos β a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\beta a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c
B C D Дар секунҷа кунҷи γ \gamma γ c 2 c^2 c 2 a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2
Як ҷавобро интихоб кунед A муқоиса кардан мумкин нест B c 2 > a 2
C D
−
a
) 2
+
(
b
sin
γ
−
0
) 2
( формулаи масофа )
= b 2 cos 2 γ − 2 ab cos γ + a 2
+ b 2 sin 2 γ
( кушодани қавсҳо )
= a 2 + b 2 ( cos 2 γ + sin 2 γ ) − 2 ab cos γ
( гурӯҳбандӣ )
= a 2 + b 2 − 2 ab cos γ ,
зеро sin 2 γ + cos 2 γ = 1.
2
+
(
y A
−
y B
) 2
;
A ( b cos γ ; b sin γ ) ; A(b\cos\gamma;\,b\sin\gamma); A ( b cos γ ; b sin γ ) ; 0
− 2 a b cos γ > 0 -2ab\cos\gamma > 0 − 2 ab cos γ > 0
0
,
001
cos
β
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
a = b + c − 2 b c cos α a = b + c - 2bc\cos\alpha a = b + c − 2 b c cos α
a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α
+ b 2 c^2 > a^2 + b^2 c 2 > a 2 + b 2
c 2 < a 2 + b 2 c^2 < a^2 + b^2 c 2 < a 2 + b 2
c 2 = a 2 + b 2 c^2 = a^2 + b^2 c 2 = a 2 + b 2
