1.8 · 2/2. Формулаҳо барои кунҷи 180° − α - Геометрия — синфи 9
Кунҷҳои α \alpha α 180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α
Нуқтаи A ( x ; y ) A(x;\,y) A ( x ; y ) α \alpha α A
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фасли 1 · 1/2. Кори санҷишӣ 1 соат
1 A_1 A 1
самти манфии
мусбат
180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α Исбот. Барои A 1 A_1 A 1 180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α
cos ( 180 ∘ − α ) = − x R = − cos α , sin ( 180 ∘ − α ) = y R = sin α . \cos(180^\circ - \alpha) = \frac{-x}{R} = -\cos\alpha, \qquad \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{y}{R} = \sin\alpha. cos ( 18 0 ∘ − α ) = R − x = − cos α , sin ( 18 0 ∘ − α ) = R y = sin α . tg ( 180 ∘ − α ) = y − x = − tg α , ctg ( 180 ∘ − α ) = − x y = − ctg α . \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = \frac{y}{-x} = -\operatorname{tg}\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = \frac{-x}{y} = -\operatorname{ctg}\alpha. tg ( 18 0 ∘ − α ) = − x y = − tg α , ctg ( 18 0 ∘ − α ) = y − x = − ctg α . Формулаҳо исбот шуданд. ∎
(Агар tg \operatorname{tg} tg ctg \operatorname{ctg} ctg
Дар нимдавра бинед: нуқтаҳо барои α \alpha α 180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α
Нимдавра: кунҷҳои α ва 180° − α санҷида бин! Аз нав Мисоли 1. Қиматҳои функсияҳои тригонометриро барои 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘
Ҳал. 120 ∘ = 180 ∘ − 60 ∘ 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ 12 0 ∘ = 18 0 ∘ − 6 0 ∘
sin 120 ∘ = sin 60 ∘ = 3 2 , cos 120 ∘ = − cos 60 ∘ = − 1 2 , \sin120^\circ = \sin60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos120^\circ = -\cos60^\circ = -\frac12, sin 12 0 ∘ = sin 6 0 ∘ = 2 3 , cos 12 0 ∘ = − cos 6 0 ∘ = − 2 1 , tg 120 ∘ = − tg 60 ∘ = − 3 , ctg 120 ∘ = − ctg 60 ∘ = − 3 3 . \operatorname{tg}120^\circ = -\operatorname{tg}60^\circ = -\sqrt3, \qquad \operatorname{ctg}120^\circ = -\operatorname{ctg}60^\circ = -\frac{\sqrt3}{3}. tg 12 0 ∘ = − tg 6 0 ∘ = − 3 , ctg 12 0 ∘ = − ctg 6 0 ∘ = − 3 3 .
Ҷадвали қиматҳо α \alpha α 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ sin α \sin\alpha sin α 0 0 0 1 2 \frac12 2 1 2 2 \frac{\sqrt2}{2}
α \alpha α 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ sin α \sin\alpha sin α 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3
«—» — қимат вуҷуд надорад.
Кунҷро аз қимат ёфтан
Агар sin α = 1 2 , \sin\alpha = \frac12, sin α = 2 1 , α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘ α = 180 ∘ − 30 ∘ = 150 ∘ \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ α = 18 0 ∘ − 3 0 ∘ = 15 0 ∘
Агар cos α = − 2 2 , \cos\alpha = -\frac{\sqrt2}{2}, cos α = − 2 2 , ягона аст:
Тавре ки дидем: cos ( 90 ∘ − α ) = sin α \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin α
Коэффитсиенти кунҷӣ барои ҳар кунҷ Дар 1.6 мо k = tg α k = \operatorname{tg}\alpha k = tg α ҳар хати ба тири y y y
Бигузор хат бо тири x x x α \alpha α (α ≠ 90 ∘ \alpha \ne 90^\circ α = 9 0 ∘ Нуқтаи A ( x 1 ; y 1 ) A(x_1;\,y_1) A ( x 1 ; y 1 ) A A A α \alpha α x x x t t t A A A ( x 1 + t cos α ; y 1 + t sin α ) \bigl(x_1 + t\cos\alpha;\; y_1 + t\sin\alpha\bigr) ( x 1 + t cos α ; y 1 + t sin α ) 1 1 1 α \alpha α ( cos α ; sin α ) (\cos\alpha;\,\sin\alpha) ( cos α ; sin α ) t t t (t 1 ≠ t 2 t_1 \ne t_2 t 1 = t 2
k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = ( t 2 − t 1 ) sin α ( t 2 − t 1 ) cos α = tg α . k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{(t_2 - t_1)\sin\alpha}{(t_2 - t_1)\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha. k = x 2 − x 1 y 2 − y 1 = ( t 2 − t 1 ) cos α ( t 2 − t tg α . Ин барои кунҷи кунд ҳам дуруст аст: cos α < 0 , \cos\alpha < 0, cos α < 0 , sin α > 0 \sin\alpha > 0 sin α > 0 tg α < 0. \operatorname{tg}\alpha < 0. tg α < 0. k < 0 k < 0 k < 0 α \alpha α
Кор дар синф
Машқҳо 1. Қиматҳои функсияҳои тригонометриро барои кунҷи 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘
2. Қиматҳои функсияҳои тригонометриро барои кунҷи 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘
3. Қимати ифодаро ёбед: а) sin 30 ∘ + sin 150 ∘ cos 120 ∘ − cos 60 ∘ ; \dfrac{\sin30^\circ + \sin150^\circ}{\cos120^\circ - \cos60^\circ}; cos 12 0 ∘ − cos 6 0 ∘ sin 3 0 ∘ + sin 15 0 ∘ ; tg 135 ∘ ⋅ tg 45 ∘ − ctg 135 ∘ cos 60 ∘ ⋅ cos 150 ∘ . \dfrac{\operatorname{tg}135^\circ \cdot \operatorname{tg}45^\circ - \operatorname{ctg}135^\circ}{\cos60^\circ \cdot \cos150^\circ}. cos 6 0 ∘ ⋅ cos 15 0 ∘ tg 13 5
4. Ифодаро содда кунед (истифода баред: cos ( 90 ∘ − α ) = sin α \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin α cos ( 90 ∘ − α ) + sin ( 180 ∘ − α ) 2 cos ( 180 ∘ − α ) ; \dfrac{\cos(90^\circ - \alpha) + \sin(180^\circ - \alpha)}{2\cos(180^\circ - \alpha)}; 2 cos ( 18 0 ∘ − α ) cos ( 9 0 ∘ − α ) + sin ( 18 0 ∘ − α ) ; sin α − cos ( 90 ∘ − α ) − cos α − cos ( 180 ∘ − α ) . \sin\alpha - \cos(90^\circ - \alpha) - \cos\alpha - \cos(180^\circ - \alpha). sin α − cos ( 9 0 ∘ − α ) − cos α − cos ( 18 0 ∘
5. Қимати ифодаро ёбед: cos 70 ∘ sin 20 ∘ + cos 20 ∘ sin 70 ∘ + sin 60 ∘ sin 120 ∘ − cos 60 ∘ cos 120 ∘ . \cos70^\circ \sin20^\circ + \cos20^\circ \sin70^\circ + \sin60^\circ \sin120^\circ - \cos60^\circ \cos120^\circ. cos 7 0 ∘ sin 2 0 ∘ + cos 2 0 ∘ sin 7 0 ∘ + sin 6 0 ∘ sin 12 0 ∘ − cos 6 0 ∘ cos 12 0 ∘ .
6. Содда кунед: sin 40 ∘ cos 50 ∘ + sin 50 ∘ cos 40 ∘ . \sin40^\circ \cos50^\circ + \sin50^\circ \cos40^\circ. sin 4 0 ∘ cos 5 0 ∘ + sin 5 0 ∘ cos 4 0 ∘ .
Нишондод cos 50 ∘ = cos ( 90 ∘ − 40 ∘ ) = sin 40 ∘ . \cos50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin40^\circ. cos 5 0 ∘ = cos ( 9 0 ∘ − 4 0 ∘ ) = sin 4 0 ∘ . sin 50 ∘ \sin50^\circ sin 5 0 ∘ cos 40 ∘ \cos40^\circ cos 4 0 ∘ sin 2 + cos 2 = 1 \sin^2 + \cos^2 = 1 sin 2 + cos 2 = 1
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4, 5 ва 6. Формулаҳои 180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α
Хулоса
sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cos , \cos, cos , tg , \operatorname{tg}, tg , ctg \operatorname{ctg} ctg k = tg α k = \operatorname{tg}\alpha k = tg α y y y sin 2 α + cos 2 α = 1. \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. sin 2 α + cos 2 sin α = a \sin\alpha = a sin α = a (α \alpha α ва 180 ∘ − α 180^\circ - \alpha 18 0 ∘ − α cos α = a \cos\alpha = a cos α = Дар ин дарс
Ман медонам формулаҳои sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α Ман метавонам қиматҳои sin , \sin, sin , cos , \cos, cos , tg , \operatorname{tg}, tg , ctg \operatorname{ctg} ctg 120 ∘ , 120^\circ, 12 0 ∘ , 135 ∘ , 135^\circ, 13 5 ∘ , 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ Ман медонам , ки k = tg α k = \operatorname{tg}\alpha k = tg α Такрор (2 дақиқа)
sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α cos α \cos\alpha cos α sin α \sin\alpha sin α A ( x ; y ) A(x;\,y) A ( x ; y ) R R R Нуқтаҳои A ( 3 ; 4 ) A(3;\,4) A ( 3 ; 4 ) A 1 A_1 A 1 y y y
Ҷавобҳо
1 1 1 cos α = x R , \cos\alpha = \frac{x}{R}, cos α = R x , sin α = y R \sin\alpha = \frac{y}{R} sin α = Расми 1. Нуқтаҳои A ва A₁ нисбат ба тири y симметрианд: кунҷҳои α ва 180° − α. Формулаҳо sin ( 180 ∘ − α ) = sin α , cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α , \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \qquad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha, sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α , cos ( 18 Калимаҳои калидӣ нимдавра синус косинус тангенс котангенс кунҷи кунд
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?
✓ Ман метавонам қимати sin , \sin, sin , cos , \cos, cos , tg , \operatorname{tg}, tg , ctg \operatorname{ctg} ctg 120 ∘ , 120^\circ,
cos 100 ∘ > 0. \cos100^\circ > 0. cos 10 0 ∘ > 0.
Кадом кунҷҳо дар [ 0 ∘ ; 180 ∘ ] [0^\circ;\,180^\circ] [ 0 ∘ ; 18 0 ∘ ] sin α = 2 2 \sin\alpha = \dfrac{\sqrt2}{2} sin α = 2
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Ба ҳар формула натиҷаашро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед sin ( 180 ∘ − α ) \sin(180^\circ - \alpha) sin ( 18 0 ∘ − α )
→ … −tg α sin α −ctg α −cos α cos α cos ( 180 ∘ − α ) \cos(180^\circ - \alpha) cos ( 18 0 ∘ − α )
→ … −tg α sin α −ctg α −cos α cos α tg ( 180 ∘ − α
→ … −tg α sin α −ctg α −cos α cos α → … −tg α sin α −ctg α −cos α cos α
cos α \cos\alpha cos α 1 1 1 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 1 2 \frac12 2 1 0 0 0
tg α \operatorname{tg}\alpha tg α 0 0 0 3 3 \frac{\sqrt3}{3} 3 3 1 1 1 3 \sqrt3 3 —
ctg α \operatorname{ctg}\alpha ctg α — 3 \sqrt3 3 1 1 1 3 3 \frac{\sqrt3}{3} 3 3 0 0 0
cos α \cos\alpha cos α − 1 2 -\frac12 − 2 1 − 2 2 -\frac{\sqrt2}{2} − 2 2 − 3 2 -\frac{\sqrt3}{2} − 2 3 − 1 -1 − 1
tg α \operatorname{tg}\alpha tg α − 3 -\sqrt3 − 3 − 1 -1 − 1 − 3 3 -\frac{\sqrt3}{3} − 3 3 0 0 0
ctg α \operatorname{ctg}\alpha ctg α − 3 3 -\frac{\sqrt3}{3} − 3 3 − 1 -1 − 1 − 3 -\sqrt3 − 3 —
135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘
[ 0 ∘ ; 180 ∘ ] [0^\circ;\,180^\circ] [ 0 ∘ ; 18 0 ∘ ] 1
)
sin
α
=
∘
⋅
tg
4
5 ∘
−
ctg
13
5 ∘
.
−
α ) .
α
=
1.
a
R y
A 1 ( − 3 ; 4 ) . A_1(-3;\,4). A 1 ( − 3 ; 4 ) . 0 ∘
−
α ) =
− cos α ,
tg ( 180 ∘ − α ) = − tg α , ctg ( 180 ∘ − α ) = − ctg α . \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha. tg ( 18 0 ∘ − α ) = − tg α , ctg ( 18 0 ∘ − α ) = − ctg α . 12 0 ∘ ,
✓ Ман медонам, ки sin α = a \sin\alpha = a sin α = a
135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘
45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘
) \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) tg ( 18 0 ∘ − α )
ctg ( 180 ∘ − α ) \operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) ctg ( 18 0 ∘ − α )
