1.8 · 1/2. Синус, косинус ва тангенси кунҷҳо аз 0° то 180° - Геометрия — синфи 9
Таъриф
Давраи марказаш дар ибтидои координатаҳо O(0;0) ва радиусаш R-ро мегирем; қисми болоии он — нимдавра. Нуқтаи A(x;y) дар нимдавра, α — кунҷи байни нури O ва самти мусбати тири (расми 1). Аз ба тири перпендикуляр мефурорем — проексияи ба тири нуқтаи
навбатӣ1.8 · 2/2. Формулаҳо барои кунҷи 180° − α
1 соат
A
Чаро ин бо синфи 8 мувофиқ аст? Агар α тез бошад, дар секунҷаи росткунҷаи OBA гипотенуза OA=R, катети муқобил AB=y, катети ҳамсоя OB=x. Яъне sinα=Ry ва cosα=Rx — ҳамон таърифи пештара.
Чаро ба R вобаста нест? Агар R-ро иваз кунем, секунҷаи OBA ба секунҷаи монанд иваз мешавад ва таносубҳо Ry, Rx, xy тағйир намеёбанд. Барои ҳамин одатан R=1 мегиранд: он гоҳ x=cosα, y=sinα.
Кунҷҳои 0∘, 90∘, 180∘ ва ишораҳо
Барои α=0∘ нуқта A(R;0) аст; α=90∘: A(0;R); α=180∘: A(−R;0) (расми 2). Аз таъриф:
| α | sinα | cosα | tgα | ctgα |
|---|
| 0∘ | 0 | 1 | 0 | — |
| 90 |
«—» — қимат вуҷуд надорад. tg90∘ вуҷуд надорад, зеро x=0 ва ба 0 тақсим кардан мумкин нест; ctg0∘ ва ctg180∘ — зеро y=0.
Дар нимдавра y≥0 аст, пас sinα≥0 барои ҳар α. Агар α кунд бошад (90∘<α<180∘), x<0 ва y>0: cosα<0, tgα<0, ctgα<0.
Ду айният
Нуқтаи A(x;y) дар давра аст: x2+y2=R2. Ба R2 тақсим мекунем:
(Rx)2+(Ry)2=1,яънеsin2α+cos2α=1 барои ҳар α аз 0∘ то 180∘. Аз таърифҳо: tgα=xy=x/Ry/R=cosαsinα (дар cosα=0) ва ctgα=sinαcosα (дар sinα=0).
Мисоли 1. Агар sinα=0,6 ва α кунд бошад, cosα-ро ёбед.
Ҳал. cos2α=1−0,36=0,64, пас cosα=±0,8. Кунҷ кунд аст, пас cosα<0: cosα=−0,8. Он гоҳ tgα=−0,80,6=−0,75.
Қиматҳоро худатон ёбед
Нуқтаро ба кунҷҳои мухталиф гузаронед ва ҷадвалро пур кунед: ҳамаи қиматҳои 0∘, 30∘, …, 180∘.
Нимдавра: sin, cos, tg ва ctgсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
1. Нуқтаи A(−3;4) дар нимдавраи радиусаш R=5 мехобад. sinα, cosα, tgα, ctgα-ро ёбед. Кунҷи α тез аст ё кунд?
2. Ҳисоб кунед: а) sin90∘+cos180∘; б) 2cos0∘−sin180∘+cos90∘; в) tg0∘+ctg90∘.
3. Ишораи ифодаро муайян кунед (мусбат, манфӣ ё вуҷуд надорад): sin100∘, cos100∘, tg170∘, ctg91∘, tg90∘.
4. Агар cosα=−135 ва α кунд бошад, sinα, tgα ва ctgα-ро ёбед.
5. Нуқтаи A дар нимдавраи радиусаш 4 (R=4) барои α=90∘ ва α=180∘ дорои кадом координатаҳост? Бо таъриф sinα ва cosα-ро санҷед.
6. Исбот кунед: барои ҳар α=90∘ (0∘≤α≤180∘) 1+tg2α=cos2α1.
Нишондод
Айниятро sin2α+cos2α=1 ба cos2α тақсим кунед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4 ва 5. Таърифи sin, cos, tg, ctg-ро барои кунҷҳои 0∘–180∘ ва ҷадвали қиматҳои 0∘, 90∘, 180∘-ро ёд гиред.
Дар ин дарс
- Ман медонам таърифи sinα, cosα, tgα, ctgα барои ҳар кунҷи аз 0∘ то 180∘ бо ёрии нимдавра.
- Ман медонам қиматҳо барои 0∘, 90∘, 180∘ ва ишораи онҳо барои кунҷҳои кунд.
- Ман медонам ду айниятро: sin2α+cos2α=1 ва tgα=
Такрор (2 дақиқа)
- Дар секунҷаи росткунҷа бо гипотенузаи 5 ва катетҳои 3, 4 кунҷи α муқобили катети 3 аст. sinα, cosα, tgα-ро ёбед.
- sin30∘, cos60∘, tg45∘ чӣ қадаранд?
- Кунҷи α=120∘ тез аст ё кунд?
Ҷавобҳо
- sinα=53, cosα=5 ; 2) ; 3) кунд.
Вазъият барои андешаронӣДар синфи 8 sin, cos, tg-ро танҳо барои кунҷҳои тези секунҷаи росткунҷа медонистед. Аммо дар секунҷаи кунд ё кунҷи 120∘ чӣ? Дар ҳамвории координатӣ метавон ин мафҳумҳоро барои ҳар кунҷи аз 0∘ то 180∘ муайян кард — ва барои кунҷи тез натиҷаи пештара мемонад.
Расми 1. Нимдавра, нуқтаи A(x; y), кунҷи α, проексияи B.Таърифcosα= 
Расми 2. Нуқтаҳо барои 0°, 90° ва 180°.tg90∘ вуҷуд надорад.
Кадом ишораро cos130∘ дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед Дар нимдавраи радиусаш 1 ба ҳар кунҷ нуқтаи мувофиқро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед0∘
→90∘
→180∘
→
→ ∘
| 180∘ | 0 | −1 | 0 | — |
cosαsinα
.
4
,
tgα=43 R
x
,
sin
α
=
Ry,tgα=
xy (α=
90∘),ctgα=
yx (α=
0∘, 180∘).
30∘