6.4 · Давра дар ҳамвории координатӣ - Математикаи SAT
Асосӣ Курсҳо Математикаи SAT 6. Геометрия ва тригонометрия
6.4 · Давра дар ҳамвории координатӣ Марказ ва радиус аз рӯи муодила; ҷудо кардани квадрати пурра барои ёфтани онҳо.
Муодилаи давра
Ҳар нуқтаи ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( h , k ) (h, k) ( h , k ) r r r
( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ( x − h навбатӣ 6.4 · Кор дар синф 1: камон ва кунҷҳо Камонҳо, секторҳо, кунҷҳо, расандаҳо ва хордаҳо.
) 2
+
( y −
k ) 2 =
r 2
Марказ ( h , k ) (h, k) ( h , k ) r r r Аломатҳои дохили қавсҳо баръакс мешаванд. Тарафи рост r 2 r^2 r 2 r r r
Мисол. Маркази ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 ( 3 , − 2 ) (3, -2) ( 3 , − 2 ) 25 = 5 \sqrt{25} = 5 25 = 5 ( y + 2 ) (y + 2) ( y + 2 ) ( y − ( − 2 ) ) (y - (-2)) ( y − ( − 2 ))
Нуқта дар дохил, болои давра ё берун аст? Нуқтаро ба тарафи чап гузоред ва бо r 2 r^2 r 2 ( 6 , 2 ) (6, 2) ( 6 , 2 ) ( 6 − 3 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 = 9 + 16 = 25 (6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25 ( 6 − 3 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 = 9 + 16 = 25 r 2 r^2 r 2 r 2 r^2 r 2 хурдтар маънои дохилро дорад. Адади аз r 2 r^2 r 2 калонтар маънои берунро дорад.
Тағйири муодила графикро тағйир медиҳад. Маркази нав давраро ҷобаҷо мекунад. r 2 r^2 r 2 r 2 = 9 r^2 = 9 r 2 = 9 r 2 = 36 r^2 = 36 r 2 = 36 3 3 3 6 6 6
Ҷудо кардани квадрати пурра Давраро бо шакли кушодашуда низ додан мумкин аст. Квадратҳоро барқарор кунед. Нисфи ададро дар мобайн гиред, ба квадрат бардоред ва ба ҳарду тараф илова кунед.
Мисол. x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0
Ҷамъшавандаҳоро гурӯҳбандӣ кунед ва ададро ба тарафи рост гузаронед: ( x 2 − 6 x ) + ( y 2 + 4 y ) = 12 (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 ( x 2 − 6 x ) + ( y 2 + 4 y ) = 12
Нисфи ададро дар мобайн, дар квадрат. Барои x x x ( − 6 2 ) 2 = 9 \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 ( 2 − 6 ) 2 = 9 y y y ( 4 2 ) 2 = 4 \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4 ( 2 4 ) 2 = 4
Ҳарду ададро ба ҳарду тараф илова кунед: ( x 2 − 6 x + 9 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) = 12 + 9 + 4 = 25 (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 = 25 ( x 2 − 6 x + 9 ) + ( y 2 + 4 y +
Квадратҳоро нависед: ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25
Давра ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 ( 3 , − 2 ) (3, -2) ( 3 , − 2 ) 5 5 5
Машқ кунед, то квадратҳоро барои як давра тақрибан дар як дақиқа ҷудо карда тавонед. (Ин ҳадафи ин курс аст, на рақами College Board.)
Агар пеши ҷамъшавандаҳои x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2 2 x 2 + 2 y 2 2x^2 + 2y^2 2 x 2 + 2 y 2 0 0 0
Бинед: муодиларо месозем Марказро ҷунбонед ва радиусро тағйир диҳед, баъд муодиларо хонед. Дар варақчаи охирин шумо худатон квадрати пурраро ҷудо мекунед.
Озмоишгоҳи давра санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф Боз панҷ савол. Бо шашто аз саҳифаи пешин ин викторинаи 11-саволаи шумост. Холҳоятонро ҳисоб кунед. 0 то 8 хол: масъалаҳои синфиро бо муаллим ҳал кунед. 9 то 11 хол: масъалаҳои душвортар ва маҷмӯаи SAT-ро кӯшиш кунед.
Хулоса
Сектор ҳиссаи доира аст: кунҷ 360 ∘ \frac{\text{кунҷ}}{360^\circ} 36 0 ∘ кунҷ 2 π r 2\pi r 2 π r π r 2 \pi r^2 π r 2 s = r θ s = r\theta s = r θ A = 1 2 r 2 θ A = \frac{1}{2}r^2\theta A = 2 1 r 2 θ
Кунҷи марказӣ ба камони худ баробар аст. Кунҷи дарункашида нисфи камони худ аст. Кунҷ дар нимдавра ба 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
Расанда ба радиус перпендикуляр аст. Ду расанда аз як нуқта баробаранд. Перпендикуляр аз марказ хордаро ду баробар мекунад.
Давраи ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
Минбаъд: масъалаҳои синфӣ. Муаллим Вазифаи хонагии A ё B-ро таъин мекунад (онро дар қисми «Синфи ман» ёбед).
Дар ин дарс
шумо аз ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
шумо мегӯед, ки нуқта дар дохили давра, болои давра ё берун аз он ҷойгир аст;
шумо квадрати пурраро ҷудо мекунед, то аз муодилаи кушодашуда марказ ва радиусро ёбед.
Такрор (2 дақиқа)
Масофа байни ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) ( 4 , 6 ) (4, 6) ( 4 , 6 )
Ба x 2 + 10 x x^2 + 10x x 2 + 10 x
Қавсҳоро дар ( x − 3 ) 2 (x - 3)^2 ( x − 3 ) 2
Ҷавоб
3 2 + 4 2 = 5 \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 3 2 + 4 2 = 5 10 10 Давра бо маркази (3, −2) ва радиуси 5. Нуқтаи (6, 2) дар болои он аст. Квадрат бо тарафи x + 3 кунҷчаи 3 · 3 = 9-ро намерасад, то x² + 6x-ро дарбар гирад. Дар имтиҳон чунин навишта мешавад College Board барои давраҳо дар ҳамвории x y xy x y create an equation to represent a circle in the xy-plane » ва «complete the square in an equation representing a circle to determine properties of the circle when it is graphed in the xy-plane and use the distance formula in problems related to circles ». Инчунин он нишон медиҳад, ки тағйири муодила графикро чӣ гуна тағйир медиҳад ва баръакс (Assessment Framework , ҷадвали A38, «Circles»).
Хатоҳое, ки бояд пешгирӣ кард Аломатҳои нодуруст. ( x + 2 ) 2 (x + 2)^2 ( x + 2 ) 2 h = − 2 h = -2 h = − 2
r r r r 2 r^2
Калимаҳои калидӣ давра марказ радиус диаметр камон сектор кунҷи марказӣ кунҷи дарункашида хорда расанда муодилаи давра ҷудо кардани квадрати пурра
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом хатоҳои ин ду саҳифаро шумо метавонед кунед? Яке аз онҳоро дар дафтари хатоҳо нависед, бо роҳи дурусташ.
Худро санҷед (✓ ё ✗):
Ман дарозии камон ва масоҳати секторро ҳамчун ҳиссаи доира, бо дараҷа ва бо радиан меёбам.
Ман баръакс ҳал мекунам: аз камон ё масоҳат ба кунҷ ё радиус.
Ман кунҷҳои марказӣ ва дарункашида ва кунҷи рости дар нимдавраро истифода мебарам.
Ман радиусро ба нуқтаи расиш мекашам ва теоремаи Пифагорро истифода мебарам.
Ман марказ ва радиусро аз муодила мехонам ва муодиларо аз рӯи онҳо менависам.
Ман квадрати пурраро ҷудо мекунам, то марказ ва радиусро ёбам.
Давра дар ҳамвории x y xy x y ( x + 2 ) 2 + ( y − 7 ) 2 = 49 (x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 49 ( x + 2 ) 2 + ( y − 7 ) 2 = 49
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Давра дар ҳамвории x y xy x y ( x − 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 64 (x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 64 ( x − 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 64
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Кадоме аз инҳо муодилаи давра дар ҳамвории x y xy x y ( 3 , − 4 ) (3, -4) ( 3 , − 4 ) 12 12 12
Як ҷавобро интихоб кунед A ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 36 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36 ( x − 3 ) 2
B C D Муодилаи x 2 + y 2 − 6 x + 8 y = 0 x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 x 2 + y 2 − 6 x + 8 y = 0 x y xy x y
Як ҷавобро интихоб кунед A
B C D Давра дар ҳамвории x y xy x y ( 2 , − 3 ) (2, -3) ( 2 , − 3 ) 4 4 4
Як ҷавобро интихоб кунед A ( 6 , 1 ) (6, 1) ( 6 , 1 )
B ( 2 , 1 ) (2, 1) ( 2 , 1 )
C D 4
)
=
12 +
9 +
4 =
25
( h , k ) (h, k) ( h , k )
10
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2 x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2 x 2 − 6 x + 9 x^2 - 6x + 9 x 2 − 6 x + 9 r
2
( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 49 (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 49 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 49 Квадрати пурра аз як тараф. Ададро ба ҳарду тараф илова кунед. Агар онро танҳо ба чап илова кунед, радиус нодуруст мешавад.
Тақсимро фурӯ гузоштан. Бо 2 x 2 + 2 y 2 + … 2x^2 + 2y^2 + \dots 2 x 2 + 2 y 2 + … 2 2 2
+
( y +
4 ) 2 =
36
( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 36 (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36 ( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 36
( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 12 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 12 ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 12
( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 6 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 6 ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 6
25
