Мисол. Дарозии роҳ байни нимдоираҳо 100 м ва паҳноиаш 60 м аст. Росткунҷа 100⋅60=6000 аст. Ду нимдоира як доираи радиусаш 30 ва масоҳаташ 900π-ро месозанд. Масоҳати роҳ 6000+900π≈8827 метри квадратӣ аст.
Шакл
Масоҳат
параллелограмм
bh, ки дар он h дар кунҷи рост ба b чен карда мешавад, на дар тарафи моил
трапетсия
21(b1+b2)h: миёнаи ададии тарафҳои параллел зарби h
нимдоира
21πr2, ки дар он r нисфи тарафи рост аст
ҳалқа
πR2−πr2: доираи калон минус доираи хурд
Ҳаҷм: ду оила ва кура
Призма ё силиндр қатори асосҳои баробар аст: V=(масоҳатиасос)⋅h. Пирамида ё конус бо ҳамон асос ва ҳамон баландӣ дақиқан як сеяки онро дарбар мегирад. Се конуси об силиндрро пур мекунанд.
Мисолҳо. Конус бо r=3 ва h=8 ҳаҷми 31π⋅9⋅8=24π дорад. Силиндр бо ҳамон асос ва ҳамон баландӣ 72π дарбар мегирифт. Кура бо r=3 ҳаҷми 34π⋅27=36π дорад.
Баландӣ баландии перпендикулярӣ аст.h-и конус аз нӯги он рост ба поён ба маркази асос меравад. Агар дар савол ташкилдиҳандаиℓ (ки дар тарафи паҳлуи конус мегузарад) дода шуда бошад, теоремаи Пифагорро истифода баред: h2+r2=ℓ2. Барои ташкилдиҳандаи 13 ва радиуси 5 баландӣ 12 аст.
Тағйири андозаҳо
Ҳар тағйиротро ҳамчун зарбшаванда нависед. Онро ба дараҷае бардоред, ки ҳарфи он дар формула дорад, баъд зарб кунед. Дар V=πr2h радиус дар квадрат аст, барои ҳамин тағйири r ду бор ҳисоб мешавад.
Тағйир (силиндр, V=πr2h)
Ҳаҷм зарб мешавад ба
баландӣ ду баробар мешавад
2
радиус ду баробар мешавад
22=4
радиус ва баландӣ ҳарду ду баробар мешаванд
22⋅2=8
радиус се баробар мешавад, баландӣ ду баробар кам мешавад
32⋅21=4.5
радиус ба 10% зиёд мешавад
1.12=1.21, яъне +21%
Агар ҳар дарозии ҷисм ба k зарб шавад, масоҳати сатҳ ба k2 ва ҳаҷм ба k3 зарб мешавад.
Об ва воҳидҳои кубӣ
Вақте ки ҷисмро дар об мегузоранд, об боло меравад. Ҳаҷми ҷисм ба ҳаҷми обҳои иловашуда баробар аст: масоҳати асоси зарф зарби боло рафтани об.
Мисол. Асоси аквариум 40 см ба 25 см аст ва об ба 2 см боло рафт. Ҳаҷми санг 40⋅25⋅2=2000 сантиметри кубӣ аст. Барои стакани даврашакл бо радиуси 5 ва боло рафтани 4 ҳаҷм π⋅25⋅4=100π аст.
Воҳидҳои кубӣ. Як метр 100 см аст, пас як метри кубӣ 1003=1000000 сантиметри кубӣ аст. Як фути кубӣ 123=1728 дюйми кубӣ аст. Як литр 1000 сантиметри кубӣ аст.
Бинед: ҷисмро тағйир медиҳем
Ҷисмеро интихоб кунед ва лағжандаҳоро ҷунбонед. Формула аз паи онҳо меравад. Баъд супоришҳои зери расмро иҷро кунед. Дар озмоишгоҳ лағжандаи миқёс нест: барои дидани k3 ҳамаи лағжандаҳоро ба як андоза тағйир диҳед ва ҳаҷмҳоро муқоиса кунед.
Озмоишгоҳи ҳаҷмсанҷида бин!
Кор дар синф
Ёздаҳ савол. Ин саҳифа як дарси том аст, барои ҳамин онҳо викторинаи 11-саволаи шумост. Холҳоятонро ҳисоб кунед. 0 то 8 хол: масъалаҳои синфиро бо муаллим ҳал кунед. 9 то 11 хол: масъалаҳои душвортар ва маҷмӯаи SAT-ро кӯшиш кунед.
Шумо оберо аз стакани баланди борик ба косаи васеи паст мерезед. Миқдори об тағйир намеёбад. Сатҳи об боло меравад ё поён? Чаро? Як ҷумла нависед, баъд хонданро давом диҳед.
Роҳи давидан росткунҷа ва ду нимдоира аст. Ду нимдоира якҷоя як доираи радиусаш 30-ро месозанд.
Силиндр π r² h дарбар мегирад. Конус бо ҳамон асос ва ҳамон баландӣ як сеяки онро дарбар мегирад.
Кубе бо теғаи k аз k × k × k кубчаи воҳидӣ иборат аст: барои k = 1, 2, 3 ин 1, 8 ва 27 мешавад.
Санг дар аквариум. Хати нуқтадор сатҳи пештара аст. Боло рафтани h зарби масоҳати асос ба ҳаҷми санг баробар аст.
Дар имтиҳон чунин навишта мешавад
College Board ин малакаҳоро номбар мекунад: «Apply knowledge that changing by a scale factor of k changes all lengths by a factor of k, changes all areas by a factor of k², and changes all volumes by a factor of k³» ва интихоби дурусти «surface area or volume formula and correctly calculating a specified value» (Assessment Framework, ҷадвали A38, «Area and volume»).