3.4 · 3/3. Масъалаҳо доир ба гомотетия ва монандӣ - Геометрия — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 9 3. Монандӣ ва гомотетия
3.4 · 3/3. Масъалаҳо доир ба гомотетия ва монандӣ 1 соат
Маркази гомотетия аз ду ҷуфт нуқта
Агар гомотетия X → X 1 X \to X_1 X → X 1 Y → Y 1 Y \to Y_1 Y → Y 1 O O O
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фасли 3 · 1/2. Кори санҷишӣ 1 соат
X X 1
Мисоли 1. Гомотетия нуқтаи X ( 3 ; 3 ) X(3;\,3) X ( 3 ; 3 ) X 1 ( − 3 ; 0 ) X_1(-3;\,0) X 1 ( − 3 ; 0 ) Y ( 2 ; 1 ) Y(2;\,1) Y ( 2 ; 1 ) Y 1 ( − 1 ; 4 ) Y_1(-1;\,4) Y 1 ( − 1 ; 4 ) k k k
Ҷавоб: O ( 1 ; 2 ) , O(1;\,2), O ( 1 ; 2 ) , k = − 2. k = -2. k = − 2.
Дар расм ҳамон ёфтан: хатҳои X X 1 XX_1 X X 1 Y Y 1 YY_1 Y Y 1 O O O
Периметр ва масоҳат Мисоли 2. Росткунҷаи 2 × 5 2 \times 5 2 × 5 O O O Γ O − 2 \Gamma_O^{-2} Γ O − 2
Ҳал. P = 2 ( 2 + 5 ) = 14 P = 2(2 + 5) = 14 P = 2 ( 2 + 5 ) = 14 S = 2 ⋅ 5 = 10 S = 2 \cdot 5 = 10 S = 2 ⋅ 5 = 10 k = − 2 , k = -2, k = − 2 , ∣ k ∣ = 2 , |k| = 2, ∣ k ∣ = 2 , k 2 = 4 k^2 = 4 k 2 = 4 P 1 = 2 ⋅ 14 = 28 P_1 = 2 \cdot 14 = 28 P 1 = 2 ⋅ 14 = 28 S 1 = 4 ⋅ 10 = 40 S_1 = 4 \cdot 10 = 40 S 1 = 4 ⋅ 10 = 40 4 × 10 4 \times 10 4 × 10 P 1 = 2 ( 4 + 10 ) = 28 , P_1 = 2(4 + 10) = 28, P 1 = 2 ( 4 + 10 ) = 28 , S 1 = 40. S_1 = 40. S 1 = 40.
Озмоишгоҳи гомотетия Маркази гомотетияро ёбед: нуқтаи O O O A 1 , A_1, A 1 , B 1 , B_1, B 1 , C 1 C_1 C 1 k k k
Ёфтани маркази гомотетия санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Шашкунҷаи мунтазами A B C D E M ABCDEM A BC D EM 4 4 4 O O O A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 M 1 = Γ O k ( A B C D E M ) A_1B_1C_1D_1E_1M_1 = \Gamma_O^k(ABCDEM) A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 M 1 = Γ O k ( A BC D EM ) k = 2 , k = 2, k = 2 , k = 0,5. k = 0{,}5. k = 0 , 5. A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1
2. Параллелограмми A B C D ABCD A BC D A B = 6 AB = 6 A B = 6 A D = 8 AD = 8 A D = 8 A 1 B 1 C 1 D 1 = Γ O k ( A B C D ) A_1B_1C_1D_1 = \Gamma_O^k(ABCD) A 1 B 1 C 1 D 1 = Γ O k ( A BC D ) A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A 1 B 1 C 1 D 1 k = 2 , k = 2, k = 2 , k = − 2 , k = -2, k = − 2 , k = 1 2 k = \dfrac{1}{2} k = 2 1
3. Росткунҷаи A B C D ABCD A BC D A B = 3 AB = 3 A B = 3 A D = 4 AD = 4 A D = 4 O O O Γ O 2,5 ( A B C D ) \Gamma_O^{2{,}5}(ABCD) Γ O 2 , 5 ( A BC D )
4. Гомотетия нуқтаи X X X X 1 X_1 X 1 Y Y Y Y 1 Y_1 Y 1 X , X, X , Y Y Y X 1 , X_1, X 1 , Y 1 Y_1 Y 1
5. Давраи O ( r ) O(r) O ( r ) M M M Γ M k [ O ( r ) ] \Gamma_M^k[O(r)] Γ M k [ O ( r )] k = − 3 , k = -3, k = − 3 , k = 3 , k = 3, k = 3 , k = − 2. k = -2. k = − 2.
6. Давраи O ( r ) O(r) O ( r ) M M M Γ M k [ O ( r ) ] \Gamma_M^k[O(r)] Γ M k [ O ( r )] k = 2 , k = 2, k = 2 , k = − 2 k = -2 k = − 2 O M = 2 r . OM = 2r. OM = 2 r .
7. Исбот кунед: нисбати периметрҳои фигураҳои гомотетӣ ба бузургии мутлақи коэффитсиенти гомотетия баробар аст.
8. Исбот кунед: нисбати масоҳатҳои фигураҳои гомотетӣ ба квадрати коэффитсиенти гомотетия баробар аст.
Нишондод Бисёркунҷаро ба секунҷаҳо тақсим кунед. Масоҳати секунҷа: S = 1 2 a b sin C . S = \dfrac{1}{2}ab\sin C. S = 2 1 ab sin C . a , a, a , b , b, b , C C C
9. Исбот кунед: агар Γ O k ( Φ ) = Φ 1 \Gamma_O^k(\Phi) = \Phi_1 Γ O k ( Φ ) = Φ 1 Γ O n ( Φ 1 ) = Φ 2 \Gamma_O^n(\Phi_1) = \Phi_2 Γ O n ( Φ 1 ) = Φ 2 Γ O k n ( Φ ) = Φ 2 . \Gamma_O^{kn}(\Phi) = \Phi_2. Γ O kn ( Φ ) = Φ 2 .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5, 6 ва 7; ★ ихтиёрӣ.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 3.4» (онро аз омӯзгор гиред).
Хулоса
Гомотетия Γ O k \Gamma_O^k Γ O k O X 1 → = k O X → , \overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}, O X 1 = k OX , k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 k > 0 k > 0 k > 0 O O O k < 0 k < 0 k < 0 k = − 1 k = -1 k = − 1 Образи порча — порчаи параллел бо дарозии ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ O O O
Гомотетия табдилдиҳии монандӣ бо коэффитсиенти ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ ∣ k ∣ R |k|R ∣ k ∣ R
P 1 : P = ∣ k ∣ , P_1 : P = |k|, P 1 : P = ∣ k ∣ , S 1 : S = k 2 S_1 : S = k^2 S 1 : S Маркази гомотетия — нуқтаи буриши хатҳои X X 1 XX_1 X X 1 Y Y 1 YY_1 Y Y 1
Дар ин дарс
Ман метавонам маркази гомотетияро аз ду ҷуфт нуқтаи мувофиқ ёбам.Ман медонам , ки гомотетия периметрро ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ k 2 k^2 k 2 Ман метавонам образи бисёркунҷаҳо ва давраҳоро созам ва периметр ва масоҳати онҳоро ҳисоб кунам. Такрор (2 дақиқа)
Гомотетияи Γ O k \Gamma_O^k Γ O k
Аз гомотетияи k = 2 k = 2 k = 2 k = 3 k = 3 k = 3 k k k
Нисбати масоҳатҳои ду секунҷаи монанд бо k = 3 k = 3 k = 3
Ҷавобҳо
∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ 2 ⋅ 3 = 6 2 \cdot 3 = 6 2 ⋅ 3 = 6 9 9 9
Хати X X 1 XX_1 X X 1 X ( 3 ; 3 ) X(3;\,3) X ( 3 ; 3 ) X 1 ( − 3 ; 0 ) X_1(-3;\,0) X 1
Расми 1. Маркази гомотетия — нуқтаи буриши хатҳои XX₁ ва YY₁. Хосият Агар Φ 1 = Γ O k ( Φ ) \Phi_1 = \Gamma_O^k(\Phi) Φ 1 = Γ O k ( Φ )
Дар хотир доред Агар аввал Γ O k \Gamma_O^k Γ O k O O O Γ O n \Gamma_O^n Γ O n
Расми 2. Росткунҷаи ABCD ва образи он бо маркази O — нуқтаи буриши диагоналҳо. Калимаҳои калидӣ гомотетия маркази гомотетия коэффитсиенти гомотетия образ фигураҳои гомотетӣ симметрияи марказӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам гомотетияро бо k > 0 k > 0 k > 0 k < 0 k < 0 k < 0
Ман медонам, ки гомотетия табдилдиҳии монандӣ аст ва метавонам исбот кунам.
Ман метавонам маркази гомотетияро аз ду ҷуфт нуқта ёбам.
Ман медонам, ки периметр ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣
Нисбати масоҳатҳои фигураҳои гомотетӣ ба k k k
Гомотетия нуқтаи A ( 1 ; 1 ) A(1;\,1) A ( 1 ; 1 ) A 1 ( 3 ; 3 ) A_1(3;\,3) A 1 ( 3 ; 3 ) B ( 2 ; 0 ) B(2;\,0) B ( 2 ; 0 )
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
=
k 2
Γ O n ∘ Γ O k = Γ O k n . \Gamma_O^n \circ \Gamma_O^k = \Gamma_O^{kn}. Γ O n ∘ Γ O k = Γ O kn .
(
−
3
;
0
)
3 − 0 3 + 3 = 1 2 , \dfrac{3 - 0}{3 + 3} = \dfrac{1}{2}, 3 + 3 3 − 0 = 2 1 , y = x 2 + 3 2 . y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}. y = 2 x + 2 3 . Хати Y Y 1 YY_1 Y Y 1 Y ( 2 ; 1 ) Y(2;\,1) Y ( 2 ; 1 ) Y 1 ( − 1 ; 4 ) Y_1(-1;\,4) Y 1 ( − 1 ; 4 ) 4 − 1 − 1 − 2 = − 1 , \dfrac{4 - 1}{-1 - 2} = -1, − 1 − 2 4 − 1 = − 1 , y = − x + 3. y = -x + 3. y = − x + 3. Нуқтаи буриш: x 2 + 3 2 = − x + 3 , \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2} = -x + 3, 2 x + 2 3 = − x + 3 , 3 x 2 = 3 2 , \dfrac{3x}{2} = \dfrac{3}{2}, 2 3 x = 2 3 , x = 1 , x = 1, x = 1 , y = 2. y = 2. y = 2. O ( 1 ; 2 ) . O(1;\,2). O ( 1 ; 2 ) . O X → = ( 2 ; 1 ) , \overrightarrow{OX} = (2;\,1), OX = ( 2 ; 1 ) , O X 1 → = ( − 4 ; − 2 ) = − 2 ⋅ O X → . \overrightarrow{OX_1} = (-4;\,-2) = -2 \cdot \overrightarrow{OX}. O X 1 = ( − 4 ; − 2 ) = − 2 ⋅ OX . k = − 2. k = -2. k = − 2. Санҷиш: O Y → = ( 1 ; − 1 ) , \overrightarrow{OY} = (1;\,-1), O Y = ( 1 ; − 1 ) , O Y 1 → = ( − 2 ; 2 ) = − 2 ⋅ O Y → . \overrightarrow{OY_1} = (-2;\,2) = -2 \cdot \overrightarrow{OY}. O Y 1 = ( − 2 ; 2 ) = − 2 ⋅ O Y . P 1 P = ∣ k ∣ , S 1 S = k 2 . \frac{P_1}{P} = |k|, \qquad \frac{S_1}{S} = k^2. P P 1 = ∣ k ∣ , S S 1 = k 2 .
Периметр — ҷамъи дарозиҳои тарафҳо, ҳар кадом ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ 1 2 a b sin C \dfrac{1}{2}ab\sin C 2 1 ab sin C ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ sin C \sin C sin C k 2 k^2 k 2
O X 2 → = n ⋅ k ⋅ O X → . \overrightarrow{OX_2} = n \cdot k \cdot \overrightarrow{OX}. O X 2 = n ⋅ k ⋅ OX . k 2
B 1 ( 5 ; 1 )
