3.3 · 1/5. Секунҷаҳои монанд. Лемма - Геометрия — синфи 9
Секунҷаҳои монанд
Тартиби ҳарфҳо мувофиқатро нишон медиҳад, ҳамон тавре ки дар баробарии секунҷаҳо: дар △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC A 1 A_1
навбатӣ 3.3 · 2/5. Аломати якуми монандии секунҷаҳо 1 соат
A 1
Тарафҳои мувофиқ дар як ҳисса муқобили кунҷҳои баробаранд.
Ин таъриф бо таърифи умумии монандӣ аз 3.2 мувофиқ аст: аз монандии умумӣ мебарояд, ки тарафҳо k k k 3.3 · 3/5 исбот мекунем); баръакс, ду секунҷа бо таърифи боло ба монандии умумӣ мерасанд (3.4 · 2/3 ). То он вақт бо таърифи секунҷаҳо кор мекунем.
Мисоли 1. Секунҷаи баробартарафи A B C ABC A BC 6 6 6 A 1 B 1 C 1 A_1B_1C_1 A 1 B 1 C 1 18 18 18 k k k
Маълум: A B = B C = A C = 6 AB = BC = AC = 6 A B = BC = A C = 6 A 1 B 1 = B 1 C 1 = A 1 C 1 = 18 A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 = 18 A 1 B 1 = B 1 C 1 = A 1 C 1 = 18
Матлуб: △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC k . k. k .
Лемма Лемма — теоремаи ёрирасон: бо он аломатҳои монандиро исбот мекунем.
Маълум: △ A B C , \triangle ABC, △ A BC , B 1 ∈ A B , B_1 \in AB, B 1 ∈ A B , C 1 ∈ A C , C_1 \in AC, C 1 ∈ A C , B 1 C 1 ∥ B C . B_1C_1 \parallel BC. B 1 C 1 ∥ BC .
Матлуб: △ A B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A B 1 C 1 ∼ △ A BC .
Мисоли 2. Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC D E ∥ A C DE \parallel AC D E ∥ A C (D ∈ A B , D \in AB, D ∈ A B , E ∈ B C E \in BC E ∈ BC B D = 4 BD = 4 B D = 4 D A = 2 DA = 2 D A = 2 A C = 9 AC = 9 A C = 9 D E DE D E
Ҳал. △ B D E ∼ △ B A C \triangle BDE \sim \triangle BAC △ B D E ∼ △ B A C лемма. k = B D B A = 4 6 = 2 3 . k = \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}. k = B A B D = 6 4 = 3 2 . D E = k ⋅ A C = 2 3 ⋅ 9 = 6 DE = k \cdot AC = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6 D E = k ⋅ A C = 3 2 ⋅ 9 = 6
Кор дар синф
Машқҳо 1. △ A B C ∼ △ A 1 B 1 C 1 , \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1, △ A BC ∼ △ A 1 B 1 C 1 , A B = 4 AB = 4 A B = 4 B C = 5 BC = 5 BC = 5 C A = 7 CA = 7 C A = 7 A 1 B 1 : A B = 2. A_1B_1 : AB = 2. A 1 B 1 : A B = 2. A 1 B 1 C 1 A_1B_1C_1 A 1 B 1 C 1
2. △ D E F ∼ △ A B C , \triangle DEF \sim \triangle ABC, △ D EF ∼ △ A BC , A B = 6 AB = 6 A B = 6 B C = 9 BC = 9 BC = 9 A C = 12 AC = 12 A C = 12 D E = 8 DE = 8 D E = 8 k k k E F EF EF D F DF D F
3. Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1 △ C A 1 B 1 ∼ △ C A B . \triangle CA_1B_1 \sim \triangle CAB. △ C A 1 B 1 ∼ △ C A B .
Нишондод Хатти миёна ба тарафи сеюм параллел аст (синфи 8). Лемма.
4. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C , \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC, △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC , ∠ A = 40 ∘ , \angle A = 40^\circ, ∠ A = 4 0 ∘ , ∠ B = 65 ∘ . \angle B = 65^\circ. ∠ B = 6 5 ∘ . A 1 B 1 C 1 A_1B_1C_1 A 1 B 1 C 1
5. Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC B 1 C 1 ∥ B C B_1C_1 \parallel BC B 1 C 1 ∥ BC (B 1 ∈ A B , B_1 \in AB, B 1 ∈ A B , C 1 ∈ A C C_1 \in AC C 1 ∈ A C A B = 9 AB = 9 A B = 9 A B 1 = 3 AB_1 = 3 A B 1 = 3 A C = 12 AC = 12 A C = 12 A C 1 AC_1 A C 1 B 1 C 1 : B C B_1C_1 : BC B 1 C 1 : BC
6. Исбот кунед, ки нисбати периметрҳои ду секунҷаи монанд ба коэффитсиенти монандӣ баробар аст.
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4, 5 ва 6. Леммаро бо исбот дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи секунҷаҳои монанд ва мефаҳмам, ки тартиби ҳарфҳо мувофиқатро нишон медиҳад.Ман метавонам тарафҳо ва кунҷҳои секунҷаи монандро аз рӯи k k k Ман метавонам леммаро баён ва исбот кунам: хатти ба тарафи секунҷа параллел секунҷаи монанд мебурад. Такрор (2 дақиқа)
Кунҷҳои мувофиқ дар хатҳои параллел чӣ хосият доранд?
Хатти параллел тарафҳои кунҷро мебурад (B 1 C 1 ∥ B C B_1C_1 \parallel BC B 1 C 1 ∥ BC A A A
Агар дар параллелограмм ду тараф 4 4 4 7 7 7
Ҷавобҳо
баробаранд; 2) A B 1 : A B = A C 1 : A C AB_1 : AB = AC_1 : AC A B 1 : A B = A C 1 : A C 4 4 4
Вазъият барои андешаронӣ Барои баробарии секунҷаҳо се қисми секунҷаро муқоиса мекардем (аломатҳои синфи 7). Агар ду секунҷа танҳо монанд бошанд, кадом қисмҳоро муқоиса кардан кифоя аст? Шумо чӣ гумон мекунед: ду кунҷ? ду тараф? се тараф?
Таъриф Секунҷаҳои A 1 B 1 C 1 A_1B_1C_1 A 1 B 1 C 1 A B C ABC A BC монанданд , агар кунҷҳои мувофиқашон баробар ва тарафҳои мувофиқашон мутаносиб бошанд:
∠ A 1 = ∠ A , ∠ B 1 = ∠ B , ∠ C 1 = ∠ C , A 1 B 1 A B = B 1 C 1 B C = A 1 C 1 A C = k . \angle A_1 = \angle A, \quad \angle B_1 = \angle B, \quad \angle C_1 = \angle C, \qquad \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k. ∠ A 1 = ∠ A , ∠ B Менависанд: △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC . k k
Расми 1. Секунҷаҳои монанд: кунҷҳои мувофиқ як хел камон доранд, тарафҳо бо k = 3/2 мутаносибанд.
Ҳар кунҷи секунҷаи баробартараф 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ синфи 7 (кунҷҳои назди асос ва суммаи кунҷҳо). Пас ∠ A 1 = ∠ A = ∠ B 1 = ∠ B = ∠ C 1 = ∠ C = 60 ∘ . \angle A_1 = \angle A = \angle B_1 = \angle B = \angle C_1 = \angle C = 60^\circ. ∠ A 1 = ∠ A = ∠
Лемма Агар секунҷаро бо хатти рости ба тарафи сеюм параллел бурем, секунҷае ҳосил мешавад, ки ба секунҷаи додашуда монанд аст.
Расми 2. Лемма: B₁C₁ ∥ BC. Барои нисбати сеюм хати ёрирасони C₁D ∥ AB мегузаронем.
∠ A B 1 C 1 = ∠ A B C \angle AB_1C_1 = \angle ABC ∠ A B 1 C 1 = ∠ A BC ∠ A C 1 B 1 = ∠ A C B \angle AC_1B_1 = \angle ACB ∠ A C Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC B 1 B_1 B 1 A B AB A B C 1 C_1 C 1
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Қадамҳои исботи нисбати сеюми лемма (B 1 C 1 : B C = k , B_1C_1 : BC = k, B 1 C 1 : BC = k , ки k = A B 1 : A B k = AB_1 : AB k =
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2
3
4
5
△ A B C ∼ △ K L M . \triangle ABC \sim \triangle KLM. △ A BC ∼ △ K L M .
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед Тарафи A B AB A B
→ … ∠L ∠M LM KM KL Тарафи B C BC BC
→ … ∠L ∠M LM KM KL Тарафи A C AC A C
→ … ∠L ∠M LM KM KL 7
1
=
∠ B , ∠ C 1 =
∠ C , A B A 1 B 1 =
BC B 1 C 1 =
A C A 1 C 1 =
k .
k
B
1
=
∠ B =
∠ C 1 =
∠ C =
6 0 ∘ .
A 1 B 1 A B = B 1 C 1 B C = A 1 C 1 A C = 18 6 = 3 \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{18}{6} = 3 A B A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = A C A 1 C 1 = 6 18 = 3 тарафҳо мутаносибанд. Кунҷҳои мувофиқ баробар ва тарафҳои мувофиқ мутаносиб, пас △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC k = 3 k = 3 k = 3 таърифи секунҷаҳои монанд. 1
B 1
=
∠ A CB
кунҷҳои мувофиқ дар хатҳои параллел B 1 C 1 B_1C_1 B 1 C 1 B C BC BC A B AB A B A C AC A C ∠ A \angle A ∠ A △ A B 1 C 1 \triangle AB_1C_1 △ A B 1 C 1 △ A B C \triangle ABC △ A BC A B 1 A B = A C 1 A C \dfrac{AB_1}{AB} = \dfrac{AC_1}{AC} A B A B 1 = A C A C 1 теоремаи 3.1 дар бораи хатҳои параллеле, ки тарафҳои кунҷро мебуранд. Ин нисбатро k k k Аз C 1 C_1 C 1 C 1 D ∥ A B C_1D \parallel AB C 1 D ∥ A B D D D B C BC BC B 1 C 1 D B B_1C_1DB B 1 C 1 D B B 1 C 1 ∥ B D B_1C_1 \parallel BD B 1 C 1 ∥ B D C 1 D ∥ B 1 B C_1D \parallel B_1B C 1 D ∥ B 1 B B 1 C 1 = B D B_1C_1 = BD B 1 C 1 = B D хосияти тарафҳои муқобили параллелограмм. Дар кунҷи C C C C 1 D C_1D C 1 D A B AB A B C D C B = C C 1 C A \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CC_1}{CA} CB C D = C A C C 1 теоремаи 3.1. Аммо C C 1 C A = C A − A C 1 C A = 1 − A C 1 A C = 1 − k . \dfrac{CC_1}{CA} = \dfrac{CA - AC_1}{CA} = 1 - \dfrac{AC_1}{AC} = 1 - k. C A C C 1 = C D = ( 1 − k ) ⋅ C B . CD = (1 - k) \cdot CB. C D = ( 1 − k ) ⋅ CB . B D = B C − C D = B C − ( 1 − k ) ⋅ B C = k ⋅ B C . BD = BC - CD = BC - (1 - k) \cdot BC = k \cdot BC. B D = BC − C D = BC − ( 1 − k ) ⋅ BC = k ⋅ BC . B 1 C 1 = B D = k ⋅ B C , B_1C_1 = BD = k \cdot BC, B 1 C 1 = B D = k ⋅ BC , B 1 C 1 B C = k \dfrac{B_1C_1}{BC} = k BC B 1 C 1 = k аз 4 ва 6. Пас A B 1 A B = A C 1 A C = B 1 C 1 B C = k \dfrac{AB_1}{AB} = \dfrac{AC_1}{AC} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = k A B A B 1 = A C A C 1 = BC B 1 C 1 = k аз 3 ва 7. Дар якҷоягӣ бо 2 ин таърифи секунҷаҳои монанд аст: △ A B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A B 1 C 1 ∼ △ A BC . A B =
14
A 1 B 1 = 21 A_1B_1 = 21 A 1 B 1 = 21 A C
B 1 C 1 ∥ B C . B_1C_1 \parallel BC. B 1 C 1 ∥ BC . △ A B 1 C \triangle AB_1C △ A B 1 C
△ A B C 1 \triangle ABC_1 △ A B C 1
△ A B 1 C 1 \triangle AB_1C_1 △ A B 1 C 1
△ B B 1 C 1 \triangle BB_1C_1 △ B B 1 C 1
A
B 1
:
A B
Аз C 1 C_1 C 1 C 1 D ∥ A B C_1D \parallel AB C 1 D ∥ A B (D ∈ B C D \in BC D ∈ BC
B D = B C − C D = B C − ( 1 − k ) B C = k ⋅ B C BD = BC - CD = BC - (1 - k) BC = k \cdot BC B D = BC − C D = BC − ( 1 − k ) BC = k ⋅ BC
B 1 C 1 D B B_1C_1DB B 1 C 1 D B B 1 C 1 = B D = k ⋅ B C B_1C_1 = BD = k \cdot BC B 1 C 1 = B D = k ⋅ BC
B 1 C 1 : B C = k B_1C_1 : BC = k B 1 C 1 : BC = k
Теоремаи 3.1 дар кунҷи C C C C D : C B = C C 1 : C A = 1 − k CD : CB = CC_1 : CA = 1 - k C D : CB = C C 1 : C A = 1 − k
B
C
A
C A − A C 1
=
1 −
A C A C 1 =
1 −
k .
