3.4 · 1/3. Гомотетия - Геометрия — синфи 9
Мафҳуми гомотетия
Калимаи «гомотетия» дар тоҷикӣ «монандии марказӣ» маъно дорад: ин монандӣест, ки ҳамаи нуқтаҳо аз як нуқтаи умумӣ — маркази монандӣ — дур ё наздик мешаванд.
Маънои таъриф:
k > 0 k > 0 k > 0 X 1 X_1 X 1 O X OX OX O X 1 = k ⋅ O X OX_1 = k \cdot OX O X
навбатӣ 3.4 · 2/3. Гомотетия — табдилдиҳии монандӣ. Хосиятҳо 1 соат
1
=
k ⋅
OX
k < 0 k < 0 k < 0 X 1 X_1 X 1 O X OX OX O O O O X 1 = ∣ k ∣ ⋅ O X . OX_1 = |k| \cdot OX. O X 1 = ∣ k ∣ ⋅ OX . Таърифро бо векторҳо навиштем, зеро бо дарозӣ танҳо O X 1 = k ⋅ O X OX_1 = k \cdot OX O X 1 = k ⋅ OX k < 0 k < 0 k < 0
Мисоли 1. Маркази гомотетия — O O O X X X X 1 = Γ O k ( X ) X_1 = \Gamma_O^k(X) X 1 = Γ O k ( X ) k = 3 k = 3 k = 3 k = − 2 k = -2 k = − 2
Мисоли 2. Образи порчаи A B AB A B Γ O k \Gamma_O^k Γ O k A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1 A 1 B 1 ∥ A B A_1B_1 \parallel AB A 1 B 1 ∥ A B A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B . A_1B_1 = |k| \cdot AB. A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B .
Исбот. Бигзор A 1 = Γ O k ( A ) , A_1 = \Gamma_O^k(A), A 1 = Γ O k ( A ) , B 1 = Γ O k ( B ) . B_1 = \Gamma_O^k(B). B 1 = Γ O k ( B ) .
Агар хати A B AB A B O O O A 1 A_1 A 1 B 1 B_1 B 1 △ O A B \triangle OAB △ O A B △ O A 1 B 1 \triangle OA_1B_1 △ O A 1 B 1 O O O k < 0 k < 0 k < 0 O A 1 O A = O B 1 O B = ∣ k ∣ \dfrac{OA_1}{OA} = \dfrac{OB_1}{OB} = |k| O A O A 1 = OB O A 1 B 1 ∥ A B A_1B_1 \parallel AB A 1 B 1 ∥ A B
Мисоли 3. Образи △ A B C \triangle ABC △ A BC Γ O 2 \Gamma_O^2 Γ O 2
Қайд: гомотетияи k = − 1 k = -1 k = − 1 O O O O X 1 → = − O X → \overrightarrow{OX_1} = -\overrightarrow{OX} O X 1 = − OX O O O X X 1 XX_1 X X 1
Озмоишгоҳи гомотетия Қуллаҳои секунҷаро кашед, k k k − 3 -3 − 3 3 3 3 k = 0 k = 0 k = 0 S 1 : S = k 2 S_1 : S = k^2 S 1 : S = k 2 P 1 : P = ∣ k ∣ P_1 : P = |k| P 1 : P = ∣ k ∣
Озмоишгоҳи гомотетия санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Исбот кунед: агар k = − 1 k = -1 k = − 1 O O O
2. k = − 2 k = -2 k = − 2 A B AB A B Γ O − 2 ( A B ) \Gamma_O^{-2}(AB) Γ O − 2 ( A B ) (O O O — нуқтаи берун аз A B AB A B
3. Секунҷаи A B C ABC A BC A B = 5 AB = 5 A B = 5 B C = 3 BC = 3 BC = 3 A C = 4 AC = 4 A C = 4 △ A 1 B 1 C 1 = Γ O 3 ( △ A B C ) \triangle A_1B_1C_1 = \Gamma_O^3(\triangle ABC) △ A 1 B 1 C 1 = Γ O 3 ( △ A BC ) △ A 1 B 1 C 1 \triangle A_1B_1C_1 △ A 1 B 1 C 1
4. Исбот кунед: агар k > 0 k > 0 k > 0
Нишондод Мисоли 2: A 1 B 1 → = k A B → . \overrightarrow{A_1B_1} = k\overrightarrow{AB}. A 1 B 1 = k A B . k a ⃗ k\vec a k a a ⃗ \vec a a
5. Исбот кунед: агар k < 0 k < 0 k < 0
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4 ва 5. Таърифи гомотетия ва мисоли 2-ро бо исбот дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи гомотетия, маркази гомотетия ва коэффитсиенти гомотетияро.Ман метавонам нуқтаро, порчаро ва секунҷаро бо гомотетия (аз ҷумла бо k < 0 k < 0 k < 0 Ман метавонам исбот кунам, ки образи порча ба он параллел аст ва дарозиаш ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ Такрор (2 дақиқа)
Вектори λ a ⃗ \lambda\vec a λ a λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 λ < 0 \lambda < 0 λ < 0
Симметрияи марказии нуқтаи X X X O O O
Агар O X 1 → = 3 O X → \overrightarrow{OX_1} = 3\overrightarrow{OX} O X 1 = 3 OX
Ҷавобҳо
λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 a ⃗ \vec a a λ < 0 \lambda < 0 λ < 0 ∣ λ ∣ ⋅ Вазъият барои андешаронӣ Лампаи рӯимизӣ ё проектор расмро ба девор мепартояд: расм калон мешавад, шакл нигоҳ дошта мешавад. Чӣ гуна ин расм бо расми аслӣ алоқаманд аст? Шумо чӣ гумон мекунед: ҳар нуқтаи расм ва нуқтаи мувофиқи он бо манбаи рӯшноӣ дар як хати рост мехобанд?
Таъриф Бигзор O O O k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 Гомотетияи маркази O O O k k k X X X X 1 X_1 X 1
O X 1 → = k ⋅ O X → . \overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}. O X 1 = k ⋅ Менависанд: Γ O k ( X ) = X 1 . \Gamma_O^k(X) = X_1. Γ O k ( X ) = X 1 . O O O Γ O k ( O ) = O
Хати рости O X OX OX
(а) k = 3 k = 3 k = 3 O X OX OX O O O O X 1 = 3 ⋅ O X OX_1 = 3 \cdot OX O X 1
Расми 1. X₁ барои k = 3 ва X₁′ барои k = −2 (O — маркази гомотетия).
O A 1 → = k O A → \overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{OA} O A 1 = k O A Расми 2. Образи порчаи AB барои k = 2 (чап) ва k = −3/2 (рост): A₁B₁ ∥ AB. Низоми сохтан
Нуқтаҳои O O O △ A B C \triangle ABC △ A BC
A 1 = Γ O 2 ( A ) A_1 = \Gamma_O^2(A) A 1 = Γ O Расми 3. Образи секунҷа дар гомотетияи k = 2: тарафҳо ду маротиба калон, параллел. Гомотетия бо k = − 1 k = -1 k = − 1
Маркази гомотетия O O O k = − 2 k = -2 k = − 2 X 1 = Γ O − 2 ( X ) X_1 = \Gamma_O^{-2}(X) X 1 = Γ O
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Образи порчаи A B AB A B A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A барои k < 0 k < 0 k < 0
B C D E B 1
=
∣ k ∣
∣ a ⃗ ∣ |\lambda| \cdot |\vec a|
OX
.
. \Gamma_O^k(O) = O. Γ O k ( O ) = O .
=
3 ⋅
OX
(б) k = − 2 k = -2 k = − 2 O X OX OX O O O O X 1 ′ = 2 ⋅ O X OX_1' = 2 \cdot OX O X 1 ′ = 2 ⋅ OX O B 1 → = k O B → \overrightarrow{OB_1} = k\overrightarrow{OB} O B 1 = k OB таърифи гомотетия.
A 1 B 1 → = O B 1 → − O A 1 → = k O B → − k O A → = k ( O B → − O A → ) = k A B → \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{OB_1} - \overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{OB} - k\overrightarrow{OA} = k(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = k\overrightarrow{AB} A 1 B 1 = O B 1 − O A 1 = k OB − k O A = k ( OB − O A ) = k A B тарҳи векторҳо ва хосиятҳои зарб ба адад. Векторҳои A 1 B 1 → \overrightarrow{A_1B_1} A 1 B 1 A B → \overrightarrow{AB} A B A 1 B 1 ∥ A B A_1B_1 \parallel AB A 1 B 1 ∥ A B шарти коллинеарӣ. ∣ A 1 B 1 ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ A B ∣ |A_1B_1| = |k| \cdot |AB| ∣ A 1 B 1 ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ A B ∣ дарозии k a ⃗ k\vec a k a ∣ k ∣ ⋅ ∣ a ⃗ ∣ |k| \cdot |\vec a| ∣ k ∣ ⋅ ∣ a ∣ Ҳар нуқтаи X X X A X → = t A B → , \overrightarrow{AX} = t\overrightarrow{AB}, A X = t A B , 0 ≤ t ≤ 1. 0 \le t \le 1. 0 ≤ t ≤ 1. O X 1 → = k O X → = k ( O A → + t A B → ) = O A 1 → + t A 1 B 1 → \overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX} = k(\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{OA_1} + t\overrightarrow{A_1B_1} O X 1 X 1 X_1 X 1 A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1 A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1 A 1 B 1 A_1B_1 A 1 B 1 2
(
A
)
O A 1 = 2 ⋅ O A . OA_1 = 2 \cdot OA. O A 1 = 2 ⋅ O A . B 1 = Γ O 2 ( B ) B_1 = \Gamma_O^2(B) B 1 = Γ O 2 ( B ) C 1 = Γ O 2 ( C ) C_1 = \Gamma_O^2(C) C 1 = Γ O 2 ( C ) Порчаҳои A 1 B 1 , A_1B_1, A 1 B 1 , B 1 C 1 , B_1C_1, B 1 C 1 , A 1 C 1 A_1C_1 A 1 C 1 − 2
(
X
)
дар нури O X OX OX O X 1 = 2 ⋅ O X OX_1 = 2 \cdot OX O X 1 = 2 ⋅ OX
дар нури муқобили O X OX OX O X 1 = 1 2 O X OX_1 = \dfrac{1}{2} OX O X 1 = 2 1 OX
дар нури муқобили O X OX OX O X 1 = 2 ⋅ O X OX_1 = 2 \cdot OX O X 1 = 2 ⋅ OX
A 1 B 1 → \overrightarrow{A_1B_1} A 1 B 1 ∥ A B A_1B_1 \parallel AB A 1 B 1 ∥ A B
A 1 B 1 ⊥ A B A_1B_1 \perp AB A 1 B 1 ⊥ A B
A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B A_1B_1 = |k| \cdot AB A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B
A 1 B 1 = A B A_1B_1 = AB A 1 B 1 = A B k k k
=
