3.3 · 3/5. Аломатҳои дуюм ва сеюми монандӣ - Геометрия — синфи 9
Аломати дуюми монандӣ (т–к–т)
Маълум: ∠ A = ∠ A 1 , \angle A = \angle A_1, ∠ A = ∠ A 1 , A 1 B 1 A B = A 1 C 1 A C = k . \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = k. A B A
навбатӣ 3.3 · 4/5. Монандӣ дар секунҷаи росткунҷа 1 соат
1
B 1
=
A C A 1 C 1 =
k .
Матлуб: △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC .
Исбот. Ҳолатҳои A 1 B 1 = A B A_1B_1 = AB A 1 B 1 = A B A 1 B 1 > A B A_1B_1 > AB A 1 B 1 > A B A 1 B 1 < A B . A_1B_1 < AB. A 1 B 1 < A B .
Мисоли 1. Катетҳои ду секунҷаи росткунҷа мутаносибанд. Исбот кунед, ки секунҷаҳо монанданд.
Маълум: △ A B C \triangle ABC △ A BC △ A 1 B 1 C 1 \triangle A_1B_1C_1 △ A 1 B 1 C 1 ∠ C = ∠ C 1 = 90 ∘ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ ∠ C = ∠ C 1 = 9 0 ∘ A 1 C 1 A C = B 1 C 1 B C . \dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{B_1C_1}{BC}. A C A 1 C 1 =
Исбот. Кунҷҳои байни катетҳо: ∠ C = ∠ C 1 = 90 ∘ . \angle C = \angle C_1 = 90^\circ. ∠ C = ∠ C 1 = 9 0 ∘ . A 1 C 1 , B 1 C 1 A_1C_1, B_1C_1 A 1 C 1 , B 1 C 1 A C , B C AC, BC A C , BC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC аломати дуюм (т–к–т). ∎
Аломати сеюми монандӣ (т–т–т) Маълум: A 1 B 1 A B = A 1 C 1 A C = B 1 C 1 B C = k . \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = k. A B A 1 B 1 = A C A 1 C 1 = BC B 1 C 1 = k .
Матлуб: △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC .
Исбот. Ҳамон сохт (расми 1), A 1 B 1 < A B A_1B_1 < AB A 1 B 1 < A B
Мисоли 2. △ A B C ∼ △ A 1 B 1 C 1 , \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1, △ A BC ∼ △ A 1 B 1 C 1 , A B = 8 AB = 8 A B = 8 B C = 10 BC = 10 BC = 10 A C = 6 AC = 6 A C = 6 A 1 B 1 = 4 A_1B_1 = 4 A 1 B 1 = 4 B 1 C 1 B_1C_1 B 1 C 1 A 1 C 1 A_1C_1 A 1 C 1
Ҳал. k = A 1 B 1 A B = 4 8 = 1 2 . k = \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}. k = A B A 1 B 1 = 8 4 = 2 1 . B 1 C 1 = 1 2 ⋅ 10 = 5 B_1C_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5 B 1 C 1 = 2 1 ⋅ 10 = A 1 C 1 = 1 2 ⋅ 6 = 3 A_1C_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3 A 1 C 1 = 2 1 ⋅ 6 =
Се аломати монандӣ ба се аломати баробарӣ монанданд:
Баробарии секунҷаҳо Монандии секунҷаҳо т–к–т: ду тараф ва кунҷи байни онҳо т–к–т: тарафҳо мутаносиб , кунҷи байни онҳо баробар к–т–к: тараф ва ду кунҷи ба он часпида к–к: ду кунҷ (тараф лозим нест!) т–т–т: се тараф т–т–т: се тарафи мутаносиб
Кунҷҳои монандӣ баробаранд Дар 3.2 гуфта будем, ки дар фигураҳои монанд кунҷҳои мувофиқ баробаранд. Акнун исбот мекунем.
Исбот. Аз таъриф: X 1 Y 1 = k ⋅ X Y , X_1Y_1 = k \cdot XY, X 1 Y 1 = k ⋅ X Y , Y 1 Z 1 = k ⋅ Y Z , Y_1Z_1 = k \cdot YZ, Y 1 Z 1 = k ⋅ Y Z , X 1 Z 1 = k ⋅ X Z . X_1Z_1 = k \cdot XZ. X 1 Z 1 = k ⋅ XZ .
Акнун «кунҷҳои мувофиқи монандӣ баробаранд» теоремаи исботшуда аст ва онро дар исботҳо истифода бурда метавонем.
Озмоишгоҳи монандӣ Ду секунҷа дода шудааст. Аломатро интихоб кунед ва k k k
Секунҷаҳои монанд: аломат ва коэффитсиент санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC A 1 , A_1, A 1 , B 1 , B_1, B 1 , C 1 C_1 C 1 △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C . \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC . k k k
Нишондод Хатти миёнаи секунҷа нисфи тарафи сеюм аст (синфи 8). Аломати сеюмро истифода баред.
2. Дар расми 3 кадоме аз секунҷаҳо монанданд? Ҷавобҳоро шарҳ диҳед (аломатро ном баред).
3. Секунҷаҳои тарафҳояшон 15 , 15, 15 , 36 , 36, 36 , 39 39 39 5 , 5, 5 , 12 , 12, 12 , 13 13 13 k k k
4. Дар △ A B C \triangle ABC △ A BC A B = 12 AB = 12 A B = 12 A C = 18 AC = 18 A C = 18 A B AB A B D D D (A D = 4 AD = 4 A D = 4 см), дар A C AC A C E E E (A E = 6 AE = 6 A E = 6 см). Исбот кунед: △ A D E ∼ △ A B C , \triangle ADE \sim \triangle ABC, △ A D E ∼ △ A BC , D E : B C . DE : BC. D E : BC . D E ∥ B C DE \parallel BC D E ∥ BC
Нишондод Аломати дуюм. Баъд кунҷҳои A D E ADE A D E A B C ABC A BC
5. Тарафҳои секунҷа 4 , 4, 4 , 5 , 5, 5 , 6 6 6 45 45 45
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4 ва 5. Аломатҳои дуюм ва сеюмро бо исбот дар дафтар нависед.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 3.3 · 1/2» (онро аз омӯзгор гиред).
Дар ин дарс
Ман медонам аломатҳои дуюм (т–к–т) ва сеюм (т–т–т)-и монандии секунҷаҳоро ва исботи онҳоро.Ман метавонам аз рӯи маълумот аломати дурустро интихоб кунам ва тарафҳои номаълумро ёбам.Ман мефаҳмам , чаро кунҷҳои мувофиқи фигураҳои монанд баробаранд (натиҷаи 3.2). Такрор (2 дақиқа)
Аломати якуми монандиро баён кунед.
Аломатҳои баробарии секунҷаҳоро (синфи 7) номбар кунед.
Агар △ A B C ∼ △ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 △ A BC ∼ △ A 1 B 1 C 1 A 1 B 1 = 2 A B A_1B_1 = 2AB A 1 B 1 = 2 A B
Ҷавобҳо
ду кунҷи як секунҷа ба ду кунҷи дигар баробар; 2) т–к–т, к–т–к, т–т–т; 3) 2 2 2 2 2 2
Теорема (аломати дуюми монандӣ, т–к–т) Агар ду тарафи як секунҷа ба ду тарафи секунҷаи дигар мутаносиб бошанд ва кунҷҳои байни ин тарафҳо баробар бошанд, ин секунҷаҳо монанданд.
Расми 1. Сохт барои исботи аломатҳои дуюм ва сеюм: AB₂ = A₁B₁, B₂C₂ ∥ BC. Дар хотир доред Агар △ A 1 B 1 C 1 = △ A B 2 C 2 \triangle A_1B_1C_1 = \triangle AB_2C_2 △ A 1 B 1 C 1 = △ A B
Дар A B AB A B A B 2 = A 1 B 1 AB_2 = A_1B_1 A B 2 = A 1 B 1
Теорема (аломати сеюми монандӣ, т–т–т) Агар се тарафи як секунҷа ба се тарафи секунҷаи дигар мутаносиб бошанд, ин секунҷаҳо монанданд.
A B 2 = A 1 B 1 AB_2 = A_1B_1 A B 2 = A 1 B 1 B 2 C 2 ∥ B C B_2C_2 \parallel BC Теорема (натиҷаи 3.2) Агар Φ 1 ∼ k Φ , \Phi_1 \overset{k}{\sim} \Phi, Φ 1 ∼ k Φ , X Y Z XYZ X Y Z X 1 Y 1 Z 1 X_1Y_1Z_1
Агар X , X, X , Y , Y, Y , Z Z Z △ X 1 Y 1 Z 1 \triangle X_1Y_1Z_1 △ X 1 Y
Расми 2. Секунҷаи миёнаҷойҳо. Расми 3. Се ҷуфт секунҷа: бо кунҷҳо, бо катетҳо ва бо порчаҳои буранда. Ба ҳар аломат маълумоти мувофиқро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед Аломати якум (к–к) → … ду кунҷи як секунҷа ба ду кунҷи дигар баробар ду тарафи мутаносиб ва кунҷи на дар байни онҳо баробар се тарафи як секунҷа ба се тарафи дигар мутаносиб ду тарафи мутаносиб ва кунҷи байни онҳо баробар
Аломати дуюм (т–к–т) → … ду кунҷи як секунҷа ба ду кунҷи дигар баробар ду тарафи мутаносиб ва кунҷи на дар байни онҳо баробар се тарафи як секунҷа ба се тарафи дигар мутаносиб ду тарафи мутаносиб ва кунҷи байни онҳо баробар
Аломати сеюм (т–т–т) → … ду кунҷи як секунҷа ба ду кунҷи дигар баробар ду тарафи мутаносиб ва кунҷи на дар байни онҳо баробар се тарафи як секунҷа ба се тарафи дигар мутаносиб ду тарафи мутаносиб ва кунҷи байни онҳо баробар
△ A B C \triangle ABC △ A BC A B = 4 , AB = 4, A B = 4 , A C = 6 , AC = 6, A C = 6 , ∠ A = 50 ∘ \angle A = 50^\circ ∠ A = 5
Як ҷавобро интихоб кунед A аломати дуюм (т–к–т) B аломати якум (к–к) C аломати сеюм (т–т–т) D монандӣ исбот намешавад
Секунҷаҳои бо тарафҳои 3 , 3, 3 , 4 , 4, 4 , 5 5 5 6 , 6, 6 , 8 , 8, 8 , 10 10 10
Қадамҳои исботи аломати дуюми монандиро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Дар A B AB A B A B 2 = A 1 B 1 AB_2 = A_1B_1 A B 2 = A 1 B 1
2
3
4
5
BC B 1 C 1
.
5
3
2
C 2
△ A B 2 C 2 ∼ △ A B C \triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC △ A B 2 C 2 ∼ △ A BC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC B 2 C 2 ∥ B C B_2C_2 \parallel BC B 2 C 2 ∥ BC
сохт.
△ A B 2 C 2 ∼ △ A B C \triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC △ A B 2 C 2 ∼ △ A BC A B 2 A B = A 1 B 1 A B = k \dfrac{AB_2}{AB} = \dfrac{A_1B_1}{AB} = k A B A B 2 = A B A 1 B 1 = k лемма. Пас A C 2 = k ⋅ A C AC_2 = k \cdot AC A C 2 = k ⋅ A C таърифи монандӣ. A 1 C 1 = k ⋅ A C A_1C_1 = k \cdot AC A 1 C 1 = k ⋅ A C аз шарт. Пас A C 2 = A 1 C 1 . AC_2 = A_1C_1. A C 2 = A 1 C 1 . A B 2 = A 1 B 1 , AB_2 = A_1B_1, A B 2 = A 1 B 1 , A C 2 = A 1 C 1 , AC_2 = A_1C_1, A C 2 = A 1 C 1 , ∠ A = ∠ A 1 \angle A = \angle A_1 ∠ A = ∠ A 1 △ A B 2 C 2 = △ A 1 B 1 C 1 \triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1 △ A B 2 C 2 = △ A 1 B 1 аломати якуми баробарии секунҷаҳо (т–к–т), синфи 7. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC аз 4, 2 ва «Дар хотир доред». B
2
C 2
∥
BC
сохт.
△ A B 2 C 2 ∼ △ A B C \triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC △ A B 2 C 2 ∼ △ A BC k = A B 2 A B k = \dfrac{AB_2}{AB} k = A B A B 2 лемма. Пас A C 2 = k ⋅ A C AC_2 = k \cdot AC A C 2 = k ⋅ A C B 2 C 2 = k ⋅ B C B_2C_2 = k \cdot BC B 2 C 2 = k ⋅ BC таърифи монандӣ. A 1 C 1 = k ⋅ A C A_1C_1 = k \cdot AC A 1 C 1 = k ⋅ A C B 1 C 1 = k ⋅ B C B_1C_1 = k \cdot BC B 1 C 1 = k ⋅ BC аз шарт. Пас A 1 C 1 = A C 2 A_1C_1 = AC_2 A 1 C 1 = A C 2 B 1 C 1 = B 2 C 2 . B_1C_1 = B_2C_2. B 1 C 1 = B 2 C 2 . A 1 B 1 = A B 2 , A_1B_1 = AB_2, A 1 B 1 = A B 2 , A 1 C 1 = A C 2 , A_1C_1 = AC_2, A 1 C 1 = A C 2 , B 1 C 1 = B 2 C 2 B_1C_1 = B_2C_2 B 1 C 1 = B 2 C 2 △ A 1 B 1 C 1 = △ A B 2 C 2 \triangle A_1B_1C_1 = \triangle AB_2C_2 △ A 1 B 1 C 1 = △ A B 2 аломати сеюми баробарии секунҷаҳо (т–т–т), синфи 7. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC аз 4, 2 ва «Дар хотир доред». X 1 Y 1 Z 1
1
Z 1
шарт ва таъриф.
△ X 1 Y 1 Z 1 ∼ △ X Y Z \triangle X_1Y_1Z_1 \sim \triangle XYZ △ X 1 Y 1 Z 1 ∼ △ X Y Z аломати сеюми монандӣ (т–т–т). ∠ X 1 Y 1 Z 1 = ∠ X Y Z \angle X_1Y_1Z_1 = \angle XYZ ∠ X 1 Y 1 Z 1 = ∠ X Y Z кунҷҳои мувофиқи секунҷаҳои монанд. Агар X , X, X , Y , Y, Y , Z Z Z Y Y Y X X X Z Z Z X Y + Y Z = X Z , XY + YZ = XZ, X Y + Y Z = XZ , X 1 Y 1 + Y 1 Z 1 = k ( X Y + Y Z ) = X 1 Z 1 . X_1Y_1 + Y_1Z_1 = k(XY + YZ) = X_1Z_1. X 1 Y 1 + Y 1 Z X 1 Y 1 + Y 1 Z 1 = X 1 Z 1 X_1Y_1 + Y_1Z_1 = X_1Z_1 X 1 Y 1 + Y 1 Z 1 Y 1 Y_1 Y 1 X 1 X_1 X 1 Z 1 Z_1 Z 1 ∠ X 1 Y 1 Z 1 = 180 ∘ = ∠ X Y Z . \angle X_1Y_1Z_1 = 180^\circ = \angle XYZ. ∠ X 1 Y 1 Z 1 = 18 0 ∘ X X X Z Z Z 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 0
∘
∠ D = 50 ∘ . \angle D = 50^\circ. ∠ D = 5 0 ∘ . 12
B 2 C 2 ∥ B C B_2C_2 \parallel BC B 2 C 2 ∥ BC
△ A B 2 C 2 ∼ △ A B C \triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC △ A B 2 C 2 ∼ △ A BC k = A 1 B 1 A B , k = \dfrac{A_1B_1}{AB}, k = A B A 1 B 1 , A C 2 = k ⋅ A C AC_2 = k \cdot AC A C 2 = k ⋅ A C
△ A B 2 C 2 = △ A 1 B 1 C 1 \triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1 △ A B 2 C 2 = △ A 1 B 1 C 1 A B 2 = A 1 B 1 , AB_2 = A_1B_1, A B 2 = A 1 B 1 , A C 2 = A 1 C 1 , AC_2 = A_1C_1, A C 2 = A 1 C 1 , ∠ A = ∠ A 1 \angle A = \angle A_1 ∠ A = ∠ A 1
Аз шарт A 1 C 1 = k ⋅ A C , A_1C_1 = k \cdot AC, A 1 C 1 = k ⋅ A C , A 1 C 1 = A C 2 A_1C_1 = AC_2 A 1 C 1 = A C 2
△ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC
C 1
C 2
1
=
k ( X Y +
Y Z ) =
X 1 Z 1 .
=
X 1 Z 1
=
∠ X Y Z .
