3.4 · 2/3. Гомотетия — табдилдиҳии монандӣ. Хосиятҳо - Геометрия — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 9 3. Монандӣ ва гомотетия
3.4 · 2/3. Гомотетия — табдилдиҳии монандӣ. Хосиятҳо 1 соат
Гомотетия — монандӣ
Мисоли 1. Исбот кунед, ки гомотетия секунҷаро ба секунҷаи монанд мегузаронад.
Исбот. Бигзор △ A 1 B 1 C 1 = Γ O k ( △ A B C ) . \triangle A_1B_1C_1 = \Gamma_O^k(\triangle ABC). △ A 1 B 1 C 1 = Γ
навбатӣ 3.4 · 3/3. Масъалаҳо доир ба гомотетия ва монандӣ 1 соат
O k
(
△
A
BC
)
.
Ҳамин тавр, дар секунҷаҳо кунҷҳо ҳам нигоҳ дошта мешаванд. Лекин барои фигураи дилхоҳ доштани тасдиқ лозим аст: монандӣ дар маънои 3.2 талаб мекунад, ки ҳар ду нуқта бо ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣
Исбот. Бигзор X , X, X , Y Y Y X 1 = Γ O k ( X ) , X_1 = \Gamma_O^k(X), X 1 = Γ O k ( X ) , Y 1 = Γ O k ( Y ) . Y_1 = \Gamma_O^k(Y). Y 1 = Γ O k ( Y ) .
Хосиятҳои гомотетия Образи давра. Давраи маркази M M M R R R X X X M X = R . MX = R. MX = R . M 1 , M_1, M 1 , X 1 X_1 X 1 M , M, M , X X X M 1 X 1 = ∣ k ∣ ⋅ M X M_1X_1 = |k| \cdot MX M 1 X 1 = ∣ k ∣ ⋅ MX M 1 M_1 M 1 ∣ k ∣ R |k|R ∣ k ∣ R
Озмоишгоҳи гомотетия Гомотетияи давра ва секунҷа санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. △ A B C \triangle ABC △ A BC O O O k = − 2 k = -2 k = − 2 Γ O − 2 ( △ A B C ) \Gamma_O^{-2}(\triangle ABC) Γ O − 2 ( △ A BC )
2. Кунҷи α \alpha α Γ O k ( α ) = α 1 \Gamma_O^k(\alpha) = \alpha_1 Γ O k ( α ) = α 1 O O O k k k α = α 1 . \alpha = \alpha_1. α = α 1 .
Нишондод Образи нур — нури ҳамсамт (агар k > 0 k > 0 k > 0 k < 0 k < 0 k < 0
3. a ∥ b a \parallel b a ∥ b Γ O 3 ( a ∥ b ) \Gamma_O^3(a \parallel b) Γ O 3 ( a ∥ b ) a 1 a_1 a 1 b 1 b_1 b 1 a 1 ∥ b 1 . a_1 \parallel b_1. a 1 ∥ b 1 .
4. Квадрати A B C D ABCD A BC D Γ O k ( A B C D ) \Gamma_O^k(ABCD) Γ O k ( A BC D ) (O O O — берун аз квадрат, k = 1,5 k = 1{,}5 k = 1 , 5 A B C D ABCD A BC D
5. Нуқтаи A A A B C BC BC Γ O 3 ( A ) , \Gamma_O^3(A), Γ O 3 ( A ) , Γ O 3 ( B C ) \Gamma_O^3(BC) Γ O 3 ( BC ) A 1 , A_1, A 1 , B 1 , B_1, B 1 , C 1 C_1 C 1 A 1 A_1 A 1 B 1 C 1 B_1C_1 B 1 C 1
6. Давраи O ( R ) O(R) O ( R ) O O O k = 2 k = 2 k = 2
7. Нуқтаи A A A O ( R ) O(R) O ( R ) Γ A k [ O ( R ) ] \Gamma_A^k[O(R)] Γ A k [ O ( R )] k = 2 k = 2 k = 2 A A A
Нишондод Маркази давраи нав — O 1 = Γ A 2 ( O ) , O_1 = \Gamma_A^2(O), O 1 = Γ A 2 ( O ) , 2 R . 2R. 2 R . A O AO A O A A A O 1 O_1 O 1 O O 1 = R , OO_1 = R, O O 1 = R , R R R 2 R 2R 2 R
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4, 5 ва 6; ★ ихтиёрӣ. Хосиятҳои 1–10 ва теоремаи «гомотетия — монандӣ»-ро дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман метавонам исбот кунам, ки гомотетия табдилдиҳии монандӣ бо коэффитсиенти ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ Ман медонам хосиятҳои гомотетия: хат, кунҷ, параллелӣ, тартиби нуқтаҳо ва марказ.Ман метавонам образи кунҷ, хатҳои параллел ва давраро бисозам. Такрор (2 дақиқа)
Γ O k ( X ) = X 1 \Gamma_O^k(X) = X_1 Γ O k ( X ) = X 1 Агар k = − 1,5 k = -1{,}5 k = − 1 , 5 X 1 X_1 X 1 O O O
Образи порчаи A B AB A B A B AB A B
Ҷавобҳо
O X 1 → = k O X → ; \overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}; O X 1 = k OX
A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B , A_1B_1 = |k| \cdot AB, A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B , B 1 C 1 = ∣ k ∣ ⋅ B C , B_1C_1 = |k| \cdot BC, Теорема Гомотетияи Γ O k \Gamma_O^k Γ O k Φ 1 \Phi_1 Φ 1
X 1 Y 1 → = O Y 1 → − O X 1 → = k ( O Y → − O X → ) = k X Y → \overrightarrow{X_1Y_1} = \overrightarrow{OY_1} - \overrightarrow{OX_1} = k(\overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}) = k\overrightarrow{XY} X 1 Y 1 Дар хотир доред Секунҷаҳои монанд дар маънои 3.3 дар маънои умумии 3.2 низ монананд. Дар ҳақиқат, агар △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC
1. Нуқта. Гомотетия ҳар нуқтаро, ба ғайр аз маркази O O O k = 1 k = 1 k = 1 2. Марказ. Маркази гомотетия ба худаш мегузарад.3. Хати аз марказ гузаранда. Хати рост, ки аз O O O 4. Хат, порча, нур. Гомотетия хати ростро ба хати рост, порчаро ба порча, нурро ба нур мегузаронад.5. Хати аз марказ нагузаранда. Он ба хати ба он параллел мегузарад: X 1 Y 1 → = k X Y → . \overrightarrow{X_1Y_1} = k\overrightarrow{XY}. Расми 1. Давра ва образи он, ки аз нуқтаи A-и худи давра гомотетия мешавад (k = 2): давраҳо дар A мерасанд. Расми 2. Секунҷа ва образи он дар гомотетияи k = 2: кунҷҳои баробар, тарафҳо ду маротиба калон ва параллел. Кадом хосиятҳои гомотетия дурустанд? (Якчанд ҷавоб дуруст аст.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A хати аз марказ нагузаранда ба хати параллел мегузарад B ҳамаи дарозиҳо нигоҳ дошта мешаванд C кунҷҳо тағйир намеёбанд D маркази гомотетия ба худаш мегузарад
Квадрат бо тарафи 3 3 3 k = − 2 k = -2 k = − 2
Як ҷавобро интихоб кунед A квадрат бо тарафи 6 6 6 O O O
B квадрат бо тарафи 6 6 6 O O O
C квадрат бо тарафи 1,5
D росткунҷа, ки квадрат нест Образи фигураро дар гомотетия бо маркази O O O k = 2 k = 2 k = 2
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед хати рост, ки аз O O O
→ … кунҷи 40° давра бо радиуси 6 ҳамон хати рост хати рости ба он параллел давра бо радиуси 1,5 хати рост, ки аз O O O
→ … кунҷи 40° давра бо радиуси 6 ҳамон хати рост хати рости ба он параллел давра бо радиуси 1,5 давра бо радиуси 3 3 3
→ … кунҷи 40° давра бо радиуси 6 ҳамон хати рост хати рости ба он параллел давра бо радиуси 1,5 кунҷи 40 ∘ 40^\circ 4 0
→ … кунҷи 40° давра бо радиуси 6 ҳамон хати рост хати рости ба он параллел давра бо радиуси 1,5
;
A 1 B 1 ∥ A B A_1B_1 \parallel AB A 1 B 1 ∥ A B A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B . A_1B_1 = |k| \cdot AB. A 1 B 1 = ∣ k ∣ ⋅ A B .
B 1
C 1
=
∣ k ∣ ⋅
BC ,
A 1 C 1 = ∣ k ∣ ⋅ A C A_1C_1 = |k| \cdot AC A 1 C 1 = ∣ k ∣ ⋅ A C образи порча ба ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ A 1 B 1 A B = B 1 C 1 B C = A 1 C 1 A C = ∣ k ∣ \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = |k| A B A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = A C A 1 C 1 = ∣ k ∣ аз 1. △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A B C \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC △ A 1 B 1 C 1 ∼ △ A BC ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ аломати сеюми монандӣ (т–т–т). ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣
=
таърифи гомотетия ва хосиятҳои векторҳо.
X 1 Y 1 = ∣ k ∣ ⋅ X Y X_1Y_1 = |k| \cdot XY X 1 Y 1 = ∣ k ∣ ⋅ X Y дарозии вектори k X Y → k\overrightarrow{XY} k X Y Гомотетия ҷуфтҳои нуқтаҳоро мувофиқ мекунад (X ↔ X 1 X \leftrightarrow X_1 X ↔ X 1 Φ 1 \Phi_1 Φ 1 O X → = 1 k O X 1 → \overrightarrow{OX} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow{OX_1} OX = k 1 O X 1 Пас Φ 1 ∼ ∣ k ∣ Φ \Phi_1 \overset{|k|}{\sim} \Phi Φ 1 ∼ ∣ k ∣ Φ таърифи монандӣ. k
△ A B ′ C ′ \triangle AB'C' △ A B ′ C ′ △ A 1 B 1 C 1 \triangle A_1B_1C_1 △ A 1 B 1 C 1 △ A 1 B 1 C 1 \triangle A_1B_1C_1 △ A 1 B 1 C 1 △ A B ′ C ′ \triangle AB'C' △ A B ′ C ′
X 1 Y 1
=
6. Тартиби нуқтаҳо. Агар B B B A A A C C C B 1 B_1 B 1 A 1 A_1 A 1 C 1 C_1 C 1 A B → = t A C → \overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC} A B = t A C ⇒ \Rightarrow ⇒ A 1 B 1 → = t A 1 C 1 → \overrightarrow{A_1B_1} = t\overrightarrow{A_1C_1} A 1 B 1 = 7. Кунҷҳо. Бузургии кунҷ тағйир намеёбад (кунҷҳои монандӣ баробаранд, 3.3 · 3/5 ).
8. Параллелӣ. Хатҳои параллел ба хатҳои параллел мегузаранд.9. Монандӣ. Гомотетия табдилдиҳии монандӣ аст (k → ∣ k ∣ k \to |k| k → ∣ k ∣
10. Фигура. Гомотетия ҳар фигураро ба фигураи монанд мегузаронад.1{,}5 1 , 5
∘
t
