3.3 · 2/5. Аломати якуми монандии секунҷаҳо - Геометрия — синфи 9
Аломати якуми монандӣ
Маълум: △ABC ва △A1B1C1,
навбатӣ3.3 · 3/5. Аломатҳои дуюм ва сеюми монандӣ
1 соат
∠A=∠A1,
∠B=∠B1. Матлуб: △A1B1C1∼△ABC.
Фикри исбот: дар секунҷаи ABC секунҷае мегирем, ки ба A1B1C1 баробар аст, ва лемма онро ба ABC мепайвандад.
Исбот. Се ҳолат ҳаст. Агар A1B1=AB, секунҷаҳо баробаранд (к–т–к, синфи 7) ва монанданд бо k=1. Агар A1B1>AB, номҳои секунҷаҳоро иваз мекунем: монандӣ тарафайн аст (агар △ABC∼△A1B1C1 бо k, пас △A1B1C1∼△ABC бо k1). Пас ҳолати асосӣ: A1B1<AB.
Кунҷи сеюм худ аз худ баробар мешавад (180∘ минуси ду кунҷ), пас ду кунҷ барои монандӣ кофист. Баръакси баробарӣ, ки се ҷузъ мехоҳад.
Мисоли 1. Исбот кунед: агар ду секунҷаи росткунҷа як кунҷи тези баробар дошта бошанд, онҳо монанданд.
Маълум: △ABC ва △A1B1C1 — росткунҷа (∠C=∠C1=90∘), ∠A=∠A1.
Матлуб: △A1B1C1∼△ABC.
Исбот. ∠C=∠C1=90∘ ва ∠A=∠A1 — ду кунҷи баробар, пас секунҷаҳо монанданд — аломати якуми монандӣ (к–к). ∎
Дар амал: кунҷҳои баробар
Мисоли 2. Сутуни ҳамвор 2 м баландӣ дорад ва соясаш 3 м аст. Дар ҳамин вақт сояи дарахт 12 м аст. Баландии дарахтро ёбед.
Ҳал. Сутун ва дарахт ба замин амудан истодаанд, нурҳои офтоб параллеланд. Секунҷаи росткунҷаи якум: сутун, сояи он, нур. Секунҷаи росткунҷаи дуюм: дарахт, сояи он, нур. Ҳар ду секунҷа кунҷи рост ва кунҷи якхелаи афтиши нурҳоро дорад (кунҷҳои мувофиқ дар нурҳои параллел), пас онҳо монанданд — аломати якум (к–к). Нисбати тарафҳои мувофиқ:
2h=312,h=2⋅4=8 м. Кунҷҳои баробарро дар расм кадом тавр меёбем? Се сарчашмаи маъмул:
- кунҷҳои амудӣ — дар нуқтаи буриши ду хат;
- кунҷҳои дохилии вариб ва мувофиқ дар хатҳои параллел;
- кунҷҳои дарункашидаи ба як камон такякунанда дар давра (синфи 7).
Кор дар синф
Машқҳо
1. Дар трапетсияи ABCD (AB∥CD) диагоналҳо дар O мебуранд. Исбот кунед, ки △OCD∼△OAB, ва нависед, ки кадом тарафҳо мувофиқанд.
Нишондод
Кадом кунҷҳо амудӣ, кадомҳо дохилии вариб мебошанд?
2. Дар расми 3 хордаҳои AB ва CD дар нуқтаи E мебуранд. Исбот кунед, ки △ADE∼△CBE (A→C, D→B).
Нишондод
∠DAB ва ∠DCB ба як камон — DB такя мекунанд. Кунҷҳои AED ва BEC амудӣ мебошанд.
3. Исбот кунед: ду секунҷаи баробарпаҳлу, ки кунҷи назди қуллаашон баробар аст, монанданд.
Нишондод
Кунҷҳои назди асос чандтоанд? Онҳоро аз суммаи кунҷҳо ҳисоб кунед.
4. Дар расми 4 хатҳои AE ва BC дар D мебуранд, ∠CAD=∠EBD. Исбот кунед: △ACD∼△BED. Ҷойҳои холиро пур кунед (AC↔BE, AD↔BD, CD↔ED):
а) AC=4, AD=8, CD=10, BD=12; BE ва DE-ро ёбед.
б) AC=12, AD=10, CD=14, BD=5; BE ва DE-ро ёбед.
в) BE=3, BD=4, DE=5, AC=9; AD ва CD-ро ёбед.
5. Дар △ABC нуқтаи D дар AB мехобад ва ∠ACD=∠B. (а) Исбот кунед: △ACD∼△ABC. (б) AB=9 см, AC=6 см. AD-ро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4 ва 5. Исботи аломати якумро дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
- Ман медонам аломати якуми монандии секунҷаҳоро (к–к) ва исботи онро.
- Ман метавонам монандиро аз рӯи ду кунҷи баробар исбот кунам ва аз он тарафҳои номаълумро ёбам.
- Ман метавонам кунҷҳои баробарро дар расм ёбам: кунҷҳои амудӣ, кунҷҳо дар хатҳои параллел, кунҷҳои дарункашидаи ба як камон такякунанда.
Такрор (2 дақиқа)
- Леммаро баён кунед.
- Аломати дуюми баробарии секунҷаҳоро (к–т–к) баён кунед.
- Кунҷҳои амудӣ чӣ хосият доранд?
Ҷавобҳо
- хатти ба тарафи секунҷа параллел секунҷаи монанд мебурад; 2) як тараф ва ду кунҷи ба он часпида баробар бошад, секунҷаҳо баробаранд; 3) баробаранд.
Теорема (аломати якуми монандӣ, к–к)Агар ду кунҷи як секунҷа ба ду кунҷи секунҷаи дигар мутаносибан баробар бошанд, ин секунҷаҳо монанданд.
Расми 1. Исботи аломати якум: AB₂ = A₁B₁ ва B₂C₂ ∥ BC.
- Дар нури AB порчаи AB2=A1B1 мегузорем ( дар мехобад, зеро ) ва аз хатти мегузаронем () —
Расми 2. Трапетсияи ABCD (AB ∥ CD), диагоналҳо дар O мебуранд.
Расми 3. Хордаҳои AB ва CD дар E мебуранд.
Расми 4. Хатҳои AE ва BC дар D мебуранд, кунҷҳои A ва B баробаранд.Ду секунҷаи баробарпаҳлу ҳамеша монанданд.
Кадом ҷуфти секунҷаҳо ба аломати якуми монандӣ монанд аст? (Кунҷи сеюм аз суммаи кунҷҳо.)
Як ҷавобро интихоб кунед Исботи OA:OC=AB:CD -ро дар трапетсия ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1OA:OC=AB:CD — тарафҳои мувофиқи секунҷаҳои монанд
2
3
Дар исботи аломати якум ба ҳар қадам сабаби онро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедAB2=A1B1 ва мегузорем
→→
→
→
B2
A1B1<AB B2C2∥BC сохт.
△AB2C2∼△ABC — лемма. Пас ∠AB2C2=∠ABC — кунҷҳои мувофиқи секунҷаҳои монанд. ∠AB2C2=∠ABC=∠A1B1C1 — аз 2 ва шарт ∠B=∠B1. AB2=A1B1 (сохт), ∠A=∠A1 (шарт), ∠AB2C2=∠A1B1 (3): △AB2C2=△A1B1 — аломати дуюми баробарии секунҷаҳо (к–т–к), синфи 7. Аз баробарии секунҷаҳо: A1C1=AC2, B1C1=B2C2, ва ҳамаи кунҷҳо баробаранд. Аз монандии △AB2C2∼△ABC (қадами 2) тарафҳои AB2, AC2, B2C2 мутаносибан ба k⋅AB, k⋅AC, k⋅BC баробаранд (k=ABAB2). Пас ABA1B1= ва кунҷҳои мувофиқ баробаранд: △A1B1C1∼△ABC — таърифи секунҷаҳои монанд. CD=
10,
∘
∠D=60∘, ∠E=60∘ △ABC: ∠A=30∘, ∠B=90∘; △DEF: ∠D=60∘, ∠E=90∘
△ABC: ∠A=50∘, ∠B=60∘; △DEF: ∠D=50∘, ∠E=80∘
△ABC: ∠A=40∘, ∠B=80∘; △DEF: ∠D=40∘, ∠E=70∘
∠AOB=∠COD (кунҷҳои амудӣ) ва ∠OAB=∠OCD (дохилии вариб дар AB∥CD)
△OAB∼△OCD — аломати якуми монандӣ (к–к)
B2
C2
∥
BC
△AB2C2∼△ABC
∠AB2C2=∠A1B1C1
△AB2C2=△A1B1C1
C1
C1
ACA1C1=
BCB1C1=
k,