29 · 1/2. Кунҷ ва камон. Ченаки градусӣ ва радианӣ - Алгебра — синфи 9
Кунҷ ҳамчун гардиш
Кунҷро ҳамчун натиҷаи гардиши нур дар атрофи нуқтаи аввала O фаҳмидан қулай аст. Нурро аз вазъияти аввалаи OA то вазъияти охирини OB мегардонем — кунҷи AOB ҳосил мешавад. OA — тарафи аввалини кунҷ, OB — тарафи охирини он.
Гардиш метавонад аз кунҷи кушод () калон бошад ва якчанд гардиши пурра дошта бошад. Ду самти гардиш ҳаст:
навбатӣ29 · 2/2. Кунҷи гардиш дар ҳамвории координатавӣ. Чорякҳо
1 соат
180∘
Камонҳо
Ба ҳар кунҷи дар маркази давра гузошташуда камон мувофиқ аст — қисми давра, ки бо ду радиус маҳдуд шудааст. Агар радиус OA дар атрофи O гардад, нӯги он (A) дар давра ҳаракат мекунад. Камони мусбат — ҳаракат муқобили ақрабаки соат, манфӣ — бо самти он. Камон метавонад якчанд давраи пурраро дарбар гирад: мисол — ресмон, ки ба ғалтак якчанд маротиба печонида шудааст.
Градус
Воҳиди асосии ченаки кунҷ — градус: 1∘ ба 3601 ҳиссаи гардиши пурра баробар аст. Барои кунҷҳои бо градуси нопурра дақиқа (1′=601 градус) ва сония (1′′=601 дақиқа) истифода мешаванд. Кунҷи мусбат бо адади мусбат, кунҷи манфӣ бо адади манфӣ ифода мешавад. Масалан, 22∘30′=22,5∘.
Радиан
Дар маркази давра кунҷи додашударо гирем. Агар радиуси давра калон шавад, камони он низ калон мешавад, вале нисбати дарозии камон ба радиус тағйир намеёбад: он танҳо аз кунҷ вобаста аст.
Дарозии давра ба 2πR баробар аст, пас ченаки радиании гардиши пурра R2πR=2π≈6,28. Аз ин ҷо:
360∘=2π рад,180∘=π рад. Одатан ба ҷойи «кунҷи ба α радиан баробар» мегӯянд «кунҷи α», ва «рад»-ро наменависанд: кунҷи 0,5 — ин 0,5 радиан аст.
Мисоли 1. 150∘-ро ба радиан мегардонем:
150∘=150⋅180π=65π рад. Мисоли 2. 4,5 радианро ба градус мегардонем:
4,5 рад=4,5⋅π180∘≈257,8∘≈258∘. Мисоли 3. Дарозии камони давраи радиусаш R=16 см ва кунҷи марказиаш 4π радианро меёбем. Аз α=Rl ҳосил мешавад l=αR:
l=4π⋅16=4π см≈12,57 см. | градус | радиан |
|---|
| 0∘ | 0 |
| 30∘ | 6π |
| 45∘ | 4π |
| 60∘ | 3π |
| 90∘ | 2π |
| 120∘ | 32π |
| 135∘ | 43π |
| 150∘ | 65π |
| 180∘ | π |
| градус | радиан |
|---|
| 210∘ | 67π |
| 225∘ | 45π |
| 240∘ | 34π |
| 270∘ | 23π |
| 300∘ | 35π |
| 315∘ | 47π |
| 330∘ | 611π |
| 360∘ | 2π |
Қиматҳои тақрибӣ: π/6≈0,5236, π/4≈0,7854, π/3≈1,0472, π/2≈1,5708, π≈3,1416, 3π/2≈4,7124, 2π≈6,2832.
Худатон санҷед: радиусро гардонед ва ду ченакро муқоиса кунед.
Радиуси гардон ва ченаки кунҷсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Кунҷи додашударо бо радианҳо ифода намоед:
- а) 1∘;
- б) 15∘;
- в) 45∘;
- г) 70∘;
- ғ) 120∘;
- д) 150∘;
- е) 320∘;
- ё) 315∘;
- ж) 1000∘.
2. Кунҷи додашударо бо градусҳо ифода намоед:
- а) 15π;
- б) −8π;
- в) 32π;
- г) 611π;
- ғ) 0,25π;
- д) −631π.
Дар хона
3. Дарозии камони давраро ёбед:
- а) радиуси давра 6 см, кунҷи марказӣ 150∘;
- б) радиуси давра 10 см, кунҷи марказӣ 1,2 рад;
- в) радиуси давра 9 см, кунҷи марказӣ 3π.
4. Дарозии камони давра ба 12 см ва радиуси он ба 8 см баробар аст. Кунҷи марказиро бо радиан ва тақрибан бо градус ёбед.
5. Чархи радиусаш 30 см панҷ гардиши пурра мекунад. Чанд метр роҳ мегузарад (чарх бе лағжиш ғелонида мешавад)?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–5.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 29 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад; он ба соати дуюми мавзӯъ — 29 · 2/2 — мансуб аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки кунҷи гардиш бо самт ва ба ҳар қимат метавонад баробар бошад (мусбат, манфӣ, зиёда аз як гардиш).
- Ман метавонам кунҷро аз градус ба радиан ва баръакс гардонам.
- Ман метавонам дарозии камонро бо формулаи l=αR ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Дарозии давраи радиусаш R чанд аст?
- Кунҷи кушод ва гардиши пурра чанд градус аст?
- Тақрибан чанд аст π?
Ҷавобҳо
- 2πR. 2) 180∘ ва 360∘. 3) π≈3,14.
Вазъият барои андешаронӣРесмонро ба ғалтак се маротиба печондан мумкин аст. Кунҷи гардиши ғалтак чанд градус аст? Агар ресмонро баръакс печонем, оё кунҷро бо ҳамин адад ифода кардан мумкин аст? Чӣ тавр ду самтро фарқ кунем?
ТаърифАгар нур муқобили ҳаракати ақрабаки соат гардад, кунҷи гардиш мусбат, агар бо самти ақрабаки соат гардад — манфӣ ҳисоб мешавад.
Кунҷи мусбат (муқобили ақрабаки соат) ва манфӣ (бо самти ақрабаки соат). Кунҷи манфӣ дар расм ба −230° баробар аст.ТаърифЧенаки радиании кунҷ — нисбати дарозии камони давра, ки ин кунҷ барояш кунҷи марказӣ аст, ба радиуси ҳамин давра:
α=Rl.Як радиан — кунҷи марказие, ки ба камони дарозиаш ба радиус баробар такя мекунад.
Як радиан: камон AB ба радиус баробар аст.ҚоидаАз 180∘=π рад:
1∘=180 Дар хотир доредДарозии камон: l=αR, ки α — ҳатман бо радиан.
Кунҷи 1 радиан аз 60∘ камтар аст.
Кунҷи 225∘-ро бо радиан ифода кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед Радиуси гардон ба самти ҳаракати ақрабаки соат 270∘ гардонда шуд. Кунҷи гардиш ба чанд баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
π
рад
≈
0,01745 рад,
1 рад=π180∘≈57,3∘ (≈57∘17′45′′). Агар кунҷ A∘ бошад, ченаки радианиаш α=180A⋅π, ва кунҷи α рад ба π180∘⋅α градус баробар аст.
4π
0
∘