32 · 2/2. Ёфтани функсияҳо аз рӯйи яке аз онҳо - Алгебра — синфи 9
Аз як функсия ба дигарон
Айниятҳои асосӣ имкон медиҳанд, ки агар қимати як функсияи тригонометрии кунҷ маълум бошад, қиматҳои се функсияи дигарро ёбем. Фақат як мушкилӣ ҳаст: аз sin 2 α = 1 − cos 2 α \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha sin 2 α = 1 − cos 2 α sin α = ± 1 − cos 2 α , \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}, sin α =
навбатӣ 33 · 1/2. Сода кардани ифодаҳои тригонометрӣ 1 соат
Мисоли 1. Маълум аст, ки cos α = − 0,6 \cos\alpha = -0{,}6 cos α = − 0 , 6 90 ∘ < α < 180 ∘ . 90^\circ < \alpha < 180^\circ. 9 0 ∘ < α < 18 0 ∘ . sin α , \sin\alpha, sin α , tg α , \tg\alpha, tg α , ctg α \ctg\alpha ctg α
Ҳал. Кунҷи α \alpha α cos α = − 0,6 \cos\alpha = -0{,}6 cos α = − 0 , 6 sin α = ± 1 − cos 2 α . \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}. sin α = ± 1 − cos 2 α .
sin α = 1 − 0,36 = 0,64 = 0,8 ; \sin\alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8; sin α = 1 − 0 , 36 = 0 , 64 = 0 , 8 ; tg α = sin α cos α = 0,8 − 0,6 = − 4 3 ; ctg α = cos α sin α = − 0,6 0,8 = − 3 4 . \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0{,}8}{-0{,}6} = -\frac{4}{3}; \qquad \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-0{,}6}{0{,}8} = -\frac{3}{4}. tg α = cos α sin α = − 0 , 6 0 , 8 = − 3 4 ; ctg α = sin α cos α = 0 , 8 − 0 , 6 = − 4 3 . Санҷиш: tg α ⋅ ctg α = ( − 4 3 ) ( − 3 4 ) = 1. \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = \left(-\dfrac{4}{3}\right)\left(-\dfrac{3}{4}\right) = 1. tg α ⋅ ctg α = ( − 3 4 ) ( − 4 3 ) = 1.
Мисоли 2. Бигзор, sin α = 3 5 \sin\alpha = \dfrac{3}{5} sin α = 5 3 90 ∘ < α < 180 ∘ . 90^\circ < \alpha < 180^\circ. 9 0 ∘ < α < 18 0 ∘ . cos α , \cos\alpha, cos α , tg α , \tg\alpha, tg α , ctg α \ctg\alpha ctg α
Ҳал. Кунҷи α \alpha α
cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − ( 3 5 ) 2 = − 4 5 ; tg α = 3 / 5 − 4 / 5 = − 3 4 ; ctg α = − 4 / 5 3 / 5 = − 4 3 . \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5}; \qquad \tg\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}; \qquad \ctg\alpha = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3}. cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − ( 5 3 ) 2 = − 5 4 ; tg α = − 4/5 3/5 = − 4 3 ; ctg α = 3/5 − 4/5 = − 3 4 . Мисоли 3. Маълум аст, ки tg α = − 3 4 \tg\alpha = -\dfrac{3}{4} tg α = − 4 3 270 ∘ < α < 360 ∘ . 270^\circ < \alpha < 360^\circ. 27 0 ∘ < α < 36 0 ∘ . cos α , \cos\alpha, cos α , sin α , \sin\alpha, sin α , ctg α \ctg\alpha ctg α
Ҳал. Аз айнияти (4): 1 cos 2 α = 1 + tg 2 α = 1 + 9 16 = 25 16 , \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tg^2\alpha = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}, cos 2 α 1 = 1 + tg 2 α = 1 + 16 9 = 16 25 , cos 2 α = 16 25 . \cos^2\alpha = \dfrac{16}{25}. cos 2 α = 25 16 . cos α = 4 5 . \cos\alpha = \dfrac{4}{5}. cos α = 5 4 . tg α = sin α cos α \tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α sin α = tg α ⋅ cos α = − 3 4 ⋅ 4 5 = − 3 5 . \sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha = -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{3}{5}. sin α = tg α ⋅ cos α = − 4 3 ⋅ ctg α = 1 tg α = − 4 3 . \ctg\alpha = \dfrac{1}{\tg\alpha} = -\dfrac{4}{3}. ctg α = tg α 1 = − 3 4 .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Қимати функсияҳои тригонометрии кунҷи α \alpha α
а) sin α = 0,6 , \sin\alpha = 0{,}6, sin α = 0 , 6 , 0 ∘ < α < 90 ∘ ; 0^\circ < \alpha < 90^\circ; 0 ∘ < α < 9 0 ∘ ;
б) tg α = 2 , \tg\alpha = 2, tg α = 2 , 180 ∘ < α < 270 ∘ ; 180^\circ < \alpha < 270^\circ; 18 0 ∘ < α < 27 0 ∘ ;
в) tg α = 1 3 , \tg\alpha = \dfrac{1}{3}, tg α = 3 1 , 180 ∘ < α < 270 ∘ . 180^\circ < \alpha < 270^\circ. 18 0 ∘ < α <
2. Маълум аст, ки π 2 < α < π . \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi. 2 π < α < π .
а) cos α = − 0,6 , \cos\alpha = -0{,}6, cos α = − 0 , 6 , sin α \sin\alpha sin α
б) sin α = 1 3 , \sin\alpha = \dfrac{1}{3}, sin α = 3 1 , cos α \cos\alpha cos α
в) cos α = − 15 17 , \cos\alpha = -\dfrac{15}{17}, cos α = − 17 15 , tg α \tg\alpha tg α
г) ctg α = − 2 , \ctg\alpha = -2, ctg α = − 2 , sin α \sin\alpha sin α
Дар хона 3. Қимати функсияҳои тригонометрии кунҷи α \alpha α
а) sin α = 0,96 , \sin\alpha = 0{,}96, sin α = 0 , 96 , π 2 < α < π ; \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi; 2 π < α < π ;
б) sin α = − 0,8 , \sin\alpha = -0{,}8, sin α = − 0 , 8 , 3 π 2 < α < 2 π ; \dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi; 2 3 π < α < 2 π ;
в) sin α = 0,6 , \sin\alpha = 0{,}6, sin α = 0 , 6 , 0 < α < π 2 ; 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}; 0 < α < 2 π ;
г) sin α = − 0,3 , \sin\alpha = -0{,}3, sin α = − 0 , 3 , π < α < 3 π 2 ; \pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}; π < α < 2 3 π ;
ғ) cos α = − 1 2 , \cos\alpha = -\dfrac{1}{2}, cos α = − 2 1 , π 2 < α < π ; \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi; 2 π
д) cos α = − 1 3 , \cos\alpha = -\dfrac{1}{3}, cos α = − 3 1 , π < α < 3 π 2 ; \pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}; π < α <
е) cos α = 0,6 , \cos\alpha = 0{,}6, cos α = 0 , 6 , 3 π 2 < α < 2 π ; \dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi; 2 3 π < α < 2 π ;
ё) cos α = 2 3 , \cos\alpha = \dfrac{2}{3}, cos α = 3 2 , 0 < α < π 2 . 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}. 0 < α < 2
Такрор
а) 242 − 200 + 8 ; \sqrt{242} - \sqrt{200} + \sqrt{8}; 242 − 200 + 8 ;
б) 75 − 0,1 300 + 27 ; \sqrt{75} - 0{,}1\sqrt{300} + \sqrt{27}; 75 − 0 , 1 300
в) 98 − 72 + 0,5 8 . \sqrt{98} - \sqrt{72} + 0{,}5\sqrt{8}. 98 − 72
а) 5 x − 10 \sqrt{5x - 10} 5 x − 10 x = 2 ; x = 2; x = 2 ;
б) 6 − 2 y \sqrt{6 - 2y} 6 − 2 y y = 1 ; y = 1; y = 1 ;
в) 2 a − b \sqrt{2a - b} 2 a − b a = 16 , a = 16, a = 16 , b = − 14 ; b = -14; b =
г) m − 4 n \sqrt{m - 4n} m − 4 n m = 0 , m = 0, m = 0 , n = − 1 ; n = -1; n =
а) ( 3 x − 6 ) 2 ( 2 − x ) 2 ; \dfrac{(3x - 6)^2}{(2 - x)^2}; ( 2 − x ) 2 ( 3 x − 6 ) 2 ;
б) a 2 + 8 a + 16 ( 2 a + 8 ) 2 . \dfrac{a^2 + 8a + 16}{(2a + 8)^2}. ( 2 a + 8 ) 2 a 2 + 8 a + 16 .
7. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 2 + x 3 < 5 ; \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} < 5; 2 x + 3 x < 5 ;
б) 3 y 2 − y 2 ≥ 2. \dfrac{3y}{2} - \dfrac{y}{2} \ge 2. 2 3 y − 2 y ≥ 2.
8. Як адад назар ба дигараш 4,5 4{,}5 4 , 5 54 54 54 72 72 72
9. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x + y = 8 , x y = − 20 ; \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20; \end{cases} { x + y = 8 , x y = − 20 ;
б) { x − y = 0,8 , x y = 2,4. \begin{cases} x - y = 0{,}8, \\ xy = 2{,}4. \end{cases} { x − y = 0 , 8 , x y = 2 , 4.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3–9 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 32 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Аз қимати як функсия ва чоряки кунҷ қиматҳои се функсияи дигарро аз айниятҳои (1)–(4) меёбем.
sin α = ± 1 − cos 2 α , \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}, sin α = ± 1 − cos 2 α , cos α = ± 1 − sin 2 α \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha} cos α = ± 1 − sin 2 α Аз tg α \tg\alpha tg α cos 2 α = 1 1 + tg 2 α , \cos^2\alpha = \dfrac{1}{1 + \tg^2\alpha}, cos 2 α = 1 + tg 2 α
Санҷиш: tg α ⋅ ctg α = 1 \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 tg α ⋅ ctg α = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1. \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. sin 2 α + cos 2 α
Дар ин дарс
Ман метавонам аз рӯйи қимати як функсияи тригонометрӣ ва чоряки кунҷ қиматҳои се функсияи дигарро ёбам.Ман медонам , ки аломати реша (плюс ё минус)-ро аз чоряки кунҷ интихоб мекунанд. Такрор (2 дақиқа)
Айниятҳои sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α cos α \tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α
Аломати sin , \sin, sin , cos , \cos, cos , tg \tg tg
Решаи 0,64 \sqrt{0{,}64} 0 , 64 t 2 = 0,64 t^2 = 0{,}64 t 2 = 0 , 64
Ҷавобҳо
Дар ёд доред. 2) sin < 0 , \sin < 0, sin < 0 , cos < 0 , \cos < 0, cos < 0 , tg > 0. \tg > 0. tg > 0. 0,8 ; 0{,}8; 0 , 8 ; t = 0,8 t = 0{,}8
Қоида
Муайян кунед, кунҷ дар кадом чоряк аст ва ҳар як функсия чӣ гуна аломат дорад.
Аз айнияти sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
Дар хотир доред Аломати реша аз формула намебарояд — он аз чоряки кунҷ маълум аст. Агар чоряк дода нашавад, ду ҷавоб ҳосил мешавад (± \pm ± cos α = 0,6 \cos\alpha = 0{,}6 cos α = 0 , 6
Калимаҳои калидӣ айниятҳои асосии тригонометрӣ аломати реша чоряки кунҷ санҷиш
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом қадамро ҳангоми ёфтани функсияҳо аз рӯйи яке аз онҳо ҳатман анҷом додан лозим аст? Чаро чоряк мавҷуд набошад, ҷавоб ягона нест?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман барои sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α
Ман аз tg α \tg\alpha tg α
Ман ҷавобро бо tg α ⋅ ctg α = 1
Агар cos α = 5 13 \cos\alpha = \dfrac{5}{13} cos α = 13 5 270 ∘ < α < 360 ∘ 270^\circ < \alpha < 360^\circ 27 0 ∘ < α < 36
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
5 4
=
− 5 3 .
27 0 ∘ .
<
α <
π ;
2
3 π
;
π
.
+
+
− 14 ;
− 1 ;
1
,
sin α = tg α ⋅ cos α . \sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha. sin α = tg α ⋅ cos α .
=
1.
t = 0 , 8
t = − 0,8. t = -0{,}8. t = − 0 , 8. tg α = sin α cos α \tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α
ctg α = cos α sin α \ctg\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} ctg α = sin α cos α \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 tg α ⋅ ctg α = 1
sin α
tg α
sin α
0 ∘
− 12 13 -\dfrac{12}{13} − 13 12