32 · 1/2. Айниятҳои асосии тригонометрӣ - Алгебра — синфи 9
Айнияти асосии тригонометрӣ
Радиуси O A = R OA = R O A = R α \alpha α A A A B ( x ; y ) B(x;\ y) B ( x ; y )
Аз таърифи синус ва косинус
sin α = y R , cos α = x R навбатӣ 32 · 2/2. Ёфтани функсияҳо аз рӯйи яке аз онҳо 1 соат
, яъне x = R cos α , y = R sin α . \sin\alpha = \frac{y}{R}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{R}, \qquad \text{яъне} \qquad x = R\cos\alpha, \quad y = R\sin\alpha. sin α = R y , cos α = R x , яъне x = R cos α , y = R sin α .
Нуқтаи B B B x 2 + y 2 = R 2 x^2 + y^2 = R^2 x 2 + y 2 = R 2
Баробарӣ барои ҳар нуқтаи B B B sin 2 α = 1 − cos 2 α \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha sin 2 α = 1 − cos 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 α . \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha. cos 2 α = 1 − sin 2 α . ∣ sin α ∣ ≤ 1 |\sin\alpha| \le 1 ∣ sin α ∣ ≤ 1 ∣ cos α ∣ ≤ 1. |\cos\alpha| \le 1. ∣ cos α ∣ ≤ 1.
Нисбатҳои тангенс ва котангенс Мувофиқи таърифи тангенс ва котангенс tg α = y x , \tg\alpha = \dfrac{y}{x}, tg α = x y , ctg α = x y . \ctg\alpha = \dfrac{x}{y}. ctg α = y x . x x x y y y R cos α R\cos\alpha R cos α R sin α R\sin\alpha R sin α R R R
tg α = R sin α R cos α = sin α cos α , ctg α = R cos α R sin α = cos α sin α . ( 2 ) \tg\alpha = \frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha = \frac{R\cos\alpha}{R\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \qquad (2) tg α = R cos α R sin α = cos α sin α , ctg α = R sin α R cos α = sin α cos α . ( 2 ) Ин баробариҳо барои cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α = 0 tg α \tg\alpha tg α sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 ctg α \ctg\alpha ctg α
Баробариҳои (2)-ро аъзо ба аъзо зарб мекунем:
tg α ⋅ ctg α = sin α cos α ⋅ cos α sin α = 1. ( 3 ) \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1. \qquad (3) tg α ⋅ ctg α = cos α sin α ⋅ sin α cos α = 1. ( 3 ) Ин баробарӣ барои ҳамаи α \alpha α tg α , \tg\alpha, tg α , ctg α \ctg\alpha ctg α sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 cos α ≠ 0. \cos\alpha \ne 0. cos α = 0.
Айнияти (1)-ро аввал ба cos 2 α ≠ 0 , \cos^2\alpha \ne 0, cos 2 α = 0 , sin 2 α ≠ 0 \sin^2\alpha \ne 0 sin 2 α = 0
sin 2 α cos 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + cos 2 α sin 2 α = 1 sin 2 α , \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}, cos 2 α sin 2 α + 1 = cos 2 α 1 , 1 + sin 2 α cos 2 α = sin 2 α 1 , 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α , 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α . ( 4 ) 1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad 1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}. \qquad (4) 1 + tg 2 α = cos 2 α 1 , 1 + ctg 2 α = sin 2 α 1 . ( 4 ) Баробарӣ Барои кадом α \alpha α sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 ҳамаи α \alpha α tg α = sin α cos α \tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α ctg α = cos α sin α \ctg\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} ctg α = sin α cos α sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α tg α ⋅ ctg α = 1 \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 tg α ⋅ ctg α = 1 sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1 + tg 2 α = cos 2 α 1 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α 1 + \ctg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} 1 + ctg 2 α = sin 2 α 1
Бо ин айниятҳо аз қимати як функсия қиматҳои боқимондаро ёфтан мумкин аст — дарси оянда бо ин машғул мешавем.
Мисоли 1. Оё як кунҷи α \alpha α sin α = 0,6 \sin\alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α = 0,7 \cos\alpha = 0{,}7 cos α = 0 , 7
Санҷем: sin 2 α + cos 2 α = 0,36 + 0,49 = 0,85 ≠ 1. \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85 \ne 1. sin 2 α + cos 2 α = 0 , 36 + 0 , 49 = 0 , 85 = 1.
Мисоли 2. Ифодаи ( 1 − sin α ) ( 1 + sin α ) (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) ( 1 − sin α ) ( 1 + sin α )
( 1 − sin α ) ( 1 + sin α ) = 1 − sin 2 α = cos 2 α . (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha. ( 1 − sin α ) ( 1 + sin α ) = 1 − sin 2 α = cos 2 α . Мисоли 3. Ифодаи 1 cos 2 α − tg 2 α \dfrac{1}{\cos^2\alpha} - \tg^2\alpha cos 2 α 1 − tg 2 α 1 cos 2 α = 1 + tg 2 α , \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tg^2\alpha, cos 2 α 1 = 1 + tg 2 α ,
1 cos 2 α − tg 2 α = 1 + tg 2 α − tg 2 α = 1. \frac{1}{\cos^2\alpha} - \tg^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha - \tg^2\alpha = 1. cos 2 α 1 − tg 2 α = 1 + tg 2 α − tg 2 α = 1. Мисоли 4. Айнияти (4)-ро барои α = 60 ∘ \alpha = 60^\circ α = 6 0 ∘ 1 + tg 2 60 ∘ = 1 + ( 3 ) 2 = 4 , 1 + \tg^2\,60^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4, 1 + tg 2 6 0 ∘ = 1 + ( 3 ) 2 = 4 , 1 cos 2 60 ∘ = 1 ( 1 / 2 ) 2 = 4. \dfrac{1}{\cos^2\,60^\circ} = \dfrac{1}{(1/2)^2} = 4. cos 2 6 0 ∘ 1 = ( 1/2
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) 1 − cos 2 α ; 1 - \cos^2\alpha; 1 − cos 2 α ;
б) sin 2 α − 1 ; \sin^2\alpha - 1; sin 2 α − 1 ;
в) sin 2 α + cos 2 α + ctg 2 α ; \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \ctg^2\alpha; sin 2 α + cos 2 α + ctg 2 α ;
г) sin α cos β sin β cos α ; \dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta\cos\alpha}; sin β cos α sin α cos β ;
ғ) 1 − sin 2 α 1 − cos 2 α ; \dfrac{1 - \sin^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha}; 1 − cos 2 α 1 − sin 2 α ;
д) cos 2 α 1 − sin 2 α ; \dfrac{\cos^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha}; 1 − sin 2 α cos 2 α ;
е) sin 2 α 1 − cos 2 α ; \dfrac{\sin^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha}; 1 − cos 2 α sin 2 α ;
ё) cos 2 α − ctg 2 α tg 2 α − sin 2 α . \dfrac{\cos^2\alpha - \ctg^2\alpha}{\tg^2\alpha - \sin^2\alpha}. tg 2 α − sin 2 α cos 2 α
а) ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 ; (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2; ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 ;
б) ctg α − cos α 1 + sin α . \ctg\alpha - \dfrac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}. ctg α − 1 + sin α cos α .
Дар хона 3. Ифодаҳоро табдил диҳед:
а) 1 tg α + ctg α ; \dfrac{1}{\tg\alpha + \ctg\alpha}; tg α + ctg α 1 ;
б) ( 1 − 1 cos 2 α ) ⋅ ( 1 − 1 sin 2 α ) ; \left(1 - \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\right); ( 1 − cos 2 α 1 ) ⋅ ( 1 − sin 2 α 1 ) ;
в) sin α ⋅ ctg α cos 2 α − tg α ⋅ sin α ; \dfrac{\sin\alpha \cdot \ctg\alpha}{\cos^2\alpha} - \tg\alpha \cdot \sin\alpha; cos 2 α sin α ⋅ ctg α − tg α ⋅
г) 1 + cos α sin α : [ 1 + ( 1 + cos α sin α ) 2 ] . \dfrac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} : \left[1 + \left(\dfrac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2\right]. sin α 1 + cos α : [ 1 + (
Вазифаи хонагӣ
Машқи 3 аз қисми «Дар хона».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 32 пас аз дарси дуюм дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Аз муодилаи давра: sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 α . \alpha. α .
tg α = sin α cos α , \tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, tg α = cos α sin α , ctg α = cos α sin α , \ctg\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, ctg α = sin α cos α , tg α ⋅ ctg α = 1. \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1. tg α ⋅ ctg α = 1. 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α , 1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}, 1 + tg 2 α = cos 2 α 1 , Айнияти тригонометрӣ барои ҳамаи қиматҳои имконпазири кунҷ дуруст аст.
Дар ин дарс
Ман метавонам айниятҳои асосии тригонометриро аз муодилаи давра ҳосил кунам.Ман медонам , ки айнияти тригонометрӣ барои кадом қиматҳои кунҷ дуруст аст.Ман метавонам бо ёрии айниятҳо ифодаҳои оддии тригонометриро сода кунам. Такрор (2 дақиқа)
Муодилаи давраи маркаташ дар ибтидои координата ва радиусаш R R R
Ҳисоб кунед: sin 2 30 ∘ + cos 2 30 ∘ . \sin^2\,30^\circ + \cos^2\,30^\circ. sin 2 3 0 ∘ + cos 2 3 0 ∘ .
Аз tg α = y x \tg\alpha = \dfrac{y}{x} tg α = x y ctg α = x y \ctg\alpha = \dfrac{x}{y} ctg α = y
Ҷавобҳо
x 2 + y 2 = R 2 . x^2 + y^2 = R^2. x 2 + y 2 = R 2 . ( 1 2 ) 2 + ( 3 2 ) 2 = 1 4 + 3 4 = Вазъият барои андешаронӣ Агар sin α = 0,6 \sin\alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α \cos\alpha cos α sin α = 0,6 \sin\alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α = 0,7 \cos\alpha = 0{,}7 cos α = 0 , 7
Нуқтаи B(x; y) дар давраи радиусаш R: x — абсисса, y — ордината.
Ба муодилаи давра ба ҷойи x x x y y y R cos α R\cos\alpha R cos α R sin α R\sin\alpha R sin α ( R cos α ) 2 + ( R sin α ) 2 = R 2 . (R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2 = R^2.
Теорема Барои ҳар кунҷи α \alpha α
sin 2 α + cos 2 α = 1. ( 1 ) \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. \qquad (1) sin 2 α + cos 2 α Таъриф Баробариҳои (1)–(4) айниятҳои асосии тригонометрӣ ном доранд. Ҳар як айнияти тригонометрӣ барои ҳамаи қиматҳои имконпазири кунҷ — яъне барои ҳамаи α \alpha α
Дар хотир доред sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α ( sin α ) 2 , (\sin\alpha)^2, ( sin α ) 2 , sin ( α 2 ) . \sin(\alpha^2). sin ( α
Калимаҳои калидӣ айниятҳои асосии тригонометрӣ қимати имконпазир ихтисор кардан ифодаи тригонометрӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом айниятро аз ёд кардан осонтар аст ва кадоме аз дигаре ҳосил мешавад? Чаро tg α ⋅ ctg α = 1 \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 tg α ⋅ ctg α = 1 α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0
Барои як кунҷи α \alpha α sin α = 0,6 \sin\alpha = 0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α = 0,7 \cos\alpha = 0{,}7 cos α = 0 , 7
Ифодаи 1 − sin 2 α 1 - \sin^2\alpha 1 − sin 2 α
Як ҷавобро интихоб кунед A cos α \cos\alpha cos α
B sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α
C cos 2 α \cos^2\alpha
D Кадом баробариҳо айниятҳои тригонометрианд (барои ҳамаи қиматҳои имконпазири α \alpha α
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1 + tg 2 α = cos 2 α
B C D E
=
0
=
0
cos
α
=
0
cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α = 0 sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 ) 2
1
=
4.
−
ctg 2
α
.
sin
α
;
sin α
1 + cos α
)
2
]
.
1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α . 1 + \ctg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}. 1 + ctg 2 α = sin 2 α 1 .
x
tg α ⋅ ctg α \tg\alpha \cdot \ctg\alpha tg α ⋅ ctg α 1. \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1. ( 2 1 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = 4 1 + 4 3 = 1. y x ⋅ x y = 1. \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y} = 1. x y ⋅ y x = 1. (
R
cos
α
) 2
+
( R sin α ) 2 =
R 2 .
Қавсҳоро мекушоем: R 2 cos 2 α + R 2 sin 2 α = R 2 . R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = R^2. R 2 cos 2 α + R 2 sin 2 α = R 2 . Ҳар ду тарафро ба R 2 ≠ 0 R^2 \ne 0 R 2 = 0
=
1. ( 1 )
Суммаи квадратҳои синус ва косинуси як кунҷ ба 1 1 1
2
)
.
1 − sin 2 α = cos 2 α , 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha, 1 − sin 2 α = cos 2 α , 1 − cos 2 α = sin 2 α . 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha. 1 − cos 2 α = sin 2 α . ∘
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман айнияти sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
Ман ҳар чаҳор айнияти асосиро навишта метавонам.
Ман бо ёрии айниятҳо ифодаи оддии тригонометриро сода карда метавонам.
cos 2 α
− cos 2 α -\cos^2\alpha − cos 2 α
1
ctg α = cos α sin α \ctg\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} ctg α = sin α cos α
1 + tg 2 α = 1 sin 2 α 1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} 1 + tg 2 α = sin 2 α 1
1 − cos 2 α = sin 2 α 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha 1 − cos 2 α = sin 2 α
sin 2 α − cos 2 α = 1 \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 1 sin 2 α − cos 2 α = 1
