31. Аломатҳо ва ҷуфту тоқ будани функсияҳои тригонометрӣ - Алгебра — синфи 9
Аломати функсияҳои тригонометрӣ
Радиуси O A = R OA = R O A = R α \alpha α A A A B ( x ; y ) B(x;\ y) B ( x ; y )
sin α = y R , cos α = x R , навбатӣ Такрор ва санҷиш: фаслҳои 29–31 · 1/3. Кунҷҳо ва функсияҳои тригонометрӣ 1 соат
tg α = y x , ctg α = x y . \sin\alpha = \frac{y}{R}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{R}, \qquad \tg\alpha = \frac{y}{x}, \qquad \ctg\alpha = \frac{x}{y}. sin α = R y , cos α = R x , tg α = x y , ctg α = y x .
R > 0 R > 0 R > 0 sin α \sin\alpha sin α y , y, y , cos α \cos\alpha cos α x x x tg α \tg\alpha tg α ctg α \ctg\alpha ctg α x x x y y y x x x y y y
Ҳамин маълумотро дар ҷадвал менависем:
Чорякҳо I II III IV sin α \sin\alpha sin α + + + + + + − - − − - − cos α \cos\alpha cos α + + + − - − − - − + + + tg α , \tg\alpha, tg α , ctg α \ctg\alpha ctg α + + + − - − + + + − -
Қоида барои кунҷҳое дуруст аст, ки дар чоряк тамом мешаванд. Агар радиус ба тирҳои координатӣ рост ояд (0 ∘ , 0^\circ, 0 ∘ , 90 ∘ , 90^\circ, 9 0 ∘ , 180 ∘ , 180^\circ, 18 0 ∘ , 270 ∘ 270^\circ 27 0 ∘ 0 , 0, 0 , ± 1 \pm 1 ± 1
Мисоли 1. Аломати ифодаи sin 200 ∘ ⋅ cos 300 ∘ \sin 200^\circ \cdot \cos 300^\circ sin 20 0 ∘ ⋅ cos 30 0 ∘
Кунҷи 200 ∘ 200^\circ 20 0 ∘ 180 ∘ < 200 ∘ < 270 ∘ 180^\circ < 200^\circ < 270^\circ 18 0 ∘ < 20 0 ∘ < 27 0 ∘ sin 200 ∘ < 0. \sin 200^\circ < 0. sin 20 0 ∘ < 0. 300 ∘ 300^\circ 30 0 ∘ cos 300 ∘ > 0. \cos 300^\circ > 0. cos 30 0 ∘ > 0. sin 200 ∘ ⋅ cos 300 ∘ < 0. \sin 200^\circ \cdot \cos 300^\circ < 0. sin 20 0 ∘ ⋅ cos 30 0 ∘ < 0.
Мисоли 2. Аломати ифодаи sin ( − 100 ∘ ) ⋅ ctg 250 ∘ \sin(-100^\circ) \cdot \ctg 250^\circ sin ( − 10 0 ∘ ) ⋅ ctg 25 0 ∘
Кунҷи − 100 ∘ -100^\circ − 10 0 ∘ − 100 ∘ + 360 ∘ = 260 ∘ -100^\circ + 360^\circ = 260^\circ − 10 0 ∘ + 36 0 ∘ = 26 0 ∘ sin ( − 100 ∘ ) < 0. \sin(-100^\circ) < 0. sin ( − 10 0 ∘ ) < 0. 250 ∘ 250^\circ 25 0 ∘ ctg > 0. \ctg > 0. ctg > 0. < 0. < 0. < 0.
Функсияҳои ҷуфт ва тоқ Таърифҳои моро дар ёд дорем: функсияи y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) ҷуфт аст, агар y ( − x ) = y ( x ) , y(-x) = y(x), y ( − x ) = y ( x ) , тоқ , агар y ( − x ) = − y ( x ) . y(-x) = -y(x). y ( − x ) = − y ( x ) . y = x 2 y = x^2 y = x 2 ( − x ) 2 = x 2 , (-x)^2 = x^2, ( − x ) 2 = x 2 , y = x 3 y = x^3 y = x 3 ( − x ) 3 = − x 3 . (-x)^3 = -x^3. ( − x ) 3 = − x 3 .
Акнун мефаҳмем, ки функсияҳои тригонометрӣ ҷуфтанд ё тоқ. Кунҷи α \alpha α − α -\alpha − α O A OA O A α \alpha α O B , OB, OB , − α -\alpha − α O C OC OC
Ин истидлол барои кунҷҳои дилхоҳ (аз як гардиши пурра зиёд низ) дуруст аст: симметрия нисбат ба тири O x Ox O x O A OA O A α \alpha α − α -\alpha − α B B B O x Ox O x B = C B = C B = C y = 0 y = 0 y = 0
Қиматҳоро муқоиса мекунем:
sin ( − α ) = − y R = − y R = − sin α , cos ( − α ) = x R = cos α , \sin(-\alpha) = \frac{-y}{R} = -\frac{y}{R} = -\sin\alpha, \qquad \cos(-\alpha) = \frac{x}{R} = \cos\alpha, sin ( − α ) = R − y = − R y = − sin α , cos ( − α ) = R x = cos α , tg ( − α ) = − y x = − tg α , ctg ( − α ) = x − y = − ctg α . \tg(-\alpha) = \frac{-y}{x} = -\tg\alpha, \qquad \ctg(-\alpha) = \frac{x}{-y} = -\ctg\alpha. tg ( − α ) = x − y = − tg α , ctg ( − α ) = − y x = − ctg α . Мисоли 3. Қиматҳои функсияҳои кунҷи − π 6 -\dfrac{\pi}{6} − 6 π
cos ( − π 6 ) = cos π 6 = 3 2 ; sin ( − π 6 ) = − sin π 6 = − 1 2 ; \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}; cos ( − 6 π ) = cos 6 π = 2 3 ; sin ( − 6 π − sin 6 π = − 2 1 ; tg ( − π 6 ) = − tg π 6 = − 1 3 ; ctg ( − π 6 ) = − ctg π 6 = − 3 . \tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tg\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}; \qquad \ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\ctg\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3}. tg ( − 6 π ) = − tg 6 π = − 3 1 ; ctg ( − 6 π − ctg 6 π = − 3 . Мисоли 4. Қиматҳои функсияҳои кунҷи − 135 ∘ -135^\circ − 13 5 ∘ B B B 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ ( − 2 2 R ; 2 2 R ) \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}R;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}R\right) ( − 2 2 R ; 2 2 R ) cos 135 ∘ = − 2 2 , \cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos 13 5 ∘ = − 2 2 sin 135 ∘ = 2 2 , \sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin 13 5 ∘ = 2 2 tg 135 ∘ = ctg 135 ∘ = − 1. \tg 135^\circ = \ctg 135^\circ = -1. tg 13 5 ∘ = ctg 13 5 ∘ = − 1.
cos ( − 135 ∘ ) = cos 135 ∘ = − 2 2 ; sin ( − 135 ∘ ) = − sin 135 ∘ = − 2 2 ; \cos(-135^\circ) = \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad \sin(-135^\circ) = -\sin 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}; cos ( − 13 5 ∘ ) = cos 13 5 ∘ = − 2 2 ; sin ( − 13 5 ∘ ) = − sin 13 5 ∘ = − 2 2 ; tg ( − 135 ∘ ) = − tg 135 ∘ = 1 ; ctg ( − 135 ∘ ) = − ctg 135 ∘ = 1. \tg(-135^\circ) = -\tg 135^\circ = 1; \qquad \ctg(-135^\circ) = -\ctg 135^\circ = 1. tg ( − 13 5 ∘ ) = − tg 13 5 ∘ = 1 ; ctg ( − 13 5 ∘ ) = − ctg 13 5 ∘ = 1. Санҷиш: кунҷи − 135 ∘ -135^\circ − 13 5 ∘ sin , \sin, sin , cos \cos cos tg , \tg, tg , ctg \ctg ctg
Радиусро гардонед: аломатҳои чорякҳоро бубинед ва ҳолати «Ҷуфтҳо»-ро санҷед.
Аломатҳо ва кунҷҳои α, −α санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Агар: а) α = 45 ∘ ; \alpha = 45^\circ; α = 4 5 ∘ ; α = 120 ∘ ; \alpha = 120^\circ; α = 12 0 ∘ ; α = 365 ∘ ; \alpha = 365^\circ; α = 36 5 ∘ ; α = 310 ∘ ; \alpha = 310^\circ; α = 31 0 ∘ ; α = 275 ∘ \alpha = 275^\circ α = 27 5 ∘ sin α , \sin\alpha, sin α , cos α , \cos\alpha, cos α , tg α \tg\alpha tg α ctg α \ctg\alpha ctg α
2. Аломати ифодаро муайян намоед:
а) sin 67 ∘ ; \sin 67^\circ; sin 6 7 ∘ ;
б) cos 267 ∘ ; \cos 267^\circ; cos 26 7 ∘ ;
в) cos 375 ∘ ; \cos 375^\circ; cos 37 5 ∘ ;
г) sin ( − 68 ∘ ) ; \sin(-68^\circ); sin ( − 6 8 ∘ ) ;
ғ) cos ( − 68 ∘ ) . \cos(-68^\circ). cos ( − 6 8 ∘ ) .
3. Дар кадом чорякҳо аломати якхела доранд: а) sin α \sin\alpha sin α cos α ; \cos\alpha; cos α ; tg α \tg\alpha tg α ctg α ; \ctg\alpha; ctg α ; cos α \cos\alpha cos α tg α ? \tg\alpha? tg α ?
а) sin 45 ∘ ; \sin 45^\circ; sin 4 5 ∘ ;
б) cos ( − 90 ∘ ) ; \cos(-90^\circ); cos ( − 9 0 ∘ ) ;
в) sin 210 ∘ ; \sin 210^\circ; sin 21 0 ∘ ;
г) sin 180 ∘ ; \sin 180^\circ; sin 18 0 ∘ ;
ғ) cos ( − 45 ∘ ) . \cos(-45^\circ). cos ( − 4 5 ∘ ) .
Дар хона 5. Ин ифода чӣ гуна аломат дорад:
а) sin 325 ∘ ; \sin 325^\circ; sin 32 5 ∘ ;
б) cos 275 ∘ ; \cos 275^\circ; cos 27 5 ∘ ;
в) tg 420 ∘ ; \tg 420^\circ; tg 42 0 ∘ ;
г) ctg 420 ∘ ; \ctg 420^\circ; ctg 42 0 ∘ ;
ғ) sin 25 ∘ ? \sin 25^\circ? sin 2 5 ∘ ?
а) sin α + sin 2 α + sin 3 α \sin\alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha sin α + sin 2 α + sin 3 α α = 30 ∘ ; \alpha = 30^\circ; α = 3 0 ∘ ;
б) tg α 2 + tg α 3 \tg\dfrac{\alpha}{2} + \tg\dfrac{\alpha}{3} tg 2 α + tg 3 α α = 90 ∘ . \alpha = 90^\circ. α = 9 0 ∘ .
Такрор
а) 2 ⋅ 5 22 − 9 ⋅ 5 21 25 10 ; \dfrac{2 \cdot 5^{22} - 9 \cdot 5^{21}}{25^{10}}; 2 5 10 2 ⋅ 5 22 − 9 ⋅ 5 21 ;
б) 2 48 + 27 + 12 . 2\sqrt{48} + \sqrt{27} + \sqrt{12}. 2 48 + 27
8. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 2 − 3 x > 0 ; x^2 - 3x > 0; x 2 − 3 x > 0 ;
б) ( x − 5 ) x + 4 x > 2. (x - 5)x + 4x > 2. ( x − 5 ) x + 4 x > 2.
9. Адади 336 336 336
10. Прогрессияи геометрии ( b n ) (b_n) ( b n ) b 7 = 72,9 , b_7 = 72{,}9, b 7 = 72 , 9 , q = 1,5 ; q = 1{,}5; q = 1 , 5 ; b 7 = 16 9 , b_7 = \dfrac{16}{9}, b 7 = 9 16 , q = 2 3 q = \dfrac{2}{3} q = 3 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–10 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 31 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Аломати sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α tg α \tg\alpha tg α ctg α \ctg\alpha ctg α
Косинус — функсияи ҷуфт: cos ( − α ) = cos α . \cos(-\alpha) = \cos\alpha. cos ( − α ) = cos α .
Синус, тангенс, котангенс — функсияҳои тоқ: sin ( − α ) = − sin α , \sin(-\alpha) = -\sin\alpha, sin ( − α ) = − sin α , tg ( − α ) = − tg α , \tg(-\alpha) = -\tg\alpha, tg ( − α ) = − tg α , ctg ( − α ) = − ctg α . \ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha.
Дар ин дарс
Ман метавонам аломати синус, косинус, тангенс ва котангенси кунҷро аз рӯйи чоряки он муайян кунам.Ман медонам , ки косинус функсияи ҷуфт ва синус, тангенс, котангенс функсияҳои тоқ ҳастанд.Ман метавонам қимати функсияи тригонометрии кунҷи манфиро ба қимати кунҷи мусбат оварам. Такрор (2 дақиқа)
Нуқтаи ( − 2 ; 3 ) (-2;\ 3) ( − 2 ; 3 )
Қимати sin 30 ∘ , \sin 30^\circ, sin 3 0 ∘ , cos 60 ∘ , \cos 60^\circ, cos 6 0 ∘ , tg 45 ∘ \tg 45^\circ tg 4 5 ∘
Функсияи f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 g ( x ) = x 3 g(x) = x^3 g ( x ) = x 3 f ( − 2 ) f(-2) f ( −
Ҷавобҳо
Дар чоряки II (x < 0 , x < 0, x < 0 , y > 0 y > 0 y > 0 1 2 , \dfrac{1}{2}, 2 1 , 1 2 , \dfrac{1}{2},
Вазъият барои андешаронӣ Радиуси O A OA O A 200 ∘ 200^\circ 20 0 ∘ B B B O x Ox O x sin 200 ∘ \sin 200^\circ sin 20 0 ∘
Қоида
sin α > 0 , \sin\alpha > 0, sin α > 0 , α \alpha α sin α < 0 \sin\alpha < 0 sin α < 0 Аломатҳои синус, косинус ва тангенс (котангенс низ ҳамин аломатҳоро дорад) дар чорякҳои I–IV. Нуқтаҳои B ва C: аз тири Ox ба як андоза ба боло ва ба поён гардиш.
O B = O C = R , OB = OC = R, OB = OC = R , B O C BOC BOC ∠ A O B = ∠ A O C \angle AOB = \angle AOC ∠ A OB = ∠ A OC α \alpha α Хосият Косинус — функсияи ҷуфт : cos ( − α ) = cos α . \cos(-\alpha) = \cos\alpha. cos ( − α ) = cos α .
Синус, тангенс ва котангенс — функсияҳои тоқ : sin ( − α ) = − sin α , \sin(-\alpha) = -\sin\alpha, sin ( − α ) = − sin α , tg ( − α ) = − tg
Дар хотир доред Аломати минусро аз зери аломати синус, тангенс ва котангенс баровардан мумкин аст; аз зери аломати косинус ӯро танҳо партофтан мумкин аст.
Калимаҳои калидӣ аломати функсия чоряки координатавӣ функсияи ҷуфт функсияи тоқ кунҷҳои муқобил
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чӣ тавр аломати tg α \tg\alpha tg α
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман аломати синус ва косинусро дар ҳар чоряк гуфта метавонам.
Ман аломати тангенс ва котангенсро аз аломати x x x y y y
Ман sin ( − α ) , \sin(-\alpha), sin ( −
Ба ҳар чорякӣ аломатҳои синус ва косинусро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед чоряки I → … sin α > 0, cos α > 0 sin α < 0, cos α < 0 sin α > 0, cos α < 0 sin α < 0, cos α > 0
чоряки II → … sin α > 0, cos α > 0 sin α < 0, cos α < 0 sin α > 0, cos α < 0 sin α < 0, cos α > 0
чоряки III → … sin α > 0, cos α > 0 sin α < 0, cos α < 0 sin α > 0, cos α < 0 sin α < 0, cos α > 0
чоряки IV → … sin α > 0, cos α > 0 sin α < 0, cos α < 0 sin α > 0, cos α < 0 sin α < 0, cos α > 0
Баробарии tg ( − 45 ∘ ) = 1 \tg(-45^\circ) = 1 tg ( − 4 5 ∘ ) = 1
Ҳосили зарби sin 100 ∘ ⋅ cos 220 ∘ \sin 100^\circ \cdot \cos 220^\circ sin 10 0 ∘ ⋅ cos 22 0 ∘
Як ҷавобро интихоб кунед A манфӣ B аломатро муайян кардан мумкин нест C мусбат D баробар ба сифр
Кадом ифодаҳо мусбатанд? (Якчандро интихоб кунед.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A cos ( − 30 ∘ ) \cos(-30^\circ) cos ( − 3 0 ∘ )
B tg 200 ∘ \tg 200^\circ tg 20 0 ∘
C ctg ( − 200 ∘ ) \ctg(-200^\circ) ctg ( − 20 0
D E
−
)
=
)
=
,
,
+
ctg ( − α ) =
− ctg α .
2
)
2 1 ,
f ( − x ) = f ( x ) , f(-x) = f(x), f ( − x ) = f ( x ) , g ( − x ) = − g ( x ) ; g(-x) = -g(x); g ( − x ) = − g ( x ) ; f ( − 2 ) = 4 , f(-2) = 4, f ( − 2 ) = 4 , g ( − 2 ) = − 8. g(-2) = -8. g ( − 2 ) = − 8. cos α > 0 \cos\alpha > 0 cos α > 0
cos α < 0 \cos\alpha < 0 cos α < 0 tg α \tg\alpha tg α ctg α \ctg\alpha ctg α Дар секунҷаи баробарпаҳлӯ биссектрисаи кунҷи болои асос ҳам медиана ва ҳам баландӣ аст. Пас B C ⊥ O x BC \perp Ox BC ⊥ O x B C BC BC O x Ox O x B B B C C C симметрианд . Агар B ( x ; y ) , B(x;\ y), B ( x ; y ) , C ( x ; − y ) . C(x;\ -y). C ( x ; − y ) . α , \tg(-\alpha) = -\tg\alpha, tg ( − α ) = − tg α ,
ctg ( − α ) = − ctg α . \ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha. ctg ( − α ) = − ctg α . α
)
,
cos ( − α ) , \cos(-\alpha), cos ( − α ) , tg ( − α ) , \tg(-\alpha), tg ( − α ) , ctg ( − α ) \ctg(-\alpha) ctg ( − α ) ∘
)
cos 100 ∘ \cos 100^\circ cos 10 0 ∘
sin 100 ∘ \sin 100^\circ sin 10 0 ∘
