33 · 1/2. Сода кардани ифодаҳои тригонометрӣ - Алгебра — синфи 9
Ифодаи тригонометрӣ
Масалан, sinx+cosx, (sin2x+1)⋅tgx, — ифодаҳои тригонометрианд.
навбатӣ33 · 2/2. Исботи айниятҳои тригонометрӣ
1 соат
ctg2α+1+sin2α1+3,
a2+2abccosx Мо аллакай баъзе табдилдиҳиҳои соддатарини ифодаҳои тригонометриро дидем: tgα=cosαsinα, ctgα=sinαcosα, tgα⋅ctgα=1, 1+tg2α=cos2α1, 1+ctg2α=sin2α1. Акнун мисолҳои мураккабтарро мебинем.
Мисоли 1. Ифодаи tg2α⋅sin2α-ро ба намуди фарқи ду ифода менависем:
tg2α⋅sin2α=tg2α⋅(1−cos2α)=tg2α−tg2α⋅cos2α=tg2α−sin2α. Дар охир tg2α⋅cos2α=cos2αsin2α⋅cos2α=sin2α истифода шуд.
Мисоли 2. Ифодаи ctg2α⋅(cos2α−1)-ро сода мекунем. Аз ctg2α=sin2αcos2α ва cos2α−1=−sin2α:
ctg2α⋅(cos2α−1)=sin2αcos2α⋅(−sin2α)=−cos2α. Мисоли 3. Ифодаи 1+cosαsinα+sinα1+cosα-ро сода мекунем. Касрҳоро ба махраҷи умумӣ меорем:
1+cosαsinα+sinα1+cosα=sinα(1+cosα)sin2α+(1+cosα)2=sinα(1+cosα)sin2α+1+2cosα+cos2α. Азбаски sin2α+cos2α=1, шумораи каср ба 2+2cosα=2(1+cosα) баробар аст ва
sinα(1+cosα)2(1+cosα)=sinα2. Санҷиш барои α=30∘: 1+3/21/2+1/21+3/2≈0,268+3,732=4=1/22.
Мисоли 4. Ифодаи tg2α⋅cos2α+ctg2α⋅sin2α-ро сода мекунем:
cos2αsin2α⋅cos2α+sin2αcos2α⋅sin2α=sin2α+cos2α=1. Маҳдудияти синус ва косинус
Нуқтаи B(x; y) дар давраи радиусаш R ҷойгир аст, пас ∣x∣≤R ва ∣y∣≤R. Тақсим ба R медиҳад:
Пас, баробариҳои sinα=1,2 ё cosα=−3 ҳеҷ гоҳ дуруст нестанд. Тангенс ва котангенс бошанд, ҳар қиматеро қабул мекунанд.
Мисоли 5. Барои кадом a баробарии sinα=2a−1 имконпазир аст? Лозим аст −1≤2a−1≤1, яъне 0≤2a≤2 ва 0≤a≤1.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) 1−cos2α1;
- б) sin2α1−1;
- в) 1−ctgαsinα⋅cosα;
- г) 2sinαtgα⋅ctgα−cos2α.
- а) 1+cosαsinα−cosα−1sinα;
- б) 1−sinβcosβ+1+sinβcos
- в) (tgα+1)2+(tgα−1)2;
- г) (ctgβ+1)2+(ctgβ−1)2;
- ғ) ctgα+1+cosαsinα;
- д) tgβ+1+sinβcosβ.
3. Оё синуси α ба: а) 32; б) 0,8; в) 23; г) 2; ғ) 1; д) 3 баробар шуда метавонад?
Дар хона
4. а) Ифодаи 1+tg2α ба чӣ баробар аст? б) Ифодаи 1+ctg2α ба чӣ баробар аст? в) Ифодаи tgα⋅ctgα ба чӣ баробар аст?
Вазифаи хонагӣ
- Машқи 4 аз қисми «Дар хона». Машқҳои 1–3-ро, ки дар синф иҷро нашудаанд, дар хона ба охир расонед.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 33 пас аз дарси дуюм дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Ифодаи тригонометрӣ — ифодае, ки функсияҳои тригонометрӣ дорад.
- Сода кардан: тангенс ва котангенсро ба синус ва косинус гузаронед, ба махраҷи умумӣ оваред, sin2α+cos2α=1-ро истифода баред.
- −1≤sinα≤1, −1≤cosα≤1.
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки ифодаи тригонометрӣ чист ва чӣ тавр онро бо айниятҳои асосӣ сода мекунанд.
- Ман метавонам ифодаро ба намуди содатарин оварам ва қимати онро барои кунҷи додашуда ёбам.
- Ман медонам, ки sinα ва cosα аз −1 хурд ва аз 1 калон шуда наметавонанд.
Такрор (2 дақиқа)
- Чаҳор айниятро нависед: sin2α+cos2α=1, tgα=…, tgα⋅ctgα=…, 1+tg2α=…
- Ифодаро сода кунед: 1−sin2α.
- Ҳисоб кунед: 31+131.
Ҷавобҳо
- tgα=cosαsinα, tgα⋅ct 2) 3)
Вазъият барои андешаронӣИфодаи sin2α⋅tg2α+sin2α дароз менамояд. Оё онро ба ифодаи хеле кӯтоҳ табдил додан мумкин аст? Кадом айниятҳо ба шумо кумак мекунанд?
ТаърифИфодае, ки дар таркибаш функсияҳои тригонометрӣ дорад, ифодаи тригонометрӣ номида мешавад.
Тартиби кор
- Агар тангенс ва котангенс бошанд, онҳоро ба sin ва cos гузаронед: tgα=cosαsinα
ХосиятБарои ҳар кунҷи α
−1≤sinα≤1,−1≤cosα≤1.Синус ва косинус қиматҳои аз калон ё аз хурд қабул намекунанд.
Калимаҳои калидӣифодаи тригонометрӣсода кардани ифодамахраҷи умумӣмаҳдудияти синус ва косинус
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом қадами тартиби кор дар ин дарс аз ҳама муфид буд? Чӣ тавр ҷавобро санҷидан мумкин аст?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман ифодаи тригонометриро бо айниятҳои асосӣ сода карда метавонам.
- Ман ҷавобро барои кунҷи мушаххас месанҷам.
- Ман медонам, ки sinα ва cosα аз −1 то 1 қимат мегиранд.
Баробарии sinα=1,2 барои ягон кунҷи α имконпазир аст.
Ифодаи sinα1−cos2α-ро сода кунед (sinα).
Як ҷавобро интихоб кунед
Кадом қиматҳо барои sinα имконпазиранд? (Якчандро интихоб кунед.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед Кадом табдилдиҳӣ нодуруст аст (барои ҳамаи қиматҳои имконпазири α)?
Як ҷавобро интихоб кунед
β
;
g
α
=
1,
1+tg2α=cos2α1. cos2α. 4/31/3=41.
.
Касрҳоро ба махраҷи умумӣ оваред, қавсҳоро кушоед ё зарбкунандаи умумиро аз қавс баред.Суммаи sin2α+cos2α-ро ба 1 иваз кунед ва 1−cos2α=sin2α, 1−sin2α=cos2α-ро истифода баред. Ихтисор кунед ва санҷед (масалан, ба α=30∘). 1
α=45∘
=
0
sinα1
0,8
−
1=
sin2α
sin2α(1+ctg2α)=1
1+tg2α1=cos2α