36. Масоҳати сфера - Геометрия — синфи 11
Масоҳати сатҳи паҳлуии силиндр ва конусро аз паҳнкунӣ ёфтем. Сфераро бе буридан ва таҳриф ба ҳамвор паҳн кардан мумкин нест. Бинобар ин масоҳати сфераро аз таърифи ҷиддии геометрии масоҳати сатҳ меёбем.
Таърифи масоҳати сатҳ
Бигзор F F F F h F_h F h F F F h h h V h V_h V
навбатӣ Такрор ва санҷиш: соли таҳсил · 1/3. Такрори сол 1 соат
h
Ин маъноро дорад: қабати борик бо ғафсии 2 h 2h 2 h × \times × F F F V h 2 h = S + C h k , \dfrac{V_h}{2h} = S + C h^k, 2 h V h = S + C h k , C C C k > 0. k > 0. k > 0.
Масоҳати сфера Қабати F h F_h F h R R R R − h R - h R − h R + h R + h R + h
Ҳаҷми қабат ба фарқи ҳаҷмҳои ду кура баробар аст:
V h = 4 3 π [ ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 ] = 4 3 π ( 6 R 2 h + 2 h 3 ) . V_h = \frac43\pi\left[(R + h)^3 - (R - h)^3\right] = \frac43\pi\left(6R^2 h + 2h^3\right). V h = 3 4 π [ ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 ] = 3 4 π ( 6 R 2 h + 2 h 3 ) . Тақсим мекунем ба 2 h : 2h: 2 h :
V h 2 h = 4 π R 2 + 4 3 π h 2 . \frac{V_h}{2h} = 4\pi R^2 + \frac43\pi h^2. 2 h V h = 4 π R 2 + 3 4 π h 2 . Ҳангоми h → 0 h \to 0 h → 0 4 3 π h 2 \dfrac43\pi h^2 3 4 π h 2 S = 4 π R 2 . S = 4\pi R^2. S = 4 π R 2 .
Масъала. Сфераи радиусаш 5 см бо ҳамворие бурида мешавад, ки аз маркази сфера дар масофаи 3 см ҷойгир аст. Масоҳати пуррааи сегменти сферавии асоси хурдро меёбем.
Ҳал. O A = O B = R = 5 , OA = OB = R = 5, O A = OB = R = 5 , O O 1 = 3. OO_1 = 3. O O 1 = 3. H = O A − O O 1 = 5 − 3 = 2 H = OA - OO_1 = 5 - 3 = 2 H = O A − O O 1 = 5 − 3 = 2 △ O O 1 B \triangle OO_1B △ O O 1 B r = 5 2 − 3 2 = 4 r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 r = 5 2 − 3 2 = 4
S = 2 π R H + π r 2 = 2 π ⋅ 5 ⋅ 2 + π ⋅ 16 = 20 π + 16 π = 36 π см 2 . S = 2\pi RH + \pi r^2 = 2\pi\cdot 5\cdot 2 + \pi\cdot 16 = 20\pi + 16\pi = 36\pi \text{ см}^2. S = 2 π R H + π r 2 = 2 π ⋅ 5 ⋅ 2 + π ⋅ 16 = 20 π + 16 π = 36 π см 2 .
Кор дар синф
Машқҳо 1. Масоҳати сфера 225 π 225\pi 225 π
2. Агар радиуси сфераро 4 маротиба зиёд кунем, масоҳати он чӣ тавр тағйир меёбад?
3. Баландии қабати сферавӣ 7 см, радиусҳои асосҳояш 16 см ва 33 см аст. Масоҳати сатҳи қабатро ёбед.
4. Ҳаҷми кура (бо воҳидҳои кубӣ) ва масоҳати сатҳи он (бо воҳидҳои квадратӣ) ба ҳамдигар баробаранд. Радиуси чунин кураро ёбед.
5. Дар як нимсфера ду буриш (параллел ба асоси нимсфера) гузаронида шудааст, ки масоҳаташон 49 π 49\pi 49 π 4 π 4\pi 4 π Нишондод: воҳидҳоро баробар кунед (4 π 4\pi 4 π м² = 400 π = 400\pi = 400 π
6. Дар конус масоҳати асос 64 π \dfrac{64}{\pi} π 64
7. Нишон диҳед, ки агар α , \alpha, α , β , \beta, β , γ \gamma γ b b b β \beta β S = b 2 sin α sin γ 2 sin β . S = \dfrac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}. S = 2 sin β b 2 sin α sin γ . Нишондод: теоремаи синусҳо барои тарафи a a a S = 1 2 a b sin γ . S = \dfrac12 ab\sin\gamma. S = 2 1 ab sin γ .
Саволҳои назоратӣ
Таърифи геометрии масоҳати сатҳро баён кунед.
Масоҳати сфера бо кадом формула ҳисоб карда мешавад?
Байни масоҳати сфера ва ҳаҷми кура чӣ гуна вобастагӣ ҳаст?
Масоҳати қисмҳои сфера — сегмент, қабат ва сектор — бо кадом формулаҳо ифода меёбанд?
Вазифаи хонагӣ
Машқи 4. Ба саволҳои назоратӣ ҷавоб омода кунед.
Вазифаи хонагии электронии «Геометрия 11 · Вазифаи хонагӣ · 36» (онро аз омӯзгор гиред): 7 савол. 2 кӯшиш.
Хулоса
Масоҳати сатҳи F F F V h 2 h \dfrac{V_h}{2h} 2 h V h h → 0. h \to 0. h → 0.
S = 4 π R 2 ; S = 4\pi R^2; S = 4 π R 2 ; S = V ′ ( R ) ; S = V'(R); S = V ′ ( R ) ; 2 π R H ; 2\pi R H; 2 π R H ; π R ( 2 H + r ) . \pi R(2H + r). π R ( 2 H + r ) . Дар ин дарс
Ман мефаҳмам , ки чаро масоҳати сфераро аз паҳнкунӣ ёфтан мумкин нест ва таърифи геометрии масоҳати сатҳ чист.Ман метавонам формулаи S = 4 π R 2 S = 4\pi R^2 S = 4 π R 2 Ман метавонам масоҳати қисмҳои сфераро ҳисоб кунам. Такрор (2 дақиқа)
Ҳаҷми кураро нависед.
Масоҳати сатҳи паҳлуии силиндр ва конус чӣ гуна ёфта мешавад (аз паҳнкунӣ)?
( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 = ? \left(R + h\right)^3 - \left(R - h\right)^3 = ? ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 = ? Ҷавобҳо
4 3 π R 3 ; \dfrac43\pi R^3; 3 4 π R 3 ; 2 π R × H ; 2\pi R \times H; 2 π R × H ; 6 R 2 h + Таъриф Масоҳати сатҳи F F F — бузургиест, ки нисбати V h 2 h \dfrac{V_h}{2h} 2 h V h
Расми 1. Қабати байни сфераҳои радиусашон R − h ва R + h; ғафсии қабат 2h. Теорема Масоҳати сфераи радиусаш R R R S = 4 π R 2 . S = 4\pi R^2. S = 4 π R 2 .
Эзоҳ 1 Формула нишон медиҳад, ки S ( R ) S(R) S ( R ) V ( R ) = 4 3 π R 3 , V(R) = \dfrac43\pi R^3, V ( R ) = 3 4 π R
Эзоҳ 2 Масоҳати қисмҳои сфера (R R R H H H r r r
сегмент (қисми сфера, ки аз ҳамворӣ ҷудо шудааст) ва қабат: S = 2 π R H S = 2\pi R H S = 2 π R H
сектори куравӣ: S = π R ( 2 H + r ) . S = \pi R(2H + r).
Расми 2. Сфера, ки бо ҳамворӣ дар масофаи 3 аз марказ бурида шудааст: H — баландии сегмент. Калимаҳои калидӣ масоҳати сфера сатҳ ва қабати ғафс минтақаи куравӣ қабати сферавӣ ҳосила ва масоҳат
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман S = 4 π R 2 S = 4\pi R^2 S = 4 π R 2
Ҳаҷми кура 36 π 36\pi 36 π
Як ҷавобро интихоб кунед A 36 π 36\pi 36 π
B 12 π 12\pi 12 π
C 144 π 144\pi 144 π
D 18 π 18\pi 18 π
Масоҳати сфераро тавассути қабати борик ёфтанро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 h → 0 h \to 0 h → 0 S = 4 π R 2 S = 4\pi R^2 S = 4 π R 2
2 V h 2 h = 4 π R 2 + 4 3 π h 2 \dfrac{V_h}{2h} = 4\pi R^2 + \dfrac43\pi h^2
3
4
5
2 h 3 . 6R^2 h + 2h^3. 6 R 2 h + 2 h 3 .
h
3
,
V ′ ( R ) = 4 π R 2 = S ( R ) . V'(R) = 4\pi R^2 = S(R). V ′ ( R ) = 4 π R 2 = S ( R ) . V = ∫ 0 R S ( r ) d r . V = \int_0^R S(r)\,dr. V = ∫ 0 R S ( r ) d r .
S
=
π R ( 2 H +
r ) .
2 h
V h
=
4 π R 2 +
3 4 π h 2
Ифодаро кушода: ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 = 6 R 2 h + 2 h 3 (R + h)^3 - (R - h)^3 = 6R^2 h + 2h^3 ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 = 6 R 2 h + 2 h 3
Қабати байни сфераҳои радиусашон R − h R - h R − h R + h R + h R + h
Ҳаҷми қабат: V h = 4 3 π [ ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 ] V_h = \dfrac43\pi\left[(R + h)^3 - (R - h)^3\right] V h = 3 4 π [ ( R + h ) 3 − ( R − h ) 3 ]
