Харитаи курс

Геометрия — синфи 11

0 аз 73 дарс

0 аз 19 дарс

0 аз 4 дарс

0 аз 21 дарс

0 аз 12 дарс

0 аз 9 дарс

32 · 1/2. Ҳаҷми ҷисми чархзанӣ
32 · 2/2. Ҳаҷми силиндри рост
ту ин ҷоӣ33 · 1/2. Ҳаҷми конуси рост
33 · 2/2. Масъалаҳо доир ба ҳаҷми конус
34. Ҳаҷми конуси сарбурида
35 · 1/3. Ҳаҷми кура
35 · 2/3. Сегмент, қабат ва сектори куравӣ
35 · 3/3. Масъалаҳо. Кура, силиндр ва конус
36. Масоҳати сфера

0 аз 3 дарс

0 аз 5 дарс

марра!

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

дарс кушода мешавад…

33 · 1/2. Ҳаҷми конуси рост - Геометрия — синфи 11

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 11

5. Ҳаҷми ҷисмҳои чархзанӣ

33 · 1/2. Ҳаҷми конуси рост

1 соат

Назария
Дарси 3 аз 9
Хониш: 7 дақиқа
Саволҳо: 5

Дар ин дарс «конус» — конуси рости доиравӣ аст (ғайр аз он ки гуфта шавад).

Ҳаҷми конуси рост

Маълум: конуси рости радиусаш $R$ ва баландиаш $H.$

Матлуб: $V = \dfrac13\pi R^2 H.$

навбатӣ

33 · 2/2. Масъалаҳо доир ба ҳаҷми конус

1 соат

Дарси навбатӣ

Дарси пешина Ба харитаи курс

2

H

.

Исбот. Конус аз чархзании секунҷаи росткунҷаи $OAB$ ( $\angle A = 90^\circ$ ) дар гирди катети $OA$ ҳосил мешавад (расми 1).

Теорема исбот шуд. ∎

Конус аз дискҳосанҷида бин!

Мисоли 1. Ташкилдиҳандаи конус 6 см аст ва бо ҳамвории асос кунҷи $60^\circ$ месозад (расми 3). Ҳаҷми конусро меёбем.

Ҳал. Аз секунҷаи росткунҷаи $SOA:$

R = l\cos 60^\circ = 6\cdot\frac12 = 3, \qquad H = l\sin 60^\circ = 6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3.

V = \frac13\pi R^2 H = \frac13\pi\cdot 9\cdot 3\sqrt3 = 9\sqrt3\,\pi \text{ см}^3.

Ҷавоб: $9\sqrt3\,\pi$ см³.

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Баландии конус 10 см ва радиуси давраи асосаш 3 см аст. Ҳаҷми конусро ёбед.

2. Баландии конус 9 см, ташкилдиҳандааш 15 см аст. Ҳаҷми ин конусро ёбед.

3. Қуми ҷамъшуда шакли конусро дорад: радиуси асос 2 м ва ташкилдиҳанда 2,5 м. Ҳаҷми онро ёбед.

Дар хона

4. Радиуси яке аз ду конуси монанд аз радиуси дигарӣ 4 маротиба зиёд аст. Нисбати ҳаҷмҳои ин конусҳоро ёбед.

5. Дарозии ташкилдиҳандаи конус $l$ ва дарозии давраи асосаш $C$ аст. Ҳаҷми конусро ёбед. Нишондод: аз $C$ радиусро ёбед, баъд баландиро аз секунҷаи росткунҷа.

Вазифаи хонагӣ

Машқҳои 4 ва 5. Исботи теоремаро дар дафтар нависед.

Дар ин дарс

Ман метавонам формулаи ҳаҷми конуси ростро бо интеграл бароварда исбот кунам.
Ман медонам, ки $V = \dfrac13 SH$ барои конуси моил низ дуруст аст ва ҳаҷмҳои конусҳои монанд ба $k^3$ нисбат доранд.
Ман метавонам ҳаҷми конусро аз ташкилдиҳанда ва кунҷ ё аз давраи асос ёбам.

Такрор (2 дақиқа)

Конуси рост ҳангоми чархзании кадом фигура ҳосил мешавад?
Дар конус $R,$ $H$ ва $l$ бо кадом муносибат алоқаманданд?
Ҳаҷми ҷисми чархзанӣ чӣ тавр навишта мешавад?

Ҷавобҳо

секунҷаи росткунҷа дар гирди катет; 2) $l^2 = R^2 + H^2;$ 3) $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx.$

Теорема

Ҳаҷми конуси рост ба сеяки ҳосили зарби масоҳати асос ба баландӣ баробар аст: $V = \dfrac13 SH = \dfrac13\pi R^2 H.$

Секунҷаи росткунҷаи кабуд бо қуллаи O дар ибтидои координатаҳо, катети OA дар тири абсисса, катети амудии AB; хати OB — y = kx. Дар тарафи рост диски асоси конус. — Расми 1. Секунҷаи росткунҷаи OAB дар гирди тири абсисса: конус ҳосил мешавад. OA = H, AB = R.

Системаи координатиро чунин мегузорем: ибтидо — нуқтаи $O,$ тири абсисса — хати $OA.$ Он гоҳ $OA = H,$ $AB = R.$ — интихоби системаи координатӣ.
Хати рости $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx.$ муодилаи дорад, ки пас —

Эзоҳ 1

Теорема барои конуси моил низ дуруст аст. Онро бе исбот қабул мекунем (принсипи Кавалиерӣ, ба мисли силиндр).

Эзоҳ 2

Ҳаҷмҳои ду конуси рости монанд (расми 2) ба куби нисбати баландиҳояшон (ё радиусҳо, ё ташкилдиҳандаҳо) баробаранд:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^2 H_1}{R_2^2 H_2} = k^3.

Ду конус: хурд бо радиуси r, баландии h ва ташкилдиҳандаи l₁; калон бо R, H, l; ташкилдиҳандаҳо сурх. — Расми 2. Ду конуси рости монанд.

Конуси рост; ташкилдиҳандаи рости сурх бо навиштаи l = 6; дар поёни он, дар асос, кунҷи 60° ишора шудааст; радиуси кабуд ва баландии нуқтачин. — Расми 3. Конус: l = 6, кунҷи байни ташкилдиҳанда ва асос 60°.

худро санҷ1 хол

Ташкилдиҳандаҳои ду конуси рости монанд 2 см ва 5 см аст. Ҳаҷми конуси калонро ба ҳаҷми конуси хурд тақсим кунед.

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Радиуси асоси конус 6 см, баландиаш 5 см. Ҳаҷми конусро ёбед ( $V = \ldots\pi$ см³).

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Ҳаҷми конус $48\pi$ см³, радиуси асос 6 см. Баландии конусро ёбед (бо см).

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Ҳаҷми конусро бо интеграл ёфтанро ба тартиб гузоред.

Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед

1

Ҷавоб: $V = \dfrac13\pi R^2 H$

2

Секунҷаи росткунҷаи $OAB$ -ро дар системаи координатӣ мегузорем: $O$ — ибтидо, — тири абсисса

3

4

5

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Радиуси асоси конус $R$ ва ташкилдиҳандааш $l$ аст. Кадом формула ҳаҷмро медиҳад?

Як ҷавобро интихоб кунед

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

O B

OB

OB

y = kx

k = \dfrac{AB}{OA} = \dfrac RH,

y = \dfrac RH\,x.

муодилаи хати рост аз ибтидо.

Секунҷаи

OAB

— ҳолати махсуси трапетсияи каҷхатта: аз боло графики

y = \dfrac RH x,

аз поён тири абсисса, аз рост хати

x = H.

— таърифи трапетсияи каҷхатта.

Аз формулаи (1):

V = \pi\displaystyle\int_0^H \left(\frac RH x\right)^2 dx = \pi\frac{R^2}{H^2}\cdot\frac{x^3}{3}\Bigg|_0^H = \frac13\pi R^2 H.

— формулаи ҳаҷм аз рӯйи интеграл.

=

R22H2R12H1=

k3.

Сабаб: секунҷаҳои росткунҷаи ташкилёфта монананд.

O

OA

Муодилаи хати рости $OB$ -ро менависем: $y = \dfrac{R}{H}x,$ $x \in [0; H]$

Дар формулаи $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ ин $f$ -ро мегузорем: $V = \pi\displaystyle\int_0^H \dfrac{R^2}{H^2}x^2\,dx$

Интегралро ҳисоб мекунем: $V = \pi\dfrac{R^2}{H^2}\cdot\dfrac{H^3}{3}$

2

$\dfrac13\pi R^2\sqrt{l^2 - R^2}$

$\dfrac13\pi R l$

$\dfrac13\pi R^2 l$

2

d

x