34. Ҳаҷми конуси сарбурида - Геометрия — синфи 11
Дар ин дарс «конуси сарбурида» — конуси сарбуридаи рост аст.
Ҳаҷми конуси сарбурида
Маълум: конуси сарбуридаи баландиаш H , H, H , R 1 > R 2 , R_1 > R_2, R 1 > R 2 , S 1 = π R 1 2 , S_1 = \pi R_1^2,
навбатӣ 35 · 1/3. Ҳаҷми кура 1 соат
S 1
=
π R 1 2 ,
S 2 = π R 2 2 S_2 = \pi R_2^2 S 2 = π R 2 2 Матлуб: V = 1 3 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) . V = \dfrac13\pi H(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2). V = 3 1 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) .
Исбот. Конуси сарбуридаро то конуси пурра пурра мекунем (расми 2). Бигзор x x x R 1 , R_1, R 1 , x x x R 2 , R_2, R 2 , x − H x - H x − H
Агар S 1 = π R 1 2 , S_1 = \pi R_1^2, S 1 = π R 1 2 , S 2 = π R 2 2 , S_2 = \pi R_2^2, S 2 = π R 2 2 , S 1 S 2 = π R 1 R 2 , \sqrt{S_1 S_2} = \pi R_1 R_2, S 1 S 2 =
Роҳи дуюм: бо интеграл Конуси сарбуридаро ҳамчун ҷисми аз чархзании трапетсияи росткунҷаи O A B C OABC O A BC O x Ox O x C ( 0 ; R 1 ) , C(0; R_1), C ( 0 ; R 1 ) , B ( H ; R 2 ) , B(H; R_2), B ( H ; R 2 ) , A ( H ; 0 ) . A(H; 0). A ( H ; 0 ) . C B CB CB
y = R 1 + R 2 − R 1 H x . y = R_1 + \frac{R_2 - R_1}{H}\,x. y = R 1 + H R 2 − R Аз формулаи (1):
V = π ∫ 0 H ( R 1 + R 2 − R 1 H x ) 2 d x = π H 3 ⋅ R 2 3 − R 1 3 R 2 − R 1 = 1 3 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) . V = \pi\int_0^H\left(R_1 + \frac{R_2 - R_1}{H}x\right)^2 dx = \frac{\pi H}{3}\cdot\frac{R_2^3 - R_1^3}{R_2 - R_1} = \frac13\pi H(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2). V = π ∫ 0 H Конуси сарбурида аз дискҳо санҷида бин! Аз нав Мисоли 1. Чалак шакли силиндрӣ дорад: баландӣ 1,9 м, диаметри асос 1 м. Сатил шакли конуси сарбурида дорад: диаметрҳои асосҳо 20 см ва 30 см, баландӣ 25 см. Чанд сатили пурраи об дар чалак ҷо мешавад?
Ҳал. Чалак (радиус 50 см, баландӣ 190 см): V ч = π ⋅ 50 2 ⋅ 190 = 475 000 π V_{\text{ч}} = \pi\cdot 50^2\cdot 190 = 475\,000\pi V ч = π ⋅ 5 0 2 ⋅ 190 = 475 000 π R 1 = 15 , R_1 = 15, R 1 = 15 , R 2 = 10 , R_2 = 10, R 2 = 10 , H = 25 : H = 25: H = 25 :
V с = 1 3 π ⋅ 25 ⋅ ( 225 + 150 + 100 ) = 11 875 π 3 см 3 . V_{\text{с}} = \frac13\pi\cdot 25\cdot(225 + 150 + 100) = \frac{11\,875\pi}{3}\text{ см}^3. V с = 3 1 π ⋅ 25 ⋅ ( 225 + 150 + 100 ) = 3 11 875 π см 3 . 475 000 : 11 875 3 = 120. 475\,000 : \frac{11\,875}{3} = 120. 475 000 : 3 11 875 = 120.
Кор дар синф
Машқҳо 1. Радиусҳои асосҳои конуси сарбурида 4 см ва 6 см, баландиаш 6 см аст. Ҳаҷмашро ёбед.
2. Радиусҳои асосҳои конуси сарбурида R R R r r r 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
3. Ҳаҷми конуси сарбурида 584 π 584\pi 584 π
4. Ҳаҷми конуси сарбурида 248 π 248\pi 248 π
5. Трапетсияи баробарпаҳлуи тарафҳои параллелаш 7 см ва 17 см, ки масоҳаташ 144 см² аст, дар атрофи баландии аз миёнаҷойи асосҳо гузаронидашуда чарх мезанад. Ҳаҷми ҷисми ҳосилшударо ёбед.
6. Дар конуси сарбурида радиусҳои асосҳо ва ташкилдиҳанда ҳамчун 4 : 11 : 25 4 : 11 : 25 4 : 11 : 25 181 π 181\pi 181 π
7. Калонтарин диагонали призмаи шашкунҷаи мунтазам ба 4 м баробар буда, бо теғаи паҳлуӣ кунҷи 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
8. Дар секунҷаи A B C ABC A BC B C = 3 3 , BC = 3\sqrt3, BC = 3 3 , A C = 15 , AC = 15, A C = 15 , ∠ A B C = 60 ∘ \angle ABC = 60^\circ ∠ A BC = 6 0 ∘ A A A
Саволҳои назоратӣ
Ҳаҷми конуси сарбурида бо кадом формула ҳисоб карда мешавад?
Ин формуларо бо кадом роҳҳо ҳосил кардан мумкин аст?
Кадом роҳи ҳосил кардани формула осонтар аст?
Муодилаи хати рости аз ду нуқта гузарандаро нависед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4 ва 5. Ба саволҳои назоратӣ ҷавоб омода кунед.
Вазифаи хонагии электронии «Геометрия 11 · Вазифаи хонагӣ · 34» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш.
Хулоса
V = 1 3 H ( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) = 1 3 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) . V = \dfrac13 H(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) = \dfrac13\pi H(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2). V = 3 1 H ( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) = 3 1 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) . Исбот: конусро пурра мекунем ва аз монандӣ истифода мебарем.
R 2 = 0 R_2 = 0 R 2 = 0 R 2 = R 1 R_2 = R_1 R 2 = R 1 Дар ин дарс
Ман медонам формулаи ҳаҷми конуси сарбурида ва ду роҳи ҳосил кардани онро.Ман метавонам формуларо бо усули «конусро пурра мекунем» исбот кунам.Ман метавонам масъалаҳоро оид ба ҳаҷми конуси сарбурида ҳал кунам. Такрор (2 дақиқа)
Конуси сарбурида (рост) аз чархзании кадом фигура ҳосил мешавад?
Монандии конусҳо чӣ нисбат медиҳад: агар k k k V 1 : V 2 = ? V_1 : V_2 = ? V 1 : V 2 = ?
Формулаи ҳаҷми конусро нависед.
Ҷавобҳо
трапетсияи росткунҷа дар гирди паҳлуи ба асосҳо перпендикуляр; 2) k 3 ; k^3; k 3 ; 1 3 π R 2 H . \dfrac13\pi R^2 H. 3 1 π R 2 H .
Теорема Ҳаҷми конуси сарбурида ба сеяки ҳосили зарби баландӣ ба суммаи масоҳатҳои асосҳо ва миёнаи геометрии онҳо баробар аст:
V = 1 3 H ( S 1 + S 1 S 2 + S 2 ) = 1 3 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ) . V = \frac13 H\left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) = \frac13\pi H\left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right). V = 3 1 H ( S 1 + S 1 S 2 = 3 1 π H ( R 1 2 + R 1 R 2 Расми 1. Конуси сарбурида: R₁ — радиуси асоси поёнӣ, R₂ — болоӣ, H — баландӣ. Расми 2. Конуси сарбурида то конуси пурра пурра шудааст: қуллаи S.
Аз монандии конусҳо: R 2 R 1 = x − H x , \dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{x - H}{x}, R 1 R 2 =
Калимаҳои калидӣ конуси сарбурида конусро пурра кардан миёнаи геометрӣ муодилаи хати рост
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман формулаи ҳаҷми конуси сарбуридаро менависам; ✓ ман онро бо монандӣ исбот мекунам; ✗ ман ҳоло ҳам мушкилӣ дорам: ______.
Кадом формула ҳаҷми конуси сарбуридаро медиҳад?
Як ҷавобро интихоб кунед A 1 2 π H ( R 2 + r 2 ) \dfrac12\pi H(R^2 + r^2) 2 1 π H ( R 2 + r 2 )
B 1 3 π H (
C D π
R 1
R 2
,
1
x
.
( R 1 + H R 2 − R 1 x ) 2
d
x
=
3 π H ⋅
R 2 − R 1 R 2 3 − R 1 3 =
3 1 π H ( R 1 2 +
R 1 R 2 +
R 2 2 ) .
+
S 2
)
+
R 2 2
)
.
x
x − H
,
x = H R 1 R 1 − R 2 . x = \dfrac{H R_1}{R_1 - R_2}. x = R 1 − R 2 H R 1 . монандии секунҷаҳои росткунҷаи тирӣ.
V = 1 3 π R 1 2 x − 1 3 π R 2 2 ( x − H ) = 1 3 π [ ( R 1 2 − R 2 2 ) x + R 2 2 H ] . V = \dfrac13\pi R_1^2 x - \dfrac13\pi R_2^2(x - H) = \dfrac13\pi\left[(R_1^2 - R_2^2)x + R_2^2 H\right]. V = 3 1 π R 1 2 x − 3 1 π R 2 2 ( x − H ) = 3 1 π [ ( R 1 2 − R 2 2 ) x + R ҳаҷми конус. Ҷойгир мекунем x x x ( R 1 2 − R 2 2 ) ⋅ H R 1 R 1 − R 2 = H R 1 ( R 1 + R 2 ) . (R_1^2 - R_2^2)\cdot\dfrac{H R_1}{R_1 - R_2} = H R_1(R_1 + R_2). ( R 1 2 − R 2 2 ) ⋅ R 1 − R 2 H R 1 = H R 1 ( R 1 + R 2 ) . R 1 2 − R 2 2 = ( R 1 − R 2 ) ( R 1 + R 2 ) . R_1^2 - R_2^2 = (R_1 - R_2)(R_1 + R_2). R 1 2 − R 2 2 = ( R V = 1 3 π H [ R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ] . V = \dfrac13\pi H\left[R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right]. V = 3 1 π H [ R 1 2 + R 1 R 2 + R 2 2 ] . ҷамъбасти R 1 R 2 + R 1 2 + R 2 2 R_1 R_2 + R_1^2 + R_2^2 R 1 R 2 + R 1 2 + R R 2 + R r + r 2 ) \dfrac13\pi H(R^2 + Rr + r^2) 3 1 π H ( R 2 + R r + r 2 )
1 3 π H ( R + r ) 2 \dfrac13\pi H(R + r)^2 3 1 π H ( R + r ) 2
1 3 π H ( R 2 + r 2 ) \dfrac13\pi H(R^2 + r^2) 3 1 π H ( R 2 + r 2 )
Расми 3. Трапетсияи росткунҷаи OABC дар гирди тири абсисса. 2 2
H
]
.
1
−
R 2 ) ( R 1 +
R 2 ) .
2 2
