32 · 1/2. Ҳаҷми ҷисми чархзанӣ - Геометрия — синфи 11
Дар фаслҳои гузашта ҳаҷмро барои ҷисмҳои «мудаввар» ҳисоб накардем. Акнун курси алгебраи синфи 11 ба мадад меояд: интеграл яке аз муҳимтарин татбиқҳояш — ҳисоби ҳаҷми ҷисмҳои геометриро медиҳад. Ин ҷо онро барои ҷисмҳои чархзанӣ истифода мебарем.
Трапетсияи каҷхатта ва ҷисми чархзанӣ
Бигзор дар порчаи [a;b] функсияи ғайриманфии y=f(x) дода шудааст.
Агар трапетсияи каҷхаттаро дар гирди тири абсисса чарх занонем, ҷисми чархзанӣ ҳосил мешавад (расми 2). Онро бо ҳамвории ба тири Ox перпендикуляр бурем, доира (ё як нуқта) ҳосил мешавад: маркази он дар нуқтаи -и тир, радиусаш Масоҳати ин доираро бо ишора мекунем:
навбатӣ32 · 2/2. Ҳаҷми силиндри рост
1 соат
x
S(x)=πf2(x). Тасаввур кунед, ки ҷисмро ба n диски хеле борик бурида, ҳар диски ғафсиаш Δx-ро ҳамчун силиндри хурд ҳисоб мекунем: ҳаҷми он тақрибан S(x)Δx. Суммаи ин ҳаҷмҳо ҳар қадар дискҳо борик шаванд, ба ҳаҷми ҷисм наздиктар мешавад. Пас аз таърифи интеграл ҳаҷм ба интеграл баробар аст:
Дар виҷети зерин дискҳоро зиёд кунед: сумма ба ҳаҷми дақиқ наздик мешавад.
Дискҳо ва ҳаҷмсанҷида бин! Мисоли 1. Трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=2x−x2 ва y=0 дода шудааст (расми 3). Ҳаҷми ҷисми аз чархзании он ҳосилшударо меёбем.
Ҳал. Хати y=2x−x2 тири абсиссаро дар нуқтаҳои x=0 ва x=2 мебурад, пас a=0, b=2. Аз рӯйи формулаи (1):
V=π∫02(2x−x2)2dx=π∫02(4x2−4x3+x4)dx=π(34x3−x4+5x5 V=π(332−16+532)=1516π. Ҷавоб: V=1516π воҳиди кубӣ.
Кор дар синф
Машқҳо
1. Ҳаҷми ҷисмеро ҳисоб кунед, ки дар натиҷаи чархзании трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=x2, x=1, y=0 дар гирди тири абсисса ҳосил мешавад.
2. Ҳамин масъаларо барои хатҳои y=x3, x=2, y=0 ҳал кунед.
3. Ҳаҷми ҷисмро ёбед, ки аз чархзании трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=x+1, x=0, x=2, y=0 ҳосил мешавад.
4. Ҳаҷми ҷисмро ёбед, ки аз чархзании трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=1−x3, x=2, y=0 ҳосил мешавад. Нишондод: хати y=1−x3 тири абсиссаро дар x=1 мебурад; фигура аз x=1 то x=2 ҷойгир аст.
5. Ҳаҷми ҷисмро ёбед, ки аз чархзании трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=2x, x=3, y=0 ҳосил мешавад.
6. Ҳаҷми ҷисмро ёбед, ки аз чархзании трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y=x1, x=1, x=2, y=0 ҳосил мешавад.
Вазифаи хонагӣ
Дар ин дарс
- Ман медонам трапетсияи каҷхатта чист ва ҷисми чархзанӣ чӣ тавр ҳосил мешавад.
- Ман мефаҳмам, ки чаро ҳаҷми ҷисми чархзанӣ суммаи ҳаҷми дискҳои борик аст.
- Ман метавонам ҳаҷми ҷисмро аз рӯйи формулаи V=π∫abf2(x)dx ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Интеграли муайяни ∫abg(x)dx барои g(x)≥0 чӣ маъно дорад?
- Ҳисоб кунед: ∫02x2dx.
- Масоҳати доираи радиусаш r чанд аст?
Ҷавобҳо
- масоҳати трапетсияи каҷхатта; 2) 3x30 3)
Вазъият барои андешаронӣКӯзаро (ё гулдонро) дар дастгоҳи кулолӣ мебофанд: он дар гирди тири амудӣ чарх мезанад. Чӣ тавр ҳаҷми чунин ҷисмро, ки сатҳаш каҷ аст, ҳисоб кунем? Агар онро ба варақаҳои тунуки ҳамвор бурем, ҳар варақаро чӣ гуна ҷисм ҳисоб кардан мумкин аст?
ТаърифФигураи бо графики функсия, тири абсисса ва хатҳои рости x=a, x=b маҳдуд трапетсияи каҷхатта номида мешавад (расми 1).
Расми 1. Трапетсияи каҷхатта: аз боло — графики y = f(x), аз поён — тири абсисса, аз паҳлуҳо — x = a ва x = b.
Расми 2. Ҷисми чархзанӣ. Буриши он бо ҳамвории ба тири абсисса перпендикуляр — диск бо радиуси f(x).Қабул мекунемҲаҷми ҷисме, ки дар натиҷаи чархзании трапетсияи каҷхатта дар гирди тири абсисса ҳосил мешавад:
V=∫abS(x)dx=π 
Расми 3. Трапетсияи каҷхатта бо хатҳои y = 2x − x² ва y = 0; он дар порчаи [0; 2] ҷойгир аст.Оё медонед?Аз асри XVII ҳисоби интегралӣ тавассути корҳои Рене Декарт (методи координатаҳо), Исаак Нютон ва Готфрид Лейбниц (ҳисоби дифференсиалӣ ва интегралӣ) ривоҷ ёфт. Айнан ҳамин имкон дод, ки ҳаҷми ҷисмҳои мураккаби чархзанӣ бо формулаи оддӣ ҳисоб шавад.
Агар f(x)=3, масоҳати диск дар нуқтаи x ба 3π баробар аст.
Хати y=x3 барои 0≤x≤2 дар гирди тири абсисса чарх мезанад. Дар формулаи ҳаҷм кадом ифода зери интеграл меистад?
Як ҷавобро интихоб кунед Кадом фигураҳо трапетсияи каҷхатта мебошанд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед
)
.
2
=
38;
∫ab
f2
(
x
)
d
x
.
(
1
)
Ин формуларо бе исбот қабул мекунем («априорӣ»): аз рӯйи он ҳаҷми ҷисмҳои чархзаниро меёбем.
x=
4
x2+
y2=
4
Фигураи бо хатҳои y=x, y=0, x=4 маҳдуд
Фигураи бо хатҳои y=x2, y=0, x=3 маҳдуд