Исбот. Фарз мекунем, ки AB ва CD чиликӣ нестанд, яъне дар як ҳамворӣ ҷойгиранд. Он гоҳ нуқтаҳои A,B,C,D ҳам дар ҳамон ҳамворӣ мебуданд — ин ба шарт зид аст. Пас хатҳо чиликианд. ∎
Исбот. Нуқтаи B∈/a-ро мегирем (P1) ва аз a ва B ҳамвории α-ро мегузаронем. Нуқтаи C∈/α-ро мегирем (C1) ва хати b=BC-ро мегузаронем. Хати b ҳамвории α-ро дар нуқтаи B мебурад ва B∈/a, пас бо аломати дуюм a ва b чиликианд. ∎
Мисол
Мисоли 1. Барои ҳар ду хати чиликии a ва b хати сеюми c мавҷуд аст, ки ҳам бо a ва ҳам бо b чиликӣ аст. Исбот кунед.
Ҳал. Нуқтаи A∈a ва B∈b-ро мегирем ва хати AB-ро мегузаронем (P2). Ҳамвории α-ро аз a ва B ва ҳамвории β-ро аз b ва A мегузаронем (теоремаи якум; B∈/a ва A∈/b, зеро a ва b нуқтаи умумӣ надоранд). Ҳамвориҳои α ва β гуногунанд (вагарна a ва b дар як ҳамворӣ мебуданд) ва ҳар ду A ва B-ро дар бар мегиранд, пас AB=α∩β(C4).
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Нуқтаҳои K ва M — миёнаҷойи теғаҳои AB ва CD-и тетраэдри ABCD мебошанд. Исбот кунед, ки хатҳои рости AC ва KM чиликианд.
6. Ду хати чиликии a,b ва нуқтаи C дода шудааст, ки дар ҳеҷ яке аз ин хатҳо нест. Оё аз C хатти ростеро гузаронидан мумкин аст, ки ҳам a ва ҳам b-ро бурад? Ҷавобро асоснок кунед ва ҳолатҳоро ҷудо кунед.
Нишондод
Ҳамвориҳои (C,a) ва (C,b)-ро гиред. Хати чунин, ки ҳар дуро мебурад, дар кадом хати умумӣ мехобад? Ҳолатеро дида бароед, ки ин хат ба a ё ба b параллел шавад.
7. Исбот кунед, ки барои ҳар ду хати ҳамдигарро бурандаи a ва b дар фазо хатти росте вуҷуд дорад, ки ҳам бо a ва ҳам бо b чиликӣ аст.
Нишондод
Ҳамвории α-ро аз a ва b гузаронед. Нуқтаи P∈α-ро берун аз ҳарду хат ва нуқтаи C∈/α-ро гиред; хати PC-ро баррасӣ кунед.
Барои такрор
8. Нишон диҳед, ки ҳар гуна буриши бисёррӯя бо ҳамворӣ бисёркунҷа мебошад.
9. Ду ҳамворие, ки ҳамдигарро намебуранд, дода шудаанд. Исбот кунед, ки агар хат яке аз ин ҳамвориҳоро бурад, он гоҳ ҳамвории дигарро низ мебурад.
Нишондод
Хати a ҳамвории α-ро дар P мебурад. Нуқтаи Q∈β-ро гирифта, ҳамвории (a,Q)-ро гузаронед ва ду хати буришро дар он дида бароед.
10. Масоҳати сатҳи паҳлуӣ ва сатҳи пурраи кубе, ки теғааш 4 см аст, ба чӣ баробар аст?
11. Масоҳати сатҳи паҳлуӣ ва пурраи параллелепипеди росткунҷаи асосаш квадратро ёбед, агар тарафи квадрати асос 5 см ва баландӣ 10 см бошад.
12. Кунҷҳои α,β ва масоҳати секунҷаи ABC, ки S аст, дода шудаанд. Тарафҳои секунҷаро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 6 ва 7 ва вазифаи хонагии онлайн (6 савол). Машқҳои 8–12 — ихтиёрӣ.
Хулоса
Ду хат дар фазо: мебуранд, параллеланд (дар як ҳамворӣ, нуқтаи умумӣ нест) ё чиликианд (дар як ҳамворӣ нестанд).
Аломати якум:A,B,C,D дар як ҳамворӣ нестанд ⇒AB ва CD чиликианд.
Аломати дуюм:a⊂α,b ҳамвориро дар нуқтаи B∈/a мебурад ⇒a ва b чиликианд.
Ба ҳар хат хати чиликӣ мавҷуд аст; ба ҳар ду хати чиликӣ — хати сеюми ба ҳарду чиликӣ.
Аз хат ва нуқтаи дар он набуда чанд ҳамворӣ мегузарад?
Агар чор нуқта дар як ҳамворӣ набошанд, оё се нуқтаи онҳо дар як хат буда метавонанд?
Ҷавобҳо
хатҳое, ки дар як ҳамворӣ нестанд; 2) як; 3) не.
Аломати якум
Агар нуқтаҳои A,B,C,D дар як ҳамворӣ набошанд, хатҳои рости AB ва CD чиликианд.
Натиҷаи 1
Барои он ки чор нуқтаи A,B,C,D дар як ҳамворӣ бошанд, зарур ва кифоя аст, ки хатҳои AB ва CD ё ҳамдигарро буранд, ё параллел бошанд, ё ҳамҷоя шаванд.
Аломати дуюм
Агар яке аз ду хат дар ҳамворӣ бошад ва хати дигар ин ҳамвориро дар нуқтае бурад, ки ба хати якум тааллуқ надорад, ин хатҳо чиликианд.
Расми 1. Хати a дар ҳамвории α; хати b ҳамвориро дар нуқтаи B-и аз a берун мебурад: a ва b чиликианд.
Фарз мекунем, ки a ва b дар як ҳамвории β ҷойгиранд.
β хати a ва нуқтаи B∈b-ро дар бар мегирад (). Мувофиқи теоремаи якум чунин ҳамворӣ ягона аст ва низ ҳамин хосиятро дорад, пас —
Натиҷаи 2
Барои ҳар хати рости a хати рости ба он чиликӣ мавҷуд аст.
Дар хати AB нуқтаи M-ро аз A ва B фарқкунанда мегирем (масалан, миёнаҷойи AB).
Нуқтаи N-ро берун аз ҳарду ҳамворӣ мегирем. Чунин нуқта ҳаст: нуқтаи -ро мегирем (); агар ҳам бошад, Агар нуқтаи -ро мегирем; агар Ва агар нуқтаи сеюми дилхоҳи хати -ро меномем: агар мебуд, мувофиқи тамоми хати дар мешуд ва — зиддият; ба низ ҳамин тавр ( мешуд — зиддият).
Расми 2. Хатҳои чиликии a ва b; A ∈ a, B ∈ b, M ∈ AB; хати c аз M берун аз ҳамвориҳои (a, B) ва (b, A) мегузарад.
Расми 3. Тетраэдри ABCD; K — миёнаҷойи AB, M — миёнаҷойи CD.
