15.4. Куби сумма ва куби фарқ - Алгебра — синфи 7
Куби сумма
Мо медонем, ки x3=x⋅x2. Пас, (a+b) Квадрати сумма маълум аст, зарб мекунем:
навбатӣТакрор ва санҷиш: боби 5 · 1/3. Формулаҳои зарби мухтасар
1 соат
3
=
(a+
b)(a+
b)2.
(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Ин зарбро қадам ба қадам тамошо кунед.
(a + b)³ = (a + b)² · (a + b)
(a + b)³
(a² + 2ab + b²)(a + b)
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб = квадрат · асос
сатр 2Дараҷаи сеюм — ин квадрат ба асос зарб карда шудааст.
қадам(a + b)³ = (a + b)² · (a + b)натиҷа—
Мисоли 1. Куби суммаи ададҳоро ду тарз ҳисоб мекунем: а) бевосита; б) бо формула. Масалан, (4+3)3 ва (3+17)3.
- Тарзи I: (4+3)3=73=343. Тарзи II: 43+33+3⋅4⋅3⋅(4+3)=64+27+252=343.
- Тарзи I: (3+17)3=203=8000. Тарзи II: 3
Мисоли 2. Ифодаи 2x+3-ро ба куб мебардорем:
(2x+3)3=(2x)3+3⋅(2x)2⋅3+3⋅2x⋅32+33=8x3+36x2+54x+27. Куби фарқ
Азбаски a−b=a+(−b), формулаи куби суммаро барои a ва −b менависем:
(a−b)3=(a+(−b))3=a3+3a2⋅(−b)+3a⋅(−b)2+(−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3. Мисоли 3. Куби фарқи ададҳоро ду тарз ҳисоб мекунем:
- (7−4)3=33=27 ва 73−43−3⋅7⋅4⋅(7−4)=343−64−252=27.
- (11−7)3=43=64 ва 11
Мисоли 4. Дуузваи 2x−3-ро ба куб мебардорем:
(2x−3)3=(2x)3−3⋅(2x)2⋅3+3⋅2x⋅32−33=8x3−36x2+54x−27. Мисоли 5. Ифодаи (3a−5b)3-ро ба бисёрузва табдил медиҳем:
(3a−5b)3=(3a)3−3⋅(3a)2⋅5b+3⋅3a⋅(5b)2−(5b)3=27a3−135a2b+225ab2−125b3. Аз рост ба чап: ба куб ҷудо кардан
Формулаҳоро аз рост ба чап менависем:
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3,a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3. Бо ин бисёрузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кардан мумкин: бисёрузва ба куб бардошта шудааст, ки ин се зарбшавандаи якхела аст.
Мисоли 6. Бисёрузваҳоро ба шакли дараҷа менависем:
а) 64n3+144n2m+108nm2+27m3=(4n)3+3⋅(4n)2⋅3m+3⋅4n⋅(3m)2+(3m)3=(4n+3m)3;
б) 8p3−36p2q+54pq2−27q3=(2p)3−3⋅(2p)2⋅3q+3⋅2p⋅(3q)2−(3q)3=(2p−3q)3.
Барои фаҳмидан: ҷамъшавандаи якум ва охирин бояд кубҳо бошанд (4n ва 3m), ду ҷамъшавандаи миёна — 3a2b ва 3ab2.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ифодаро ба шакли бисёрузва биёред:
- а) (x+5)3;
- б) (3+a)3;
- в) (4b−2)3;
- г) (p−3q)3.
2. Куби фарқро ба шакли бисёрузва биёред:
- а) (y−4)3;
- б) (3−c)3;
- в) (2a−5b)3;
- г) (n−4m)3.
- а) (x2+x4)3;
- б) (a+a2)3;
- в) (2y2+y4)3.
- а) (b−b3)3;
- б) (c4−c6)3;
- в) (3m2−m3)3.
5. Ба шакли куби сумма биёред:
- а) p3+6p2+12p+8;
- б) −(q3+6q2+12q+8);
- в) n3+27n+9n2+27.
- а) (x−y)(x+y)(x2+y2);
- б) (2a+b)(2a−b)(4a3+b3).
- а) (12+x)(x2+1)−(x+4)3=89;
- б) (2y−3)(5−2y)2=(2y−3)3.
8. Ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
- а) 4a4−12a2+9;
- б) 25a8−30a4b7+9b14;
- в) 16c6+24b2c3+9b4.
Дар хона
9. Кадоме аз ифодаҳо куби сумма ва кадомаш куби фарқ аст:
- а) (−1−c2)3;
- б) (2−d4)3;
- в) (p−2(−q))3;
- г) (−6−0,3n)3;
- д) (1−(−a))3.
- а) (m2−n2)3⋅(m2+n2)3;
- б) (a−a3)3⋅(a+a3)3.
11. Ба шакли куби фарқ биёред:
- а) a3−3a2+3a−1;
- б) b3−6b2+12b−8;
- в) −c3+9c2−27c+27;
- г) −d3+12d2−48d+64.
Барои ҳавасмандон ★
12★. Муодиларо ҳал кунед:
- а) 4(10−z)2−z(3−z)−(2z−5)2=z2−3;
- б) (t+5)(1−t)2−(5−3t)2−
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 9–11 (қисми «Дар хона»).
- Дар дафтар: бо формулаи куби сумма 213=(20+1)3-ро ҳисоб кунед ва аз рӯйи 21⋅21⋅21 санҷед.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 15.4 дар саҳифаи «Супоришҳо» агар омӯзгор супорида бошад.
Дар ин дарс
- Ман метавонам формулаҳои куби сумма ва куби фарқро ҳосил кунам ва нависам.
- Ман метавонам куби дуузваро ба бисёрузва табдил диҳам.
- Ман метавонам бисёрузваи намуди a3±3a2b+3ab2±b3-ро ба куби дуузва ҷудо кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Қавсҳоро кушоед: (a+b)2.
- Ҳисоб кунед: (2+1)3.
- Қимати 113-ро ёбед.
Ҷавобҳо
- a2+2ab+b2. 2) 33=27. 3)
ҚоидаФормулаи куби сумма:
(a+b)3=a3+ ҚоидаФормулаи куби фарқ:
(a−b)3=a3−3a Дар хотир доред(a+b)3=a3+ ва Ду ҷамъшавандаи миёна ( ва ) аз даст намеравад. Боз : аломати куб тағйир меёбад,
Баробарии (a−b)3=(b−a)3 дуруст аст.
Кадоме ба (a−1)3 баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Ба бисёрузва табдил диҳед: (2y+1)3.
Як ҷавобро интихоб кунед 3
+
173+
3⋅
3⋅
17⋅
20=
27+
4913+
3060=
8000.
3
−
73−
3⋅
11⋅
7⋅
4=
1331−
343−
924=
64.
(t−
2)3+
3=
0.
113=1331.
3a2b+
3ab2+
b3.
Барои ҳисоб ва ба зарбшавандаҳо ҷудо кардан онро чунин ҳам менависанд:
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). Куби сумма ба суммаи кубҳо ва се маротиба зиёди ҳосили зарби ab ба суммаи a+b баробар аст.
2
b
+
3ab2−
b3.
Ин чунин ҳам навишта мешавад: (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b). Куби фарқ ба фарқи кубҳо, тарҳи се маротиба зиёди ҳосили зарби ab ба фарқи a−b баробар аст. Аломатҳо дар формула: +, −, +, − ба навбат.
b3
(a−b)3=a3−b3. (a−b)3=(b−a)3 (b−a)3=−(a−b)3. 3
a
+
1
a3−3a2+3a−1
a3−3a2−3a−1
+
6y+
1
2y3+6y2+6y+1
8y3+6y2+12y+1