4.4 · Функсияҳои нишондиҳандагӣ - Математикаи SAT
Асосӣ Курсҳо Математикаи SAT 4. Функсияҳо ва афзоиши нишондиҳандагӣ
4.4 · Функсияҳои нишондиҳандагӣ Илова кардан ё зарб кардан: хаттӣ ва нишондиҳандагӣ; афзоиш ва камшавӣ ба фоиз, вақти нисфшавӣ ва ҳар адад дар формула чӣ маъно дорад.
Илова мекунем ё зарб мекунем
Функсияи хаттӣ дар ҳар қадам як миқдори якхеларо илова мекунад . Функсияи нишондиҳандагӣ дар ҳар қадам ба як зарбшавандаи якхела зарб мекунад .
Музди меҳнат ҳар дафъа як маблағи якхела илова мекунад. Тӯби барфӣ ҳар қадар калонтар шавад, барфи бештар мегирад. Хам аввал аз хати рост суст мешавад, вале дар охир хеле болотар мерасад.
Муодила
y = a ⋅ b x ё A ( t ) = P ( 1 ± r ) t y = a \cdot b^x \qquad\text{ё}\qquad A(t) = P(1 \pm r)^t y = a ⋅ b x ё A ( t ) = P ( 1 ± навбатӣ 4.4 · Кор дар синф Хаттӣ ё нишондиҳандагӣ, табдили фоиз ба зарбшаванда, сохтани формула.
r
) t
a a a қимати аввала (initial value): қимат дар x = 0 x = 0 x = 0 y y y ( 0 , a ) (0, a) ( 0 , a ) b b b зарбшаванда (factor): ададе, ки миқдор ҳангоми ба 1 1 1 x x x
Афзоиш ва камшавӣ Агар b > 1 b > 1 b > 1 0 < b < 1 0 < b < 1 0 < b < 1
Хатари фоиз Агар чизе «ба 12 % 12\% 12% b b b 0.12 0.12 0.12 нест . Аз 100 % 100\% 100% «15 % 15\% 15% гум мекунад», кам кунед: 100 % − 15 % = 85 % 100\% - 15\% = 85\% 100% − 15% = 85%
Калимаҳо Зарбшавандаи b b b ба 12 % 12\% 12% 1.12 1.12 1.12 15 % 15\% 15% 0.85 0.85 0.85 80 % 80\% 80% 0.8 0.8 0.8 ду баробар мешавад 2 2 2 ду баробар кам мешавад 0.5 0.5 0.5
Фоизи мураккаб (compound interest) маънои онро дорад, ки фоизи ҳар сол ба боқимонда илова мешавад ва фоизи навбатӣ аз маблағи калонтар ҳисоб карда мешавад. Боқимондае, ки ҳамин тавр ҳар сол ба 6 % 6\% 6% b = 1.06 b = 1.06 b = 1.06
Барои аз зарбшаванда ба фоиз баргаштан: b − 1 b - 1 b − 1 b = 1.04 b = 1.04 b = 1.04 0.04 = 4 % 0.04 = 4\% 0.04 = 4% b = 0.82 b = 0.82 b = 0.82 1 − 0.82 = 18 % 1 - 0.82 = 18\% 1 − 0.82 = 18%
Вақте ки як қадам аз 1 дарозтар аст Шумораи аҳолӣ ҳар 5 5 5 2 2 2 5 5 5 t 5 \frac{t}{5} 5 t
y = 100 ⋅ 2 t / 5 y = 100 \cdot 2^{t/5} y = 100 ⋅ 2 t /5 Дар t = 5 t = 5 t = 5 1 1 1 t = 10 t = 10 t = 10 2 2 2 вақти нисфшавиро (half-life) медиҳад: y = 400 ( 0.5 ) t / 20 y = 400(0.5)^{t/20} y = 400 ( 0.5 ) t /20 20 20 20
Санҷед Дар ин асбоб зарбшаванда a a a c c c
Афзоиш ва камшавӣ санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф Ёздаҳ савол: санҷиши шумо барои ин дарс.
Хулоса
Хаттӣ: як миқдори якхела илова мекунем. Нишондиҳандагӣ: ба як зарбшавандаи якхела зарб мекунем.
y = a ⋅ b x y = a \cdot b^x y = a ⋅ b x a a a b b b b > 1 b > 1 b > 1 0 < b < 1 0 < b < 1 0 < b < 1 r r r b = 1 + r b = 1 + r b = 1 + r b = 1 − r b = 1 - r b = 1 − r Агар як қадам k k k t k \frac{t}{k} k t
Минбаъд: масъалаҳои синфӣ. Муаллим Вазифаи хонагии A ё B-ро таъин мекунад (онро дар қисми «Синфи ман» ёбед).
Дар ин дарс
шумо тағйирёбии хаттиро (илова мекунем) аз тағйирёбии нишондиҳандагӣ (зарб мекунем) фарқ мекунед;
шумо y = a ⋅ b x y = a \cdot b^x y = a ⋅ b x a a a b b b
шумо фоизи афзоишро ба зарбшавандаи b b b
шумо модели афзоиш, камшавӣ ва вақти нисфшавиро менависед.
Такрор (2 дақиқа)
50 ( 2 ) 3 50(2)^3 50 ( 2 ) 3 100 % + 12 % 100\% + 12\% 100% + 12% Хати рост аз ( 0 , 4 ) (0, 4) ( 0 , 4 ) ( 1 , 7 ) (1, 7) ( 1 , 7 )
Ҷавоб
50 ⋅ 8 = 400 50 \cdot 8 = 400 50 ⋅ 8 = 400 1.12 1.12 1.12 3 3 3 Вазъият барои андешаронӣ Соҳиби чойхона ду пешниҳод дорад. Пешниҳоди 1: ҳозир $100 ва ҳар сол боз $30. Пешниҳоди 2: ҳозир $100 ва ҳар сол маблағ ба 20 % 20\% 20%
Ҳар сол 30 илова кардан ё ҳар сол ба 1.2 зарб кардан, аз 100 оғоз карда. Дар y = 400(0.5)ˣ: 400 — оғоз ва 0.5 — ададе, ки дар ҳар қадам ба он зарб мекунанд. b = 1.5 афзоиш меёбад, b = 0.6 кам мешавад. Ҳарду аз (0, 1) мегузаранд. Дар имтиҳон чунин навишта мешавад Функсияҳои нишондиҳандагӣ ба «функсияҳои ғайрихаттӣ» дар соҳаи Advanced Math тааллуқ доранд (Assessment Framework , ҷадвали 22). Ин курс саволҳоро ҳамин тавр менависад: A bank account pays 6 % 6\% 6% t t t Ин навишта навиштаи худи мост, на саволи College Board.
Хатоҳое, ки бояд пешгирӣ кард Фоизро ҳамчун зарбшаванда истифода бурдан. Афзоиши 12 % 12\% 12% 1.12 1.12 1.12 0.12 0.12 0.12
Афзоиш ва камшавӣ омехта шудаанд. Афзоиш: b > 1 b > 1 b > 1 0 < b < 1 0 < b < 1 0 < b <
Калимаҳои калидӣ функсияи нишондиҳандагӣ афзоиш камшавӣ зарбшаванда қимати аввала вақти нисфшавӣ фоиз — percent фоизи мураккаб
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадоме аз хатоҳои боло ба шумо мумкин аст рӯй диҳад? Онро бо роҳи дуруст ба дафтари хатоҳо нависед.
Худро санҷед (✓ ё ✗):
Ман тағйирёбии хаттиро аз нишондиҳандагӣ фарқ мекунам.
Ман a a a b b b
Ман афзоиши 12 % 12\% 12% 15 % 15\% 15%
Ман t k \frac{t}{k}
Фарқи асосии байни афзоиши хаттӣ ва афзоиши нишондиҳандагӣ чист?
Як ҷавобро интихоб кунед A Афзоиши хаттӣ ҳамеша боло меравад; афзоиши нишондиҳандагӣ ҳамеша поин меравад B Графики афзоиши нишондиҳандагӣ хати рост ва графики афзоиши хаттӣ хам аст C Афзоиши хаттӣ ба як зарбшавандаи якхела зарб мекунад; афзоиши нишондиҳандагӣ як миқдори якхеларо илова мекунад D Афзоиши хаттӣ дар ҳар қадам як миқдори якхеларо илова мекунад; афзоиши нишондиҳандагӣ дар ҳар қадам ба як зарбшавандаи якхела зарб мекунад
Дар функсияи f ( x ) = 250 ( 0.80 ) x f(x) = 250(0.80)^x f ( x ) = 250 ( 0.80 ) x 250 250 250
Як ҷавобро интихоб кунед A Қимати калонтарине, ки функсия дошта метавонад B Қимати аввала, қимати f f f x = 0 x = 0 x = 0
C D Суръати камшавӣ Миқдори y = 12 ( 1.04 ) x y = 12(1.04)^x y = 12 ( 1.04 ) x x x x
Як ҷавобро интихоб кунед A Он ҳар дафъа, ки x x x 1 1 1 1.04 % 1.04\% 1.04%
B Он ҳар дафъа, ки
C D Мошин ба 20,000 доллар харида шудааст. Он ҳар сол 15 % 15\% 15% b b b V = 20,000 ⋅ b t V = 20{,}000 \cdot b^t V = 20 , 000 ⋅ b t
Як ҷавобро интихоб кунед A 0.15 0.15 0.15
B − 0.15
C D Кадоме аз ин функсияҳо камшавии нишондиҳандагиро нишон медиҳад?
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 4 ( 1.01 ) x y = 4(1.01)^x y = 4 ( 1.01 ) x
B y = 0.5 ( 2 ) x y = 0.5(2)^x y = 0.5 ( 2 ) x
C y = 100 ( 0.99 ) x y = 100(0.99)^x
D Шумораи харгӯшҳо ҳар моҳ се баробар мешавад. Дар оғоз 10 10 10 P P P m m m
Як ҷавобро интихоб кунед A P = 10 ( 3 ) m P = 10(3)^m P = 10 ( 3 ) m
B P = 3 ( 10 ) m P = 3(10)^m
C D Олим парвариши занбӯруғи қолабро бо формулаи A ( t ) = 500 ( 2 ) t / 8 A(t) = 500(2)^{t/8} A ( t ) = 500 ( 2 ) t /8 t t t
Як ҷавобро интихоб кунед A 16 16 16
B 8 8 8
C
D Графики функсияи нишондиҳандагии y = a ⋅ b x y = a \cdot b^x y = a ⋅ b x ( 0 , 5 ) (0, 5) ( 0 , 5 ) ( 1 , 15 ) (1, 15) ( 1 , 15 )
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 5 (
B C D Суратҳисоби бонкӣ 6 % 6\% 6% y y y t t t
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 1000 ( 0.94 ) t y = 1000(0.94)^t y = 1000 ( 0.94 ) t
B y = 1000 + 1.06 t y = 1000 + 1.06t
C D Моддаи радиоактивӣ вақти нисфшавии 20 20 20 400 400 400 y y y t t t
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 400 ( 0.5 ) t / 20 y = 400(0.5)^{t/20} y = 400 ( 0.5 )
B C D Ҷадвал қиматҳои як функсияро нишон медиҳад.
Кадоме аз ин муодилаҳо метавонад функсияро муайян кунад?
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 80 ( 0.5 ) x y = 80(0.5)^x y = 80 (
B C D 1
Аввал a a a b b b 4 ( 2 ) 3 = 4 ⋅ 8 = 32 4(2)^3 = 4 \cdot 8 = 32 4 ( 2 ) 3 = 4 ⋅ 8 = 32 8 3 8^3 8 3
Воҳидҳои вақт. Агар қадам «ҳар 20 20 20 t t t
k t
x
Он ҳар дафъа, ки x x x 1 1 1 4 % 4\% 4%
Он ҳар дафъа, ки x x x 1 1 1 40 % 40\% 40%
-0.15 − 0.15
y = 100 ( 0.99 ) x
y = − 5 x + 10 y = -5x + 10 y = − 5 x + 10
P
=
3 ( 10 ) m
P = 10 ( 0.33 ) m P = 10(0.33)^m P = 10 ( 0.33 ) m
P = 10 + 3 m P = 10 + 3m P = 10 + 3 m
4 4 4
10 ) x y = 5(10)^x y = 5 ( 10 ) x
y = 15 ( 3 ) x y = 15(3)^x y = 15 ( 3 ) x
y = 1000 + 1.06 t
y = 1000 ( 1.06 ) t y = 1000(1.06)^t y = 1000 ( 1.06 ) t
y = 1000 ( 0.06 ) t y = 1000(0.06)^t y = 1000 ( 0.06 ) t
t /20
y = 400 ( 0.5 ) 20 t y = 400(0.5)^{20t} y = 400 ( 0.5 ) 20 t
y = 400 ( − 0.5 ) t / 20 y = 400(-0.5)^{t/20} y = 400 ( − 0.5 ) t /20
y = 20 ( 0.5 ) t / 400 y = 20(0.5)^{t/400} y = 20 ( 0.5 ) t /400
0.5
) x
y = 40 ( 0.5 ) x y = 40(0.5)^x y = 40 ( 0.5 ) x
y = 80 ( 2 ) x y = 80(2)^x y = 80 ( 2 ) x
y = 80 − 40 x y = 80 - 40x y = 80 − 40 x
