Харитаи курс

Геометрия — синфи 11

0 аз 73 дарс

0 аз 19 дарс

0 аз 4 дарс

0 аз 21 дарс

0 аз 12 дарс

27. Мафҳуми ҳаҷми ҷисм
28 · 1/2. Ҳаҷми параллелепипеди росткунҷа
28 · 2/2. Ҳаҷми параллелепипеди дилхоҳ. Масъалаҳо
29 · 1/2. Ҳаҷми призмаи рост
29 · 2/2. Ҳаҷми призмаи дилхоҳ. Принсипи Кавалиерӣ
30 · 1/3. Ҳаҷми пирамида
30 · 2/3. Ҳаҷми тетраэдр, пирамидаи квадратӣ ва октаэдр
30 · 3/3. Масъалаҳо доир ба ҳаҷми пирамида
ту ин ҷоӣ31 · 1/2. Ҳаҷми пирамидаи сарбурида
31 · 2/2. Масъалаҳо доир ба пирамидаи сарбурида
Такрор ва санҷиш: ҳаҷми бисёррӯяҳо · 1/2. Кори санҷишӣ
Такрор ва санҷиш: ҳаҷми бисёррӯяҳо · 2/2. Кор бо хатоҳо

0 аз 9 дарс

0 аз 3 дарс

0 аз 5 дарс

марра!

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

дарс кушода мешавад…

31 · 1/2. Ҳаҷми пирамидаи сарбурида - Геометрия — синфи 11

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 11

4. Ҳаҷми бисёррӯяҳо

31 · 1/2. Ҳаҷми пирамидаи сарбурида

1 соат

Назария
Дарси 9 аз 12
Хониш: 7 дақиқа
Саволҳо: 5

Формулаи ҳаҷми пирамидаи сарбурида

Миёнаи геометрии ададҳои $S_1$ ва $S_2$ — $\sqrt{S_1S_2}.$

навбатӣ

31 · 2/2. Масъалаҳо доир ба пирамидаи сарбурида

1 соат

Дарси навбатӣ

Дарси пешина Ба харитаи курс

1

S2

.

Маълум: пирамидаи сарбурида, масоҳати асосҳо $S_1 > S_2,$ баландӣ $H$ (расми 1).

Матлуб: $V = \dfrac13 H(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2).$

Исбот.

Теорема исбот шуд. ∎

Пирамидаи сарбурида: S₂-ро ба 0 ва ба S₁ расонедсанҷида бин!

Мисоли 1. Асосҳои пирамидаи сарбурида квадратҳои тарафашон $8$ см ва $5$ см аст. Баландии он $6$ см. Ҳаҷмашро ёбед.

Ҳал. Асосҳо квадрат: $S_1 = 8^2 = 64$ см², $S_2 = 5^2 = 25$ см². Миёнаи геометрӣ $\sqrt{64 \cdot 25} = 40$ см². Мувофиқи теорема:

V = \frac13 \cdot 6 \cdot (64 + 40 + 25) = 2 \cdot 129 = 258 \text{ см}^3.

Ҷавоб: $258$ см³.

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Чоҳ шакли пирамидаи сарбуридаи квадратиро дорад, чуқуриаш $1{,}5$ м, тарафи асоси квадрати поёнааш $0{,}8$ м ва болояш $1{,}2$ м аст. Вай чанд литр обро ғунҷонида метавонад?

2. Теғаи паҳлуии пирамидаи сарбуридаи чоркунҷаи мунтазам $3$ м, тарафҳои асосҳо $5$ м ва $1$ м аст. Ҳаҷми пирамидаро ёбед.

3. Масоҳати асосҳои пирамидаи сарбурида $245$ м² ва $80$ м², баландии пирамидаи пурракардашуда $35$ м аст. Ҳаҷми пирамидаи сарбуридаро ёбед.

Дар хона

4. Баландии пирамидаи сарбурида $15$ м ва ҳаҷми он $475$ м³ аст. Масоҳати асосҳо ҳамчун $4 : 9$ нисбат доранд. Ин масоҳатҳоро ёбед.

5. Ҳаҷми пирамидаи сарбуридаи чоркунҷаи мунтазам $430$ м³, баландиаш $10$ м ва тарафи яке аз асосҳояш $8$ м аст. Тарафи асоси дигарашро ёбед.

Вазифаи хонагӣ

Машқҳои 4 ва 5. Исботи теоремаро дар дафтар нависед.

Дар ин дарс

Ман медонам формулаи ҳаҷми пирамидаи сарбурида $V = \dfrac13 H\,(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$ ва исботи онро.
Ман метавонам пирамидаи сарбуридаро то пирамидаи пурра давом диҳам ва монандии пирамидаҳоро истифода барам.
Ман метавонам ҳаҷми пирамидаи сарбуридаро аз асосҳо ва баландӣ ёбам.

Такрор (2 дақиқа)

Пирамидаи сарбурида чист? Асосҳои он чӣ гуна шаклҳоянд?
Нисбати масоҳати асосҳои пирамидаҳои монанд бо коэффитсиенти $k$ чист?
Формулаи ҳаҷми пирамидаро нависед.

Ҷавобҳо

қисми пирамида байни асос ва буриши ба он параллел; асосҳо монанданд; 2) $k^2;$ 3) $V = \dfrac13 SH.$

Вазъият барои андешаронӣ

Чоҳи шакли пирамидаи сарбурида аз боло васеътар аст. Агар ҳаҷми онро бо фарзияи «асоси миёна» $\left(\dfrac{S_1 + S_2}{2}\right)$ ёбем, натиҷа дуруст мешавад? Шумо тахмин кунед: ҳаҷм аз $S_1$ ва $S_2$ чӣ гуна вобаста аст?

Теорема

Ҳаҷми пирамидаи сарбурида ба сеяки зарби баландӣ бар ҳосили ҷамъи масоҳати асосҳо ва миёнаи геометрии онҳо баробар аст:

V = \frac13 H \left( S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2 \right).

Пирамидаи чоркунҷа, ки дар баландии H аз асос бо ҳамвории параллел бурида шудааст; буриш бо ранги зард ва S₂, асос S₁; баландӣ бо хати сурх (H) ва кабуд (L − H) нишон дода шудааст. — Расми 1. Пирамидаи сарбурида то пирамидаи пурра давом дода шудааст: баландии пирамидаи калон L, хурд L − H, асосҳо S₁ ва S₂.

Пирамидаи сарбуридаро то пирамидаи пурра давом медиҳем. Бигзор $L$ баландии пирамидаи калон бошад. Пас баландии пирамидаи хурди боло $L - H$ аст.
Пирамидаҳо монананд (буриши параллел). Масоҳатҳои асосҳо ба квадрати нисбати баландиҳо мансубанд: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{L^2}{(L - H)^2},$ яъне

худро санҷ1 хол

Асосҳои пирамидаи сарбурида — квадратҳои тарафашон $6$ см ва $4$ см, баландӣ $3$ см. Ҳаҷмашро ёбед (бо см³).

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Бассейни хурд шакли пирамидаи сарбуридаи квадратӣ дорад: чуқурӣ $1{,}2$ м, тарафи асоси боло $1{,}5$ м ва поён $0{,}5$ м. Он чанд литр об мегирад?

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Ҳаҷми пирамидаи сарбурида $56$ см³, баландиаш $6$ см, масоҳати асоси калон $16$ см². Масоҳати асоси хурдро ёбед (бо см²).

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Агар дар формулаи ҳаҷми пирамидаи сарбурида $S_2 = 0$ гузорем, формулаи ҳаҷми пирамида ҳосил мешавад.

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Қадамҳои исботи формулаи ҳаҷми пирамидаи сарбуридаро ба тартиб гузоред.

Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед

1

Пирамидаи боло ва пирамидаи калон монананд: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{L^2}{(L - H)^2}$

2

3

4

5

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

S1

=

(L−H)2L2,

\dfrac{L}{L - H} = \dfrac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}.

Аз ин:

L\sqrt{S_2} = (L - H)\sqrt{S_1},

пас

L = \dfrac{H\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}}

ва

L - H = \dfrac{H\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}}.

Ҳаҷми пирамидаи сарбурида — фарқи ҳаҷми ду пирамида:

V = \dfrac13 S_1 L - \dfrac13 S_2 (L - H).

Ифодаҳои

L

ва

L - H

-ро мегузорем, бо

x = \sqrt{S_1}

ва

y = \sqrt{S_2}

:

V = \frac13 \cdot \frac{H\,(x^3 - y^3)}{x - y} = \frac13 H\,(x^2 + xy + y^2) = \frac13 H\,(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2).

(L−H)2L2

Бо формулаи фарқи кубҳо $V = \dfrac13 H(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$ мегирем

Ифодаҳои $L$ ва $L - H$ -ро мегузорем: $V = \dfrac13 S_1L - \dfrac13 S_2(L - H)$ — фарқи ҳаҷмҳо

Аз ин $L$ ва $L - H$ -ро бо $H,$ $\sqrt{S_1}$ ва $\sqrt{S_2}$ ифода мекунем

Пирамидаи сарбуридаро то пирамидаи пурра давом медиҳем; баландии пирамидаи калон $L$

S2

HS1

−

S2

HS2

.