29 · 1/2. Ҳаҷми призмаи рост - Геометрия — синфи 11
Призмаи секунҷаи рост бо асоси росткунҷа
Аввал призмаи ростро дида мебароем, ки асосаш секунҷаи росткунҷа аст. Нишон медиҳем, ки ҳаҷми он ба ҳосили зарби масоҳати асос ба баландӣ баробар аст.
Призмаи A B C A 1 B 1 C 1 ABCA_1B_1C_1 A BC A 1 B 1 C 1 ∠ A = 90 ∘ . \angle A = 90^\circ.
навбатӣ 29 · 2/2. Ҳаҷми призмаи дилхоҳ. Принсипи Кавалиерӣ 1 соат
∠
A
=
9 0 ∘ .
Параллелепипеди ҳосилшуда ҳаҷмаш V 0 = ( 2 S A B C ) ⋅ H V_0 = (2S_{ABC}) \cdot H V 0 = ( 2 S A BC ) ⋅ H 2 S A B C 2S_{ABC} 2 S A BC C 1 C B C_1CB C 1 CB
V = 1 2 V 0 = 1 2 ⋅ ( 2 S A B C ⋅ H ) = S A B C ⋅ H . V = \frac12 V_0 = \frac12 \cdot (2S_{ABC} \cdot H) = S_{ABC} \cdot H. V = 2 1 V 0 = 2 1 ⋅ ( 2 S A BC ⋅ H ) = S A BC ⋅ H .
Теоремаи ҳаҷми призмаи рост Маълум: призмаи рост, масоҳати асос S , S, S , H . H. H .
Матлуб: V = S ⋅ H . V = S \cdot H. V = S ⋅ H .
Исбот. Аввал призмаи секунҷаи рост, баъд призмаи рости дилхоҳ.
Қуттиро бо ҳамвории BB₁D₁D нимкунед санҷида бин! Аз нав Мисоли 1. Дар призмаи рости A B C A 1 B 1 C 1 ABCA_1B_1C_1 A BC A 1 B 1 C 1 A B = 2 5 AB = 2\sqrt5 A B = 2 5 B C = 4 5 BC = 4\sqrt5 BC = 4 5 A A 1 = 10 AA_1 = 10 A A 1 = 10 ∠ A B C = 90 ∘ . \angle ABC = 90^\circ. ∠ A BC = 9 0 ∘ . B B 1 BB_1 B B 1 A C C 1 A 1 ACC_1A_1 A C C 1 A 1
Ҳал. Ҳаҷми тамоми призма:
V = S A B C ⋅ A A 1 = 1 2 ⋅ 2 5 ⋅ 4 5 ⋅ 10 = 200 см 3 . V = S_{ABC} \cdot AA_1 = \frac12 \cdot 2\sqrt5 \cdot 4\sqrt5 \cdot 10 = 200 \text{ см}^3. V = S A BC ⋅ A A 1 = 2 1 ⋅ 2 5 ⋅ 4 5 ⋅ 10 = 200 см 3 . Ҳамвории буранда ба A C C 1 A 1 ACC_1A_1 A C C 1 A 1 B B 1 BB_1 B B 1 B D ⊥ A C BD \perp AC B D ⊥ A C △ A B C . \triangle ABC. △ A BC . A C = 20 + 80 = 10 AC = \sqrt{20 + 80} = 10 A C = 20 + 80 = 10 A B 2 = A D ⋅ A C AB^2 = AD \cdot AC A B 2 = A D ⋅ A C A D = 20 10 = 2 AD = \dfrac{20}{10} = 2 A D = 10 20 = 2 D C = 8 DC = 8 D C = 8 B D 2 = A D ⋅ D C = 16 , BD^2 = AD \cdot DC = 16, B D 2 = A D ⋅ D C = 16 , B D = 4 BD = 4 B D = 4
Ҳаҷми қисми якум: V 1 = S A B D ⋅ A A 1 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 10 = 40 V_1 = S_{ABD} \cdot AA_1 = \dfrac12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 10 = 40 V 1 = S A B D ⋅ A A 1 = 2 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 10 = 40 V 2 = 200 − 40 = 160 V_2 = 200 - 40 = 160 V 2 = 200 − 40 = 160
Ҷавоб: 200 200 200 40 40 40 160 160 160
Кор дар синф
Машқҳо 1. Ҳаҷми призмаи рости A B C A 1 B 1 C 1 ABCA_1B_1C_1 A BC A 1 B 1 C 1 A B = 5 AB = 5 A B = 5 A C = 3 AC = 3 A C = 3 C B = 7 CB = 7 CB = 7 35 35 35
2. Тарафҳои асоси призмаи секунҷаи мунтазам ба a a a
3. Диагонали призмаи чоркунҷаи мунтазам 3,5 3{,}5 3 , 5 2,5 2{,}5 2 , 5
4. Ҳаҷми призмаи n n n a a a n = 3 ; n = 3; n = 3 ; n = 4 ; n = 4; n = 4 ; n = 6. n = 6. n = 6.
5. Баландии призмаи рости секунҷа 5 5 5 24 24 24 17 : 17 : 16 17 : 17 : 16 17 : 17 : 16
6. Масоҳати асоси призмаи рости секунҷа 4 4 4 9 9 9 10 10 10 17 17 17
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 5 ва 6. Исботи теоремаро дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам теоремаи ҳаҷми призмаи рост V = S ⋅ H V = S \cdot H V = S ⋅ H Ман метавонам призмаи секунҷаи ростро то параллелепипеди росткунҷа пурра кунам ва аддитивии ҳаҷмро истифода барам.Ман метавонам ҳаҷми призмаи мунтазамро ҳисоб кунам. Такрор (2 дақиқа)
Формулаи ҳаҷми параллелепипеди росткунҷаро нависед.
Масоҳати секунҷаи росткунҷа бо катетҳои a a a b b b
Кадом хосияти ҳаҷмро барои ҷудо кардани ҷисм ба қисмҳо истифода мебаранд?
Ҷавобҳо
V = a b c = S ⋅ H ; V = abc = S \cdot H; V = ab c = S ⋅ H ; a b 2 ; \dfrac{ab}{2}; 2 ab ; V = V 1 + V 2 . V = V_1 + V_2. V = V 1 + V 2 . Расми 1. Призмаи ABCA₁B₁C₁ бо кунҷи рост дар A то параллелепипеди росткунҷа пурра шудааст; ҳамвории C₁CB онро ба ду қисм ҷудо мекунад. Теорема Ҳаҷми призмаи рост ба ҳосили зарби масоҳати асос ба баландиаш баробар аст: V = S асос ⋅ H . V = S_{\text{асос}} \cdot H. V = S асос ⋅ H .
Бигзор A B C A 1 B 1 C 1 ABCA_1B_1C_1 A BC A 1 B 1 C 1 △ A B C \triangle ABC △ A BC
Расми 2. Призмаи секунҷаи рост: CD — баландии секунҷаи ABC, ҳамвории CC₁D призмаро ба ду призма ҷудо мекунад. Натиҷа Агар призмаи мунтазами n n n V = S асос ⋅ H . V = S_{\text{асос}} \cdot H. V = S асос ⋅ H .
Расми 3. Ҳамвории аз BB₁ гузаранда ба рӯяи ACC₁A₁ перпендикуляр аст; D — пояи баландии BD. Чаро дар ҳар секунҷа ақаллан як баландӣ дар дохили секунҷа мехобад?
Як ҷавобро интихоб кунед A Баландии ҳар секунҷа дар дохили он мехобад B Баландӣ ҳамеша ба медиана баробар аст C Ду кунҷи ба тарафи калонтарин ҳамсоя тезанд, пас пояи баландӣ дар худи тараф мебошад D Ҳар секунҷа росткунҷа аст
Ҳаҷми призмаи мунтазами шашкунҷа, ки ҳамаи теғаҳояш a a a
Як ҷавобро интихоб кунед A 6 a 3 6a^3 6 a 3
B 3 3 4 a 3 \dfrac{3\sqrt3}{4}a^3 4 3 3
C D Қадамҳои исботи теоремаи ҳаҷми призмаи секунҷаи ростро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Ҳамвории C C 1 D CC_1D C C 1 D
2 Барои ҳар кадом призмаи секунҷаи росткунҷа: V 1 = S A C D H , V_1 = S_{ACD}H, V 1 = S
3
4
C D
Ҳамвории C C 1 D CC_1D C C 1 D A C D ACD A C D D B C DBC D BC ∠ C D A = ∠ C D B = 90 ∘ \angle CDA = \angle CDB = 90^\circ ∠ C D A = ∠ C D B = 9 0 ∘ Ҳаҷмҳои онҳо аз қисми қаблӣ: V 1 = S A C D ⋅ H , V_1 = S_{ACD} \cdot H, V 1 = S A C D ⋅ H , V 2 = S D B C ⋅ H . V_2 = S_{DBC} \cdot H. V 2 = S D BC ⋅ H . Аддитивӣ: V = V 1 + V 2 = ( S A C D + S D B C ) H = S A B C ⋅ H . V = V_1 + V_2 = (S_{ACD} + S_{DBC})\,H = S_{ABC} \cdot H. V = V 1 + V 2 = ( S A C D + S D BC ) H = S A BC ⋅ H . Призмаи рости дилхоҳ: асосаш бисёркунҷа аст, онро бо диагоналҳо ба секунҷаҳо ҷудо мекунем (ҳар бисёркунҷаро бо диагоналҳояш ба секунҷаҳо ҷудо кардан мумкин аст). Ҳамвориҳои амудӣ аз ин диагоналҳо призмаро ба призмаҳои секунҷаи рост ҷудо мекунанд. Ҳаҷми ҳар кадом S i ⋅ H S_i \cdot H S i ⋅ H V = ( S 1 + S 2 + ⋯ + S k ) H = S ⋅ H . V = (S_1 + S_2 + \dots + S_k)\,H = S \cdot H. V = ( S 1 + S 2 + ⋯ + S k ) H = S ⋅ H .
a 3
3 4 a 3 \dfrac{\sqrt3}{4}a^3 4 3 a 3
3 3 2 a 3 \dfrac{3\sqrt3}{2}a^3 2 3 3 a 3
A C D
H
,
V 2 = S D B C H V_2 = S_{DBC}H V 2 = S D BC H Дар асос баландии C D CD C D
Аддитивӣ: V = V 1 + V 2 = ( S A C D + S D B C ) H = S A B C H V = V_1 + V_2 = (S_{ACD} + S_{DBC})H = S_{ABC}H V = V 1 + V 2 = ( S A C D + S D BC ) H = S A BC H
