4.13 · 2/4. Проексияи перпендикулярии фигура - Геометрия — синфи 10
Проексияи нуқта ва хати рост
Нуқтаи A A A α \alpha α A A A α \alpha α проексияи перпендикулярии (ортогоналии) нуқтаи A A A α \alpha α
Акнун хати рости a a a
навбатӣ 4.13 · 3/4. Масоҳати проексияи бисёркунҷа 1 соат
Маълум: хати рости a , a, a , α \alpha α Матлуб: проексияҳои ҳамаи нуқтаҳои a a a
Исбот. Агар a ⊂ α , a\subset\alpha, a ⊂ α , a a a a ⊄ α . a\not\subset\alpha. a ⊂ α .
Хулоса: проексияи a a a c . c. c .
Ду ҳолат аз ин бармеояд (расмҳои 1 ва 2):
a ∥ α a\parallel\alpha a ∥ α a a a c c c β \beta β c ∥ a . c\parallel a. c ∥ a . a a a α \alpha α O O O O ∈ c , O\in c, O ∈ c , O O O
Проексияи фигура Проексия аз худи фигура фарқ мекунад. Масалан, давра дар ҳамвории ба он перпендикуляр метавонад ба порча табдил ёбад (расми 3: квадрат, ки ба α \alpha α
Хосиятҳои проексия. Дар ҳамаи хосиятҳои зерин ҳамворӣ α \alpha α
Чаро? Хосияти 2: аз A A A A E ∥ A 1 B 1 AE\parallel A_1B_1 A E ∥ A 1 B 1 (E ∈ B B 1 E\in BB_1 E ∈ B B 1 A A 1 B 1 E AA_1B_1E A A 1 B 1 E A E = A 1 B 1 , AE=A_1B_1, A E = A 1 B 1 , A E ∥ α , AE\parallel\alpha, A E ∥ α , B E ⊥ A E , BE\perp AE, BE ⊥ A E , ∠ B A E = φ . \angle BAE=\varphi. ∠ B A E = φ . A B E ABE A BE A E = A B cos φ . AE=AB\cos\varphi. A E = A B cos φ .
Хосияти 3: хатҳои параллел a ∥ a ′ a\parallel a' a ∥ a ′ α \alpha α β \beta β β ′ \beta' β ′ β ∥ β ′ \beta\parallel\beta' β ∥ β ′ β = β ′ . \beta=\beta'. β = β ′ . c = α ∩ β c=\alpha\cap\beta c = α ∩ β c ′ = α ∩ β ′ c'=\alpha\cap\beta' c ′ = α ∩ β ′ хатҳои буриши ҳамвориҳои параллел ; дар ҳолати дуюм — як хат.
Хосияти 4: бисёркунҷаро ба секунҷаҳо тақсим мекунем; проексияи секунҷа ба секунҷа гузарад, агар ҳамвории он ба α \alpha α
Кор дар синф
Машқҳо 1. Дар куби A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA_1B_1C_1D_1 A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 C 1 , C_1, C 1 , A 1 C , A_1C, A 1 C , A 1 B 1 C 1 A_1B_1C_1 A 1 B 1 C 1 B B 1 BB_1 B B 1 A B C D ABCD A BC D
2. Пирамидаи мунтазами чоркунҷаи S A B C D SABCD S A BC D O O O S A , SA, S A , S B , SB, SB , S C , SC, SC , S D SD S D S A B SAB S A B
3. Порчаи 12 12 12 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
4. Проексияи секунҷа метавонад порча бошад? Дар кадом ҳолат?
5. Дарозии порча 10 10 10 6 6 6
6. Исбот кунед, ки проексияи миёнаҷойи порча миёнаҷойи проексияи порча аст (порча ба ҳамворӣ перпендикуляр нест).
Нишондод Аз охирҳо ва миёнаҷойи порча перпендикулярҳоро ба ҳамворӣ гузаронед: онҳо параллеланд ва дар як ҳамворӣ мехобанд. Теоремаи Фалесро истифода баред.
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4–6. Дар дафтар хосиятҳои 1–4-ро ба ёд оред ва барои ҳар хосият як мисоли худро дар куб кашед.
Дар ин дарс
Ман медонам проексияи перпендикулярии нуқта, хати рост ва фигура дар ҳамвориро.Ман метавонам исбот кунам, ки проексияи хати рост (на перпендикуляр ба ҳамворӣ) хати рост аст.Ман медонам , кадом хосиятҳои проексия дуруст ва кадом нодурустанд. Такрор (2 дақиқа)
Теоремаи «ду хати рост ба як ҳамворӣ перпендикуляр» чӣ мегӯяд?
Агар хати рост ба ҳамворӣ перпендикуляр бошад, хати рости ба он параллел чӣ гуна аст?
Проексияи моил дар ҳамворӣ чист?
Ҷавобҳо
онҳо параллеланд; 2) он низ ба ҳамворӣ перпендикуляр аст; 3) порчаи байни асоси моил ва асоси перпендикуляри аз охири дигари моил фурорамада.
Теорема Проексияи хати рости ба ҳамворӣ перпендикулярнабуда дар ин ҳамворӣ хати рост аст.
Нуқтаи A ∈ a , A\in a, A ∈ a , A ∉ α A\notin\alpha A ∈ / α A A 1 AA_1 A A 1
Расми 1. Хати рости a параллел ба α аст: проексияи он — хати рости b ба a параллел. Расми 2. Хати рости a ҳамвории α-ро дар нуқтаи O мебурад. Ҳамаи перпендикулярҳо дар ҳамвории β мехобанд; проексия — хати рости c = α ∩ β. Эзоҳ
Агар хати рост ба ҳамворӣ перпендикуляр бошад, проексияи он нуқта аст (нуқтаи буриши хат бо ҳамворӣ).
Проексияи хати рост дар ҳамворӣ — ҳамон проексияи моил аст, ки дар 4.12 · 3/4 дидем; кунҷи байни хат ва ҳамворӣ — кунҷи байни хат ва проексияи он.
Таъриф Проексияи перпендикулярии (ортогоналии) фигура дар ҳамворӣ — фигураест, ки ҳар нуқтаи он проексияи ягон нуқтаи фигураи додашуда аст.
Расми 3. Квадрати моил ба росткунҷа проексия мешавад (сабз, дар α). Квадрати ба α перпендикуляр ба порча проексия мешавад. Хосиятҳо
Проексияи порча — порча ; агар порча ба ҳамворӣ перпендикуляр бошад, проексияаш нуқта аст.
Дарозии проексия: A 1 B 1 = A B cos φ , A_1B_1=AB\cos\varphi, A 1 B 1 = A B cos φ , φ \varphi φ проексия аз порча дарозтар нест. Порчаҳои баробар ва
Порчаҳои баробар ҳамеша проексияҳои баробар доранд.
Квадрати A B C D ABCD A BC D A B AB A B α \alpha α α \alpha α α \alpha α
Як ҷавобро интихоб кунед A секунҷа B порча C квадрати баробар ба A B C D ABCD A BC D
D росткунҷа бо тарафи
Оё проексияи порча метавонад аз худи порча дарозтар бошад?
Як ҷавобро интихоб кунед A Ҳа, агар порча ба ҳамворӣ параллел бошад B Не: A 1 B 1 = A B cos φ ≤ A B A_1B_1=AB\cos\varphi\le AB A 1 B 1 = A B cos φ ≤ A B
C Ҳа, агар порча ба ҳамворӣ перпендикуляр бошад D Ҳа, агар кунҷи порча бо ҳамворӣ аз 45 ∘ 45^\circ
Фигураи додашударо бо проексияи имконпазири он дар ҳамворӣ мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед Хати рост, ки ба ҳамворӣ перпендикуляр аст → … секунҷа хати рост давра нуқта порча
Хати рост, ки ба ҳамворӣ моил аст → … секунҷа хати рост давра нуқта порча
Давра, ки дар ҳамвории ба α \alpha α
→ … секунҷа хати рост давра нуқта порча Секунҷа дар ҳамвории моил → … секунҷа хати рост давра нуқта порча
α \alpha α
c = α ∩ β c=\alpha\cap\beta c = α ∩ β Нуқтаи дилхоҳи X ∈ a X\in a X ∈ a β \beta β X X X A A 1 AA_1 A A 1 α \alpha α хатҳои параллел ва перпендикулярӣ — пас ин перпендикуляри аз X X X α \alpha α X 1 X_1 X 1 β \beta β α \alpha α c c c проексияи ҳар нуқтаи a a a c c c Баръакс, Y Y Y c . c. c . β \beta β Y Y Y A A 1 AA_1 A A 1 a a a X X X a ∦ A A 1 a\nparallel AA_1 a ∦ A A 1 α \alpha α Y Y Y X . X. X . ҳар нуқтаи c c c a a a параллел
Проексияи ду хати параллел (ба ҳамворӣ перпендикулярнабуда) — ду хати параллел ё як хат.
Проексияи бисёркунҷа — бисёркунҷа, агар ҳамвории он ба ҳамвории проексия перпендикуляр набошад; вагарна — порча.
4
5 ∘
