4.12 · 1/4. Кунҷи байни хатҳои рост. Кунҷҳои бо тарафҳои параллел - Геометрия — синфи 10
Кунҷи байни хатҳои буранда
Ду хати рост ҳамдигарро мебуранд — чор кунҷ ҳосил мешавад. Кунҷҳои амудӣ баробаранд, ҳамсояҳо то 180∘ пурра мекунанд.
Агар хатҳо перпендикуляр бошанд, кунҷи байни онҳо 90∘ аст. Барои хатҳои параллел кунҷ ба 0∘ баробар ҳисоб карда мешавад. Пас кунҷи байни ду хати рости ҳамвор — ченак (адад) аст, на фигура, ва он дар байни ва мехобад. Хатҳо метавонанд ҳамвор набошанд (чиликӣ) — онро дар дарси оянда мебинем. Барои ин ба мо як теорема лозим аст.
навбатӣ4.12 · 2/4. Кунҷи байни хатҳои рости чиликӣ
1 соат
0∘
Лемма дар бораи се параллелограмм
Исбот. ABCD параллелограмм: CD=AB ва CD∥AB. ABKM параллелограмм: MK=AB ва MK∥AB. Пас MK=CD. Дар ҳамин ҳол MK ва CD ҳарду ба AB параллеланд, пас MK∥CD (аломати параллелии хатҳои рост дар фазо). Дар чоркунҷаи CDMK ду тарафи муқобил параллел ва баробаранд — пас вай параллелограмм аст. ∎
Кунҷҳо бо тарафҳои параллел
Маълум: a∩b=A, a1∩b1=A1, a∥a1, b∥b1. Исбот кардан лозим: ∠(a,b)=∠(a1,b1).
Агар хатҳо дар як ҳамворӣ бошанд, ин аз планиметрия маълум аст. Бигзор онҳо дар ҳамвориҳои гуногун бошанд.
Мисоли 1
Ҳал. Мувофиқи теорема кунҷҳои байни хатҳои AC, CB ва A1C1, C1B1 баробаранд. Дар △A1B1C1 мувофиқи теоремаи косинусҳо:
A1B12=A1
Қиматҳоро мегузорем: 137=32+49−2⋅42⋅7 яъне 562cosC1=−56 ва
cosC1=−2
Кунҷи секунҷаи A1B1C1 дар C1 ба 135∘ баробар аст. Кунҷи байни хатҳои AC ва CB — 45∘ (кунҷи хурдтар аз ду кунҷи ҳамсоя: 180∘−135∘=45∘). Кунҷи секунҷа ACB=135∘ ва кунҷи байни хатҳо 45∘ — ду чизи гуногунанд.
Ҷавоб: кунҷи секунҷа ∠ACB=135∘; кунҷи байни хатҳои AC ва CB — 45∘.
Кор дар синф
Машқҳо
1. Дар куби ABCDA1B1C1D1 кунҷи байни хатҳои рости ҳамдигарро буранда ёбед: 1) AC ва AB; 2) AB1 ва AD1.
2. Тарафҳои секунҷаи ABC ба тарафҳои секунҷаи A1B1C1 ҷуфт-ҷуфт параллеланд. A1B1=5, B1C1=8, A1C1=7. Кунҷи байни хатҳои рости AB ва BC-ро ёбед.
3. Кунҷҳои ABC ва A1B1C1 дар ҳамвориҳои гуногун ҷойгиранд ва тарафҳои онҳо ҷуфт-ҷуфт параллеланд. ∠ABC=130∘. Кунҷи байни хатҳои рости A1B1 ва B1C1-ро ёбед.
4. Тарафҳои секунҷаи ABC ба тарафҳои секунҷаи A1B1C1 ҷуфт-ҷуфт параллеланд. A1B1=3, B1C1=5, A1C1=7. Кунҷи секунҷаи A1B1C1 дар қуллаи B1-ро ва кунҷи байни хатҳои A1B1 ва B1C1-ро ёбед.
5. Дар куби ABCDA1B1C1D1 аз қуллаи A се диагонали рӯя мегузарад: AB1, AC, AD1. Кунҷи байни ҳар ду диагоналро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки кунҷи байни ду хати рости буранда чист: ченаке аз 0∘ то 90∘, на фигура.
- Ман метавонам лемма дар бораи се параллелограмм ва теоремаи «кунҷҳо бо тарафҳои параллел»-ро исбот кунам.
- Ман метавонам кунҷи байни хатҳои ба тарафҳои секунҷа параллелро бо теоремаи косинусҳо ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Ду хати рост ҳамдигарро мебуранд. Чанд кунҷ ҳосил мешавад? Кунҷҳои амудӣ ва ҳамсоя чӣ гуна аст?
- Тарафҳои муқобили параллелограмм чӣ гуна аст? Чоркунҷаро кай параллелограмм меноманд?
- Теоремаи косинусҳоро баён кунед.
Ҷавобҳо
- Чор кунҷ; кунҷҳои амудӣ баробаранд, ҳамсояҳо то 180∘ пурра мекунанд. 2) Параллел ва баробар; чоркунҷа параллелограмм аст, агар ду тарафи муқобилаш параллел ва баробар бошанд. 3) c2=a2+b2−2abcosγ.
Вазъият барои андешаронӣДу роҳи рост ба ҳамдигар чуқур наздик мешаванд — дар чорроҳа ҳамдигарро мебуранд. Вале ду кабели барқ, ки яке болотар аз дигаре мегузарад, ҳамдигарро намебуранд. Оё дар бораи «кунҷи байни онҳо» гап задан мумкин аст? Ва чӣ тавр?
ТаърифКунҷи байни ду хати рости буранда — ченаки кунҷии хурдтарини кунҷҳое, ки ҳангоми буриш ҳосил мешаванд.
Расми 1. Хатҳои a ва b ҳамдигарро мебуранд: кунҷи байни онҳо — φ, кунҷи хурдтар (дигар кунҷ 180° − φ).ЛеммаАгар ABCD ва ABKM параллелограммҳои дар як ҳамворӣ ҷойгирнабуда бошанд, пас CDMK низ параллелограмм аст.
Расми 2. ABCD ва ABKM — параллелограммҳо дар ҳамвориҳои гуногун; CDMK низ параллелограмм аст.Кунҷҳо бо тарафҳои параллелАгар ду хати рости ҳамдигарро буранда ба ду хати рости ҳамдигарро бурандаи дигар параллел бошанд, кунҷҳои байни онҳо баробаранд.
Расми 3. a ∥ a₁, b ∥ b₁; AA₁B₁B ва AA₁C₁C — параллелограммҳо.Исбот
- Хати рости AA1-ро мегузаронем. Дар a нуқтаи B ва дар b нуқтаи C-ро мегирем ва аз онҳо хатҳои ба параллелро мегузаронем; онҳо ва -ро дар ва мебуранд.
Мисоли 1Тарафҳои секунҷаи ABC ба тарафҳои секунҷаи A1B1C ҷуфт-ҷуфт параллеланд. Тарафҳои секунҷаи дода шудаанд: см, см, см. Кунҷи -ро (кунҷи байни тарафҳои ва ) ёбед.
Расми 4. Секунҷаҳои ABC ва A₁B₁C₁ бо тарафҳои параллел; тарафҳои A₁B₁C₁ нишон дода шудаанд.Кунҷи байни ду хати рости буранда метавонад 120∘ бошад.
Ду хати рост ҳамдигарро мебуранд ва яке аз кунҷҳои ҳосилшуда 130∘ аст. Кунҷи байни хатҳо чӣ қадар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Қадамҳои исботи леммаро ба тартиб гузоред: ABCD ва ABKM — параллелограммҳо дар ҳамвориҳои гуногун; исбот: CDMK — параллелограмм.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1Пас MK=CD ва (аломати параллелии хатҳои рост дар фазо)
2
3
Вазъиятро бо кунҷи байни хатҳо ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедхатҳо параллеланд→
хатҳо перпендикуляранд→
кунҷҳои ҳосилшуда 120∘ ва 60∘
→
C12
+
B1C12−
2A1C1⋅
B1C1cosC1.
cos
C1
,
1
=
135∘.
AA1
AA1B1B ва AA1C1C — параллелограммҳо (тарафҳои муқобилашон параллеланд). Пас AB=A1B1, AC=A1C1. Параллелограммҳои AA1B1B ва AA1C1C дар як ҳамворӣ нестанд ва тарафи умумии AA1 доранд. Мувофиқи лемма BCC1B1 — параллелограмм, пас BC=B1C1. Секунҷаҳои ABC ва A1B1C1 бо се тараф баробаранд (AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1), пас ∠BAC=∠B1A1C1. Агар нуқтаҳои B ва C-ро дар нимхатҳои дигар гирем, кунҷҳо ё амудӣ, ё ҳамсоя мешаванд — кунҷи хурдтарин ҳамон мемонад. Пас ∠(a,b)=∠(a1,b1). 1
A1C1=42 A1B1=137 A1B1=8,
B1C1=15, A1C1=17. ∘
MK∥CD
Аз параллелограммҳо: CD=AB, MK=AB ва CD∥AB, MK∥AB
Дар CDMK ду тарафи муқобил баробар ва параллеланд, пас CDMK — параллелограмм