Маълум:α ва β дар c мебуранд; γ⊥c ва γ′⊥c;γ ҳамвориҳоро аз рӯйи a,b,γ′ — аз рӯйи a′,b′ мебурад. Матлуб:∠(a,b)=∠(a′,b′).
Исбот.
Теорема исбот шуд. ∎
Кунҷи байни ҳамвориҳо, мисли кунҷи байни хатҳои рост, ченаки кунҷӣ аст — адад аз 0∘ то 90∘, на фигура.
Ду роҳи сохтани кунҷ
Роҳи 1. Дар хати рости c нуқтаи C-ро мегирем. Дар ҳамвории α хати рости a⊥c ва дар ҳамвории β хати рости b⊥c-ро аз C мегузаронем. Ҳамвории аз a ва b гузаранда ба c перпендикуляр аст — аломати перпендикулярии хати рост ва ҳамворӣ. Пас ин ҳамон γ аст ва ∠(a,b) — кунҷи матлуб.
Роҳи 2 (аксар вақт қулай аст). Нуқтаи A∈α,A∈/c-ро мегирем. Аз он ба c перпендикуляри AB ва ба ҳамвории β перпендикуляри AA1-ро мегузаронем. Он гоҳ ∠ABA1 — кунҷи байни α ва β.
Чаро? Мувофиқи шарт AB⊥c. Мувофиқи теоремаи се перпендикуляр (AA1⊥β,AB — моил, c⊂β) проексияи A1B низ ба c перпендикуляр аст. Хати c ба ду хати буранда BA ва BA1 перпендикуляр аст, пас ҳамвории ABA1 ба c перпендикуляр аст. Ин ҳамвории γ аст: он α-ро аз рӯйи BA,β-ро аз рӯйи BA1 мебурад. Секунҷаи AA1B дар A1 росткунҷа аст, пас ∠ABA1 тез аст ва ба кунҷи байни хатҳои BA ва BA1 баробар аст. Агар A1=B шавад (AB⊥β), ҳамвориҳо перпендикуляранд: φ=90∘.
Кунҷи байни ҳамвориҳосанҷида бин!
Мисолҳо
Мисоли 1. Секунҷаи баробартарафи ABC бо тарафи 8 см дода шудааст. Аз нуқтаи D-и берун аз ҳамвории секунҷа ба маркази E-и секунҷа перпендикуляри DE фуроварда шудааст, DE=4 см. Кунҷи байни ҳамвориҳои секунҷаҳои ABC ва ABD-ро ёбед.
Ҳал. Ҳамвориҳои ABC ва ABD дар хати AB мебуранд. Роҳи 2-ро истифода мебарем (A→D, проексияи D — нуқтаи E).
Пас φ=60∘.Ҷавоб:60∘.
Мисоли 2. Тарафи ромби ABCD ба 6 см ва кунҷи A ба 60∘ баробар аст. Аз B ба ҳамвории ромб перпендикуляри BE=33 см гузаронида шудааст. Кунҷи байни ҳамвориҳои ABC ва AED-ро ёбед.
Ҳал. Ҳамвориҳо дар хати AD мебуранд. Аз B ба AD перпендикуляри BF-ро мегузаронем.
Ҷавоб:45∘.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ду секунҷаи баробарпаҳлу асоси умумӣ доранд. Ҳамвориҳои онҳо байни худ кунҷи 60∘-ро ташкил медиҳанд. Асоси умумӣ ба 16 м, тарафи паҳлуии яке аз секунҷаҳо ба 17 м баробар аст. Тарафҳои паҳлуии секунҷаи дигар перпендикуляранд. Масофаи байни қуллаҳои секунҷаҳоро ёбед.
Нишондод
Баландиҳои секунҷаҳо ба асос аз як нуқта — миёнаҷойи асос — мебароянд. Кунҷи байни онҳо чӣ қадар аст? Секунҷа бо ду тарафи ёфташуда ва кунҷи байнашон дошта, тарафи сеюмро аз теоремаи косинусҳо ёбед.
2. Ду ҳамворӣ ҳамдигарро дар зери кунҷи 30∘ мебуранд. Нуқтаи A, ки дар яке аз ин ҳамвориҳо ҷойгир аст, аз ҳамвории дигар дар масофаи d мебошад. Масофаро аз ин нуқта то хати рости буриши ҳамвориҳо ёбед.
Дар хона
3. Секунҷаҳои баробарпаҳлуи ABC ва ABD бо асоси умумии AB дар ҳамвориҳои гуногун ҷойгиранд ва кунҷи байни ин ҳамвориҳо ба φ баробар аст. Кунҷи φ-ро ёбед, агар AB=24 м, AC=65 м, AD=20 м ва CD=63 м бошад.
Нишондод
Аз миёнаҷойи M-и порчаи AB ба CM ва DM нигаред: чӣ гуна онҳо ба AB мебароянд? Дарозиҳои онҳоро аз теоремаи Пифагор ёбед, баъд аз секунҷаи CMD теоремаи косинусҳоро истифода баред. Ҷавоб бо калкулятор: φ-ро бо градус нависед.
4. Кунҷи байни ҳамвориҳоро ёбед, агар нуқтаи дар яке аз онҳо гирифташуда аз хати рости буриши онҳо дар масофаи аз ҳамвории дигар 2 маротиба зиёд ҷойгир бошад.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3 ва 4. Дар дафтар мисоли 1-ро барои секунҷаи баробартарафи тарафаш 6 см ва DE=3 см аз нав ҳал кунед.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи кунҷи байни ду ҳамвории ҳамдигарро буранда ва чаро он аз интихоби ҳамвории бурандаи γ вобаста нест.
Ман метавонам кунҷи байни ҳамвориҳоро бо ду роҳ созам.
