7. Системаи муодилаҳои ирратсионалӣ - Алгебра — синфи 10
Дар хотир доред
Пеш аз ҳалли системаи муодилаҳои ирратсионалӣ чанд мафҳумро хотиррасон мекунем:
Агар ёфтани маҷмӯи ҳалли ду ё зиёда муодила лозим бошад, мегӯянд, ки системаро ҳал кардан лозим аст.
Шумораи тағйирёбандаҳо метавонад ба шумораи муодилаҳо баробар бошад ва метавонад баробар набошад.
Системаро ҳамҷоя меноманд, агар он ақаллан як ҳал дошта бошад, ва ғайриҳамҷоя , агар ягон ҳал надошта бошад.
Системаро ҳал кардан — ёфтани ҳамаи ҳалҳои он.
Системаро муайян меноманд, агар шумораи ҳалҳояш охирнок бошад.
Ду система баробарқувва номида мешавад, агар онҳо маҷмӯи ҳалҳои якхела дошта бошанд.
Системаҳои ирратсионалиро одатан ба системаи алгебравии баробарқувва мерасонанд: гузориш (тағйирёбандаи нав), ба квадрат бардоштан, ба ду система ҷудо кардан; бегонаҳоро санҷиш мепартояд.
Мисолҳо
Мисоли 1. Системаи
{ x + y = 3 , x + y − x y = 3 \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ x + y - \sqrt{xy} = 3 \end{cases} { x
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фаслҳои 1–7 · 1/3. Дараҷа, реша ва муодилаҳои ирратсионалӣ 1 соат
+
=
3
,
Муодилаи дуюмро табдил медиҳем: x + y − x y = ( x + y + 2 x y ) − 3 x y = ( x + y ) 2 − 3 x y . x + y - \sqrt{xy} = (x + y + 2\sqrt{xy}) - 3\sqrt{xy} = \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)^2 - 3\sqrt{xy}. x + y − x y = ( x + y + 2 x y ) − 3 x y = ( x + y ) 3 x y . x + y = 3 , \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, x + y 9 − 3 x y = 3 , 9 - 3\sqrt{xy} = 3, 9 − 3 x y = 3 , x y = 2. \sqrt{xy} = 2. x y = 2. { x + y = 3 , x y = 2. \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 2. \end{cases} { x + y x \sqrt{x} x y \sqrt{y} y m 2 − 3 m + 2 = 0 m^2 - 3m + 2 = 0 m 2 − 3 m + 2 = 0 m 1 = 2 , m_1 = 2, m 1 = 2 , m 2 = 1. m_2 = 1. m 2 = 1. x = 2 , \sqrt{x} = 2, x = 2 , x = 4 , x = 4, x = 4 , y = 1 , \sqrt{y} = 1, y = 1 , y = 1 , y = 1, y = 1 ,
Санҷиш: 4 + 1 = 3 , \sqrt{4} + \sqrt{1} = 3, 4 + 1 = 3 , 4 + 1 − 4 = 3. 4 + 1 - \sqrt{4} = 3. 4 + 1 − 4 = 3. Ҷавоб: ( 4 ; 1 ) , (4;\ 1), ( 4 ; 1 ) , ( 1 ; 4 ) . (1;\ 4). ( 1 ; 4 ) .
Мисоли 2. Системаи
{ x + y x − y + 3 x − y x + y = 4 , x 2 + 4 x + y 2 − 3 y = 0 \begin{cases} \sqrt{\dfrac{x + y}{x - y}} + 3\sqrt{\dfrac{x - y}{x + y}} = 4, \\ x^2 + 4x + y^2 - 3y = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x − y x + y + 3 x x 2 + 4 x + y 2 − 3 y = 0
Гузориш: x + y x − y = t , \sqrt{\dfrac{x + y}{x - y}} = t, x − y x + y = t , x − y x + y = 1 t \sqrt{\dfrac{x - y}{x + y}} = \dfrac{1}{t} x + y x − y = (t > 0 t > 0 t > 0 Муодилаи якум: t + 3 t = 4 , t + \dfrac{3}{t} = 4, t + t 3 = 4 , t 2 − 4 t + 3 = 0 , t^2 - 4t + 3 = 0, t 2 − 4 t + 3 = 0 , t 1 = 1 , t_1 = 1, t 1 = 1 , t 2 = 3 t_2 = 3 t 2 = 3
Система ба ду система ҷудо мешавад:
t = 1 t = 1 t = 1 x + y x − y = 1 , \dfrac{x + y}{x - y} = 1, x − y x + y = 1 , y = 0 y = 0 y = 0 (x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 Муодилаи дуюм: x 2 + 4 x = 0 , x^2 + 4x = 0, x 2 + 4 x = 0 , x = 0 x = 0 x = 0 x = − 4. x = -4. x = − 4. x = 0 x = 0 x = 0 x − y = 0 x - y = 0 x − y = 0 ( − 4 ; 0 ) . (-4;\ 0). ( − 4 ; 0 ) . t = 3 t = 3 t = 3 x + y x − y = 9 , \dfrac{x + y}{x - y} = 9, x − y x + y = 9 , x + y = 9 x − 9 y , x + y = 9x - 9y, Санҷиш барои t = 3 t = 3 t = 3 x + y x − y = − 72 − 8 = 9 , \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{-72}{-8} = 9, x − y x + y = − 8 − 72 = 9 , 3 , 3, 3 , 3 + 3 3 = 4 3 + \dfrac{3}{3} = 4 3 + 3 3 = 4 Ҷавоб: ( − 4 ; 0 ) , (-4;\ 0), ( − 4 ; 0 ) , ( − 40 41 ; − 32 41 ) . \left(-\dfrac{40}{41};\ -\dfrac{32}{41}\right). ( − 41 40 ; − 41 32 ) .
Кор дар синф
Машқҳо Машқи 1-ро дар синф ҳал мекунем (омӯзгор 3 3 3 4 4 4
Дар синф 1. Системаҳои муодилаҳои ирратсионалиро ҳал кунед:
{ x + y + x − y 3 = 6 , ( x + y ) 3 ( x − y ) 2 6 = 8 ; \begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt[3]{x - y} = 6, \\ \sqrt[6]{(x + y)^3(x - y)^2} = 8; \end{cases} { x + y + 3 x − y = 6 , 6 ( x + y ) 3 ( x − y ) 2 = 8 ;
{ 7 x − 7 − 4 y + 6 = 5 3 , 5 x − 7 + 3 y + 6 = 13 6 ; \begin{cases} \dfrac{7}{\sqrt{x - 7}} - \dfrac{4}{\sqrt{y + 6}} = \dfrac{5}{3}, \\ \dfrac{5}{\sqrt{x - 7}} + \dfrac{3}{\sqrt{y + 6}} = \dfrac{13}{6}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
{ y = 1 x , y = − 1 4 x + 1 ; \begin{cases} \sqrt{y} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}, \\ y = -\dfrac{1}{4}x + 1; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
{ x 3 − y 3 = 2 , x y = 27. \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27. \end{cases} { 3 x −
Дар хона 2. Системаҳоро ҳал кунед (давоми машқи 1):
{ x − y = 2 x y , x + y = 20 ; \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy}, \\ x + y = 20; \end{cases} { x − y = 2 x y , x + y = 20 ;
{ x y + y x = 2,5 , x + y = 10 ; \begin{cases} \sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{\dfrac{y}{x}} = 2{,}5, \\ x + y = 10; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
{ x + y − x y = 7 , x 2 + y 2 + x y = 133. \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 7, \\ x^2 + y^2 + xy = 133. \end{cases} { x + y − x y
3. Аъзои панҷуми прогрессияи геометрии ( c n ) (c_n) ( c n ) c 1 = 3 3 , c_1 = 3\sqrt{3}, c 1 = 3 3 , q = 1 3 q = \dfrac{1}{\sqrt{3}} q = 3 1
( 1 + a a 2 − b 2 ) : ( 1 − a a 2 − b 2 ) ; \left(1 + \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}\right) : \left(1 - \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}\right); ( 1 + a 2 − b 2 a ) : ( 1 − a 2 − b 2 a
( 3 1 + x + 1 − x ) : ( 3 1 − x + 1 + x ) ; \left(\dfrac{3}{\sqrt{1 + x}} + \sqrt{1 - x}\right) : \left(\dfrac{3}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{1 + x}\right); ( 1 + x
( a + a b 2 + c a b 2 + c ) : ( b a + b a b 2 + c ) ; \left(\sqrt{a} + \dfrac{ab^2 + c}{\sqrt{ab^2 + c}}\right) : \left(b\sqrt{a} + b\sqrt{ab^2 + c}\right); ( a +
( a b − a b a + a b ) : a b 4 − b a − b . \left(\sqrt{ab} - \dfrac{ab}{a + \sqrt{ab}}\right) : \dfrac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}}{a - b}. ( ab − a +
★ Барои ҳавасмандон 5. Системаҳоро ҳал кунед:
{ x + y = a x y , x − y = b x y ; \begin{cases} x + y = a\sqrt{xy}, \\ x - y = b\sqrt{\dfrac{x}{y}}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + y = a x y , x − y = b y x ;
{ x + y = 72 , x 3 + y 3 = 6 ; \begin{cases} x + y = 72, \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6; \end{cases} { x + y = 72 , 3 x
{ x y + y x = 7 x y + 1 , x 3 y + y 3 x = 78 ; \begin{cases} \sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{\dfrac{y}{x}} = \dfrac{7}{\sqrt{xy}} + 1, \\ \sqrt{x^3y} + \sqrt{y^3x} = 78; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
{ x − y = a ( a > 0 ) , x y = b ; \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = a \quad (a > 0), \\ \sqrt{xy} = b; \end{cases} { x −
{ x + 3 y + 1 = 2 , 2 x − y + 2 = 7 y − 6. \begin{cases} \sqrt{x + 3y + 1} = 2, \\ \sqrt{2x - y + 2} = 7y - 6. \end{cases} { x + 3 y + 1
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 2–4 ва ★ 5.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 7. Системаи муодилаҳои ирратсионалӣ».
Хулоса
Системаи ирратсионалиро бо тағйирёбандаи нав (x = u , \sqrt{x} = u, x = u , y = v \sqrt{y} = v y = v
Агар сумма ва ҳосили зарби ду адад маълум бошад, онҳо решаҳои муодилаи квадратии Виетанд.
Решаҳои бегона ҳангоми ба квадрат бардоштан ва ҷудо кардан ба системаҳо пайдо мешаванд: ҳамеша ҳалро ба системаи додашуда гузошта санҷед ва шартҳоро (x ≥ 0 , x \ge 0, x ≥ 0 , y ≥ 0 , y \ge 0, y ≥ 0 , ≠ 0 \ne 0 = 0
Дар ин дарс
Ман медонам мафҳумҳои асосии система: ҳал, ҳамҷоя ва ғайриҳамҷоя, муайян, системаҳои баробарқувва.Ман метавонам системаи муодилаҳои ирратсионалиро бо тағйирёбандаи нав ва формулаи Виет ҳал кунам.Ман метавонам ҳалҳои бегонаро муайян ва партоям. Такрор (2 дақиқа)
Агар m + n = 5 m + n = 5 m + n = 5 m n = 6 mn = 6 mn = 6 m m m n n n
( x + y ) 2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 ( x + y ) Системаи { x + y = 3 , x y = 2 \begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2 \end{cases} { x + y = 3 , x y = 2
Ҷавобҳо
Решаҳои t 2 − 5 t + 6 = 0 t^2 - 5t + 6 = 0 t 2 − 5 t + 6 = 0 2 2 2 3. 3. 3. x + 2 x y + y . x + 2\sqrt{xy} + y. x
Вазъият барои андешаронӣ Системаи x + y = 3 , \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, x + y = 3 , x + y − x y = 3 x + y - \sqrt{xy} = 3 x + y − x y = 3 x \sqrt{x} x y \sqrt{y} y
Калимаҳои калидӣ система ҳамҷоя ва ғайриҳамҷоя муайян баробарқувва теоремаи Виет
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ шарҳ диҳам, ки системаро ҳал кардан чӣ маъно дорад;
✓ / ✗ дар система x + y \sqrt{x} + \sqrt{y} x + y
Системаи { x + y = − 2 , x y = 4 \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = -2, \\ xy = 4 \end{cases} { x + y
Кадом ҷуфт ҳалли системаи { x + y = 5 , x y = 6 \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{xy} = 6 \end{cases} { x + y
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Қадамҳои ҳалли системаи x + y = 4 , \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, x + y
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Санҷиш ва ҷавоб
2
3
4
5
2
−
=
3 ,
=
3
,
+
y
x − y
=
4
,
t 1
x + y = 9 x − 9 y ,
y = 4 5 x . y = \dfrac{4}{5}x. y = 5 4 x . x 2 + 4 x + 16 25 x 2 − 12 5 x = 0 , x^2 + 4x + \dfrac{16}{25}x^2 - \dfrac{12}{5}x = 0, x 2 + 4 x + 25 16 x 2 − 5 12 x = 0 , x ( 41 25 x + 8 5 ) = 0. x\left(\dfrac{41}{25}x + \dfrac{8}{5}\right) = 0. x ( 25 41 x + 5 8 ) = 0. x = − 40 41 , x = -\dfrac{40}{41}, x = − 41 40 , y = − 32 41 . y = -\dfrac{32}{41}. y = − 41 32 .
x − 7 7 − y + 6 4 = 3 5 , x − 7 5 + y + 6
y
=
,
y = − 4 1 x + 1 ;
3
=
2
,
x y = 27.
y x
+
=
2
,
5
,
x + y = 10 ;
=
7
,
x 2 + y 2 + x y = 133.
)
;
3
+
)
:
a b 2 + c
a b 2 + c
)
:
ab
)
:
+
=
6
;
y
=
a
(
a
>
0
)
,
=
2
,
2
+
y .
✓ / ✗ ҳалли бегонаро ёбам ва пас гузорам.
=
5 ,
x − y = 1 \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 x − y = 1
=
−
2
,
x y = 4
=
5
,
=
4 ,
x y = 3 \sqrt{xy} = 3 x y = 3 Гузориш: u = x , u = \sqrt{x}, u = x , v = y ; v = \sqrt{y}; v = y ; u + v = 4 , u + v = 4, u + v = 4 , u v = 3 uv = 3 uv = 3
Пас ( x ; y ) = ( 1 ; 9 ) (x;\ y) = (1;\ 9) ( x ; y ) = ( 1 ; 9 ) ( 9 ; 1 ) (9;\ 1) ( 9 ; 1 )
u u u v v v m 2 − 4 m + 3 = 0 m^2 - 4m + 3 = 0 m 2 − 4 m + 3 = 0
m = 1 m = 1 m = 1 m = 3 m = 3 m = 3
3
=
6 13
;