3. Решаи дараҷаи n-ум ва хосиятҳои он - Алгебра — синфи 10
Решаи дараҷаи n n n
Ҷамъ ва тарҳ амалҳои ба ҳам баръакс (чаппа) мебошанд: ( a + b ) − b = a . (a + b) - b = a. ( a + b ) − b = a . ( a ⋅ b ) : b = a (a \cdot b) : b = a ( a ⋅ b ) : b
навбатӣ 4 · 1/2. Хосиятҳои реша: зарб, тақсим ва нишондиҳандаи умумӣ 1 соат
=
a
решабарорӣ
агар a 3 = 27 a^3 = 27 a 3 = 27 a = 27 3 = 3 ; a = \sqrt[3]{27} = 3; a = 3 27 = 3 ;
агар b 5 = − 32 b^5 = -32 b 5 = − 32 b = − 32 5 = − 2. b = \sqrt[5]{-32} = -2. b = 5 − 32
Решабарориро бо аломати x \sqrt{\phantom{x}} x радикал ) ишора мекунанд ва болои он нишондиҳандаи реша навишта мешавад; барои решаи квадратӣ нишондиҳандаи 2 2 2
Масалан, − 8 3 = − 2 , \sqrt[3]{-8} = -2, 3 − 8 = − 2 , ( − 2 ) 3 = − 8 ; (-2)^3 = -8; ( − 2 ) 3 = − 8 ; 81 4 = 3 , \sqrt[4]{81} = 3, 4 81 = 3 , 3 4 = 81. 3^4 = 81. 3 4 = 81. − 3 -3 − 3 4 4 4 81 81 81 ( − 3 ) 4 = 81. (-3)^4 = 81. ( − 3 ) 4 = 81. n n n a a a x n = a x^n = a x n = a n n n a a a
Хулоса: аз адади мусбат як решаи дараҷаи тоқ ва ду решаи дараҷаи ҷуфт (муқобили ҳам) вуҷуд дорад; аз адади манфӣ як решаи дараҷаи тоқ вуҷуд дорад, дараҷаи ҷуфт — не.
Решаи арифметикӣ Аломати a n \sqrt[n]{a} n a n n n a ≥ 0 a \ge 0 a ≥ 0
Дар курс аломати a n \sqrt[n]{a} n a (n n n ҷуфт) ҳамеша маънои решаи арифметикиро дорад. Бинобар ин
16 = 4 , 81 4 = 3 , \sqrt{16} = 4,\qquad \sqrt[4]{81} = 3, 16 = 4 , 4 81 = 3 , ± 4 \pm 4 ± 4 ± 3. \pm 3. ± 3. x 4 = 81 x^4 = 81 x 4 = 81 x = ± 3 , x = \pm 3, x = ± 3 , 81 4 = 3. \sqrt[4]{81} = 3. 4 81 = 3. n n n − 27 3 = − 3. \sqrt[3]{-27} = -3. 3 − 27 = − 3.
Квадрати ҳар як адад ғайриманфӣ аст, бинобар ин x 2 \sqrt{x^2} x 2
x 2 = { x , x > 0 , − x , x < 0 , 0 , x = 0. \sqrt{x^2} = \begin{cases} x, & x > 0, \\ -x, & x < 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases} x 2 = ⎩ ⎨ ⎧ x , − x , 0 , x > 0 , x < Ҳангоми x < 0 x < 0 x < 0 − x -x − x ( − x ) 2 = x 2 . (-x)^2 = x^2. ( − x ) 2 = x 2 . x 2 = ∣ x ∣ . \sqrt{x^2} = |x|. x 2 = ∣ x ∣. x 2 = x \sqrt{x^2} = x x 2 = x хато аст: барои x = − 3 x = -3 x = − 3 9 = − 3 \sqrt{9} = -3 9 = − 3
Мисоли 1. ( 4 − a ) 2 = ∣ 4 − a ∣ \sqrt{(4 - a)^2} = |4 - a| ( 4 − a ) 2 = ∣4 − a ∣ a a a ( 4 − a ) 2 = ∣ 4 − a ∣ = { 4 − a , a < 4 , a − 4 , a > 4 , 0 , a = 4. \sqrt{(4-a)^2} = |4 - a| = \begin{cases} 4 - a, & a < 4, \\ a - 4, & a > 4, \\ 0, & a = 4. \end{cases} ( 4 − a ) 2
Мисоли 2. ( x 2 + x + 1 ) 2 = x 2 + x + 1. \sqrt{(x^2 + x + 1)^2} = x^2 + x + 1. ( x 2 + x + 1 ) 2 = x 2 + x + 1. x 2 + x + 1 x^2 + x + 1 x 2 + x + 1 1 − 4 = − 3 < 0 1 - 4 = -3 < 0 1 − 4 = − 3 < 0 x 2 x^2 x 2 x x x
Мисоли 3. ( 1 − 2 ) 2 \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} ( 1 − 2 ) 2 1 − 2 1 - \sqrt{2} 1 − 2 (2 ≈ 1,41 \sqrt{2} \approx 1{,}41 2 ≈ 1 , 41 пас ( 1 − 2 ) 2 = ∣ 1 − 2 ∣ = 2 − 1. \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1. ( 1 − 2 ) 2
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. а) Ифодаҳоро ҳисоб кунед:
27 3 + 16 4 ; \sqrt[3]{27} + \sqrt[4]{16}; 3 27 + 4 16 ;
− 32 5 + 1 4 . \sqrt[5]{-32} + \sqrt{\dfrac{1}{4}}. 5 − 32 + 4
б) Дурустии баробариҳоро санҷед:
1 10 = 1 ; − 1 9 = − 1 ; 125 3 = 5 ; 0 10 = 0. \sqrt[10]{1} = 1;\quad \sqrt[9]{-1} = -1;\quad \sqrt[3]{125} = 5;\quad \sqrt[10]{0} = 0. 10 1 = 1 ; 9 − 1 = − 1 ; 3 125 = 5 ; 10 0 = 0.
в) Тарафи квадратеро ёбед, ки масоҳаташ ба масоҳати росткунҷаи тарафҳояш 20 20 20 80 80 80
г) Теғаи куберо ёбед, ки ҳаҷмаш ба 125 125 125 8 8 8 64 64 64
д) Бе ҳисоби реша муайян кунед, ки кадоме аз ададҳо калон аст: 2 3 2\sqrt{3} 2 3 3 2 . 3\sqrt{2}. 3 2 .
a 4 a ⋅ 4 a 4 ⋅ a 2 ⋅ 3 a 3 8 ; a\sqrt{4a} \cdot \sqrt[4]{4a} \cdot a^2 \cdot \sqrt[8]{3a^3}; a 4 a ⋅ 4 4 a ⋅ a 2 ⋅ 8 3 a 3 ;
a 5 12 : a 4 . \sqrt[12]{a^5} : \sqrt[4]{a}. 12 a 5 : 4
ж) Кадоме аз ин ададҳо калон аст:
3 10 15 3 8 10 ё 3 9 4 3 2 9 ? \frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^8}} \quad \text{ё} \quad \frac{\sqrt[4]{3^9}}{\sqrt[9]{3^2}}\,? 10 3 8 15 3 10 ё 9 3 2 4 ?
з) Радикалҳоро ба намуди содда оваред:
x − y y ⋅ x 4 y 3 + x 3 y 4 x 2 − 2 x y + y 2 ; \dfrac{x - y}{y} \cdot \sqrt{\dfrac{x^4y^3 + x^3y^4}{x^2 - 2xy + y^2}}; y x − y ⋅ x 2 − 2 x y + y 2 x 4 y 3 + x 3 y 4 ;
a a − 2 b ⋅ a 3 b − 4 a 2 b 2 + 4 a b 3 a ; \dfrac{a}{a - 2b} \cdot \sqrt{\dfrac{a^3b - 4a^2b^2 + 4ab^3}{a}}; a − 2 b a ⋅ a
1 1 8 − 8 1 16 3 + 108 3 ⋅ 24,5 . \sqrt{1\dfrac{1}{8}} - 8\sqrt[3]{\dfrac{1}{16}} + \sqrt[3]{108} \cdot \sqrt{24{,}5}. 1 8 1 − 8
Дар хона
2 3 ⋅ ( 9 10 + 15 14 ) ; \dfrac{2}{3} \cdot \left(\dfrac{9}{10} + \dfrac{15}{14}\right); 3 2 ⋅ ( 10 9 + 14 15 ) ;
5 7 ⋅ ( 14 15 − 7 45 ) . \dfrac{5}{7} \cdot \left(\dfrac{14}{15} - \dfrac{7}{45}\right). 7 5 ⋅ ( 15 14 −
б) Муодилаҳоро ҳал кунед:
( 2 3 x 2 ) − 3 = [ ( x x ) − 1 ] 1 2 ; \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{x^2}\right)^{-3} = \left[\left(x\sqrt{x}\right)^{-1}\right]^{\frac{1}{2}}; ( x 2 2 3 ) − 3 = [ ( x x ) − 1 ] 2
[ ( x 3 ) − 1 2 ] 6 5 = [ ( 1 x ) − 4 3 ] 6 5 . \left[\left(\sqrt[3]{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\right]^{\frac{6}{5}} = \left[\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{-\frac{4}{3}}\right]^{\frac{6}{5}}. [ ( 3 x
[ ( 1 − 2 1 − 3 a ) ( 1 − 9 a − 9 a 2 3 a + 1 ) ] : [ 2 ( 1 − 9 a 2 ) ] ; \left[\left(1 - \dfrac{2}{1 - 3a}\right)\left(1 - \dfrac{9a - 9a^2}{3a + 1}\right)\right] : \left[2(1 - 9a^2)\right]; [ ( 1 − 1 − 3 a 2 ) ( 1 − 3 a + 1 9 a − 9 a 2 ) ] : [ 2 ( 1 − 9 a 2 ) ] ;
2 a − ( a + 1 a 3 − 1 − 1 a 2 + a + 1 − 2 1 − a ) : a 3 + a 2 + 2 a a 2 − 1 . \dfrac{2}{a} - \left(\dfrac{a + 1}{a^3 - 1} - \dfrac{1}{a^2 + a + 1} - \dfrac{2}{1 - a}\right) : \dfrac{a^3 + a^2 + 2a}{a^2 - 1}. a 2 − (
4. Некрӯз ва Далер 203 203 203
( 5 − a ) 2 \sqrt{(5 - a)^2} ( 5 − a ) 2 a ≤ 5 ; a \le 5; a ≤ 5 ;
( 5 − a ) 2 \sqrt{(5 - a)^2} ( 5 − a ) 2 a > 5 ; a > 5; a > 5 ;
8 ( 5 − a ) 2 \sqrt{8(5 - a)^2} 8 ( 5 − a ) 2 a ≥ 5. a \ge 5. a ≥ 5.
6. Муодиларо ҳал кунед:
( x 2 x 3 4 ) − 4 3 = ( x 2 x 3 3 ) 6 7 . \left(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}}\right)^{-\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}\right)^{\frac{6}{7}}. ( 4 x 3 x 2 ) − 3 4 = ( 3 x 2 x 3
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 2–6 («Дар хона»).
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 3. Решаи дараҷаи n-ум ва хосиятҳои он».
Хулоса
Решаи дараҷаи n n n a a a n n n a a a x n = a x^n = a x n = a
n n n a > 0 a > 0 a > 0 ± a n \pm\sqrt[n]{a} ± n a n n n n n n a < 0 a < 0 a < 0 a n \sqrt[n]{a} n a (n n n ҷуфт) — решаи арифметикӣ, ғайриманфӣ: 16 = 4. \sqrt{16} = 4. x 2 = ∣ x ∣ , \sqrt{x^2} = |x|, x 2 = ∣ x ∣ , x x x Дар ин дарс
Ман медонам таърифи решаи дараҷаи n n n x n = a x^n = a x n = a Ман метавонам решаҳоро ҳисоб кунам ва бидонам, ки кай реша вуҷуд надорад.Ман метавонам x 2 = ∣ x ∣ \sqrt{x^2} = |x| x 2 = ∣ x ∣ Такрор (2 дақиқа)
Муодилаи x 2 = 9 x^2 = 9 x 2 = 9
49 \sqrt{49} 49 49 = − 7 \sqrt{49} = -7 49 = − 7 ∣ − 5 ∣ |{-5}| ∣ − 5 ∣ ∣ 3 ∣ |3| ∣3∣ Ҷавобҳо
Ду реша: x = 3 x = 3 x = 3 x = − 3. x = -3. x = − 3. 49 = 7 \sqrt{49} = 7 49 =
Вазъият барои андешаронӣ Масоҳати майдони квадратӣ 1600 1600 1600 125 125 125
Таъриф 1 Решаи дараҷаи n n n аз адади a a a n n n a a a a n = b \sqrt[n]{a} = b
Муодилаи x^n = a: хати уфуқии y = a графики дараҷаи ҷуфтро дар ду нуқта, дараҷаи тоқро дар як нуқта мебурад. Муодилаи x^n = a чанд реша дорад I. n n n a > 0 a > 0 a > 0 x = ± a n . x = \pm\sqrt[n]{a}. x = ± n a
Таъриф 2 Қимати ғайриманфии решаи дараҷаи n n n решаи арифметикӣ номида мешавад.
Калимаҳои калидӣ решаи дараҷаи n-ум радикал нишондиҳандаи реша решаи арифметикӣ модул
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ таърифи решаи дараҷаи n n n
✓ / ✗ шарҳ диҳам, чаро решаи дараҷаи ҷуфт аз адади манфӣ вуҷуд надорад, вале решаи дараҷаи тоқ аз он вуҷуд дорад;
✓ / ✗ бидонам, ки чаро x 2 = x \sqrt{x^2} = x x 2
− 16 4 \sqrt[4]{-16} 4 − 16
Решаҳои муодилаи x 4 = 16 x^4 = 16 x 4 = 16
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 2 2 2
B − 2 -2 − 2
C 4 4 4
D − 4 -4 − 4
( 1 − 2 ) 2 \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} ( 1 − 2 ) 2
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
=
− 2.
0
,
x = 0.
=
∣4 −
a ∣ =
⎩ ⎨ ⎧ 4 − a , a − 4 , 0 , a < 4 , a > 4 , a = 4.
=
∣1 −
1.
1
.
.
3 9
a 3
b
−
4
a 2
b 2
+
4
a
b 3
;
+
45
7
)
.
1
;
)
− 2 1
]
5 6
=
a
3
−
1
a + 1
−
a 2 + a + 1 1
−
1 − a 2
)
:
a 2 − 1 a 3 + a 2 + 2 a .
)
7 6
.
16
=
4.
7
n
=
b
( a n ) n = a . \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a. ( n a ) n = a .
.
II. n n n a a a 64 3 = 4 , \sqrt[3]{64} = 4, 3 64 = 4 , − 32 5 = − 2. \sqrt[5]{-32} = -2. 5 − 32 = − 2.
III. n n n a < 0 a < 0 a < 0 − 9 \sqrt{-9} − 9
=
x
✓ / ✗ ( a − b ) 2 \sqrt{(a - b)^2} ( a − b ) 2 a a a b b b Кадом қисм душвортар буд?
± ( 2 − 1 ) \pm(\sqrt{2} - 1) ± ( 2 − 1 )
