6 · 1/2. Муодилаҳои ирратсионалӣ: ба дараҷа бардоштан - Алгебра — синфи 10
Муодилаи ирратсионалӣ
Масалан: x = 7 , \sqrt{x} = 7, x = 7 , x − 1 + 2 x = 23 , \sqrt{x - 1} + 2x = 23, x − 1
навбатӣ 6 · 2/2. Дохил намудани тағйирёбандаи нав 1 соат
+
2 x =
23 ,
2 − x 3 = x + 6 4 + 7 x . \sqrt[3]{2 - x} = \sqrt[4]{x + 6} + 7x. 3 2 − x = 4 x + 6 + 7 x .
Муодилаҳои баробарқувва Ду муодилаи ҳалҳои якхела дошта баробарқувва номида мешаванд. Ду қоидаи маълум:
Ин теоремаҳоро бе исбот хотиррасон кардем. (Шарти «ғайринул» муҳим аст: зарб ба 0 0 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0
Усулҳои ҳал Муодилаҳои ирратсионалиро асосан бо ду усул ҳал мекунанд:
Ҳар ду қисми муодиларо ба ҳамон як дараҷа мебардоранд. Агар як ё якчанд маротиба ба дараҷа бардоштани ҳар ду қисм кифоя бошад, муодилаи ирратсионалӣ ба алгебравӣ меояд.Усули дохил намудани тағйирёбандаи нав (гузориш) — соати оянда.
Решаҳои бегона Ҳангоми ба дараҷаи ҷуфт бардоштан решаҳои бегона пайдо мешаванд: аз a = b a = b a = b a 2 = b 2 a^2 = b^2 a 2 = b 2 a 2 = b 2 a^2 = b^2 a 2 = b 2 a = b a = b a = b a = − b a = -b a = − b ҳатман ба муодилаи додашуда гузошта месанҷем : ҳамонашро ҷавоб мегирем, ки муодиларо қаноат мекунонад, ва бегонаҳоро мепартоем.
Мисоли 1. 16 − 2 3 x = 12. 16 - \sqrt{\dfrac{2}{3}x} = 12. 16 − 3 2 x = 12. − 2 3 x = 12 − 16 , 2 3 x = 4 , 2 3 x = 16 , x = 24. -\sqrt{\frac{2}{3}x} = 12 - 16, \qquad \sqrt{\frac{2}{3}x} = 4, \qquad \frac{2}{3}x = 16, \qquad x = 24. − 3 2 x = 12 − 16 , Санҷиш: 16 − 2 3 ⋅ 24 = 16 − 16 = 16 − 4 = 12. 16 - \sqrt{\dfrac{2}{3} \cdot 24} = 16 - \sqrt{16} = 16 - 4 = 12. 16 − 3 2 ⋅ 24 Ҷавоб: x = 24. x = 24. x = 24.
Мисоли 2. 25 − x 2 = 7 − x . \sqrt{25 - x^2} = 7 - x. 25 − x 2 = 7 − x . 25 − x 2 = 49 − 14 x + x 2 , 2 x 2 − 14 x + 24 = 0 , x 2 − 7 x + 12 = 0. 25 - x^2 = 49 - 14x + x^2, \qquad 2x^2 - 14x + 24 = 0, \qquad x^2 - 7x + 12 = 0. 25 − x 2 = 49 − 14 x + x 2 , 2 x 2 − 14 x + 24 = x 1 = 3 , x_1 = 3, x 1 = 3 , x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4 7 , 7, 7 , 12 12 12
Санҷиш: 25 − 9 = 16 = 4 = 7 − 3 ; \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 = 7 - 3; 25 − 9 = 16 = 4 = 7 − 3 ; 25 − 16 = 9 = 3 = 7 − 4. \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 = 7 - 4. 25 − 16 = 9 Ҷавоб: 3 ; 4. 3;\ 4. 3 ; 4.
Мисоли 3. 16 + x + 4 = 5. \sqrt{16 + \sqrt{x + 4}} = 5. 16 + x + 4 = 5. 16 + x + 4 = 25 , 16 + \sqrt{x + 4} = 25, 16 + x + 4 = 25 , x + 4 = 9. \sqrt{x + 4} = 9. x + 4 = 9. x + 4 = 81 , x + 4 = 81, x + 4 = 81 , x = 77. x = 77. x = 77.
Санҷиш: 16 + 77 + 4 = 16 + 9 = 25 = 5. \sqrt{16 + \sqrt{77 + 4}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. 16 + 77 + 4 = 16 + 9 = 25 = 5. Ҷавоб: x = 77. x = 77. x = 77.
Мисоли 4. 2 x + 6 − x − 1 = 3 x − 11 . \sqrt{2x + 6} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{3x - 11}. 2 x + 6 − x − 1 = 3 x − 11 .
Муодилаи ирратсионалӣ бо ду маротиба ба квадрат бардоштан
√(2x + 6) − √(x − 1) = √(3x − 11) 2x + 6 − 2√((2x + 6)(x − 1)) + x − 1 = 3x − 11
√((2x + 6)(x − 1)) = 8
(2x + 6)(x − 1) = 64; x² + 2x − 35 = 0
x₁ = 5, x₂ = −7
x = 5: 4 − 2 = 2 = √4 ✓; x = −7: √(−8) — нест ✗
Ҷавоб: x = 5
Се радикал дорад. Домени он: 2x + 6 ≥ 0, x − 1 ≥ 0, 3x − 11 ≥ 0, яъне x ≥ 11/3.
муодила √(2x + 6) − √(x − 1) = √(3x − 11)
Мисоли 5. Боз ба муодилаи вазъияти аввала мерасем: x + 2 = x . \sqrt{x + 2} = x. x + 2 = x . x + 2 = x 2 , x + 2 = x^2, x + 2 = x 2 , x 2 − x − 2 = 0 , x^2 - x - 2 = 0, x 2 − x − 2 = 0 , x 1 = − 1 , x_1 = -1, x 1 = − 1 , x 2 = 2. x_2 = 2. x 2 = 2. x = 2 x = 2 x = 2 4 = 2 \sqrt{4} = 2 4 = 2 x = − 1 x = -1 x = − 1 1 = 1 ≠ − 1 \sqrt{1} = 1 \ne -1 1 = 1 = − 1 Ҷавоб: x = 2. x = 2. x = 2.
Расм сабаби решаи бегонаро нишон медиҳад: ҳангоми ба квадрат бардоштан ба муодилаи x + 2 = x \sqrt{x + 2} = x x + 2 = x − x + 2 = x -\sqrt{x + 2} = x − x + 2 = x
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Муодилаҳои ирратсионалиро ҳал намуда, решаҳои ҳосилшударо санҷед:
а) x = 2 − x ; x = \sqrt{2 - x}; x = 2 − x ;
б) x − 1 = x + 5 ; x - 1 = \sqrt{x + 5}; x − 1 = x + 5 ;
в) x − 5 + 10 − x = 3 ; \sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3; x − 5 + 10 − x
г) x + 25 − x 2 = 7 ; x + \sqrt{25 - x^2} = 7; x + 25 − x 2 = 7 ;
д) 2 x + 1 + 2 x − 4 = 5 ; \sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 4} = 5; 2 x + 1 + 2 x − 4
е) 2 + x − 5 = 13 − x ; \sqrt{2 + \sqrt{x - 5}} = \sqrt{13 - x}; 2 + x − 5
ж) x + 6 − x − 1 = 1 ; \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 1} = 1; x + 6 − x − 1
з) 3 + 5 x = 13 ; 3 + 5\sqrt{x} = 13; 3 + 5 x = 13 ;
и) 11 − 3 x = 5 ; 11 - 3\sqrt{x} = 5; 11 − 3 x = 5 ;
к) 5 + 3 + x = 3. \sqrt{5 + \sqrt{3 + x}} = 3. 5 + 3 + x
Дар хона 2. Амали зарбро иҷро кунед:
( − 2 3 ) ⋅ ( − 3 5 ) ; \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right); ( − 3 2 ) ⋅ ( − 5 3 ) ;
( − 2 7 ) ⋅ ( 3 5 ) ; \left(-\dfrac{2}{7}\right) \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right); ( − 7 2 ) ⋅ ( 5 3 ) ;
2 7 ⋅ ( − 3 5 ) . \dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right). 7 2 ⋅ ( − 5 3 ) .
3. Аз ду қатора яке масофаи байни ду истгоҳро дар 4 1 2 4\dfrac{1}{2} 4 2 1 5 5 5 3 3 3 1 1 1
4. Муодиларо ҳал кунед:
x + 6 x x − 2 a = 12 a x − 2 a . x + \frac{6x}{x - 2a} = \frac{12a}{x - 2a}. x + x − 2 a 6 x = x − 2 a 12 a .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 2–4 («Дар хона») ва қисми иҷронашудаи машқи 1.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи муодилаи ирратсионалӣ, муодилаҳои баробарқувва ва сабаби пайдо шудани решаҳои бегона.Ман метавонам муодилаи ирратсионалиро бо ба дараҷа бардоштани ҳар ду тараф ҳал кунам ва ҳамеша решаҳоро бо гузоштан санҷам.Ман метавонам муодилаҳоро бо ду радикал ва бо ду маротиба ба квадрат бардоштан ҳал кунам. Такрор (2 дақиқа)
x = 5 \sqrt{x} = 5 x = 5 Муодилаи x 2 − x − 2 = 0 x^2 - x - 2 = 0 x 2 − x − 2 = 0
( − 3 ) 2 \sqrt{(-3)^2} ( − 3 ) 2 Ҷавобҳо
x = 25. x = 25. x = 25. x 1 = − 1 , x_1 = -1, x 1 = − 1 , x 2 = 2 x_2 = 2 x 2 = Вазъият барои андешаронӣ Муодилаи x + 2 = x \sqrt{x + 2} = x x + 2 = x x 2 = x + 2 x^2 = x + 2 x 2 = x + 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = − 1 x = -1 x = − 1 − 1 + 2 = 1 , \sqrt{-1 + 2} = 1, − 1 + 2 = 1 , − 1. -1. − 1.
Таъриф Муодилае, ки номаълум дар таҳти аломати радикал (реша) аст, муодилаи ирратсионалӣ номида мешавад.
Теорема 1 Агар ба ҳар ду қисми муодила ягон адад ё ягон бисёраъзогиро ҷамъ кунем, муодилаи нави ҳосилшуда ба муодилаи аввала баробарқувва аст.
Теорема 2 Агар ҳар ду тарафи муодиларо ба ягон адади ғайринул зарб кунем, муодилаи нави ҳосилшуда ба муодилаи аввала баробарқувва аст.
Дар хотир доред Ба дараҷаи ҷуфт бардоштан — решаи бегона дода метавонад, пас санҷиш ҳатмист. Ба дараҷаи тоқ бардоштан (масалан, ба кубӣ) муодиларо баробарқувва нигоҳ медорад, вале санҷиши охирин аз хато эмин мекунад.
Муодилаи x² = x + 2 ҳам хати y = x-ро бо шохаи боло (y = √(x+2)), ҳам бо шохаи поён (y = −√(x+2)) мебурад; муодилаи √(x+2) = x танҳо шохаи болоро дорад. Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро санҷиш дар муодилаҳои ирратсионалӣ ҳатмист? Кадом хел муодила ба решаи бегона оварда метавонад? Бо мисоли худ шарҳ диҳед.
Ҳар як решаи муодилаи ба квадрат бардошташуда решаи муодилаи ирратсионалии аввала низ мебошад.
Муодилаи x + 6 = x \sqrt{x + 6} = x x + 6 = x x 2 − x − 6 = 0. x^2 - x - 6 = 0. x 2
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Қадамҳои ҳалли 2 x + 3 = x \sqrt{2x + 3} = x 2 x + 3 = x
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Ҳар ду қисмро ба квадрат бардошта: 2 x + 3 = x 2 2x + 3 = x^2 2 x + 3
2
3
4
5
3 2
x
=
4 , 3 2 x =
16 , x =
24.
=
16 −
16 −
4 =
12.
0
,
x 2
−
7 x +
12 =
0.
=
3 =
7 −
4.
=
3 ;
=
5 ;
=
=
1 ;
=
3.
2
( x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 (x + 1)(x - 2) = 0 ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 −
x −
6 =
0.
=
x 2
Решаҳо: x = 3 x = 3 x = 3 x = − 1 x = -1 x = − 1
Ба намуди стандартӣ меорем: x 2 − 2 x − 3 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 x 2 − 2 x − 3 = 0
Санҷиш: x = 3 x = 3 x = 3 x = − 1 x = -1 x = − 1 (1 ≠ − 1 \sqrt{1} \ne -1 1 = − 1
