Такрор ва санҷиш: фасли 2 · 1/3. Векторҳо - Геометрия — синфи 9
Ҷамъбаст: амал — қоида — координатаҳо
Амал Қоида ва координатаҳо Координатаҳои A B → \overrightarrow{AB} A B ( x B − x A ; y B − y A ) (x_B - x_A;\; y_B - y_A) (
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фасли 2 · 2/3. Кори санҷишӣ 1 соат
x
B
−
x A ; y B −
y A )
Дарозӣ ∣ a ⃗ ∣ = x 2 + y 2 \lvert\vec a\rvert = \sqrt{x^2 + y^2} ∣ a ∣ = x 2 + y 2
Баробарӣ координатаҳои мувофиқ баробаранд
Сумма ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2) ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) A B → + B C → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} A B + BC =
Фарқ ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2) ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) X Y → = O Y → − O X → \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX} X Y = O Y
λ a ⃗ \lambda\vec a λ a ( λ x ; λ y ) (\lambda x;\; \lambda y) ( λ x ; λ y ) ∣ λ a ⃗ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ⃗ ∣ \lvert\lambda\vec a\rvert = \lvert\lambda\rvert\lvert\vec a\rvert ∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ∣
Коллинеарӣ b ⃗ = λ a ⃗ ; \vec b = \lambda\vec a; b = λ a ; x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 x_1y_2 - x_2y_1 = 0 x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0
Зарби скалярӣ x 1 x 2 + y 1 y 2 = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ x_1x_2 + y_1y_2 = \lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\cos\varphi x 1 x 2 + y 1 y 2 = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ
Перпендикулярӣ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b = 0 a ⋅ b = 0
Вектори воҳидӣ e ⃗ = 1 ∣ a ⃗ ∣ a ⃗ \vec e = \dfrac{1}{\lvert\vec a\rvert}\vec a e = ∣ a ∣ 1 a a ⃗ = x e ⃗ 1 + y e ⃗ 2 \vec a = x\vec e_1 + y\vec e_2 a = x e
Мисолҳо Мисоли 1 (исбот бо векторҳо). Дар секунҷаи A B C ABC A BC M M M N N N A B AB A B A C . AC. A C . M N → = 1 2 B C → , \overrightarrow{MN} = \dfrac12\overrightarrow{BC}, MN = 2 1 BC ,
Исбот. A M → = 1 2 A B → \overrightarrow{AM} = \dfrac12\overrightarrow{AB} A M = 2 1 A B A N → = 1 2 A C → \overrightarrow{AN} = \dfrac12\overrightarrow{AC} A N = 2 1 A C
M N → = A N → − A M → = 1 2 A C → − 1 2 A B → = 1 2 ( A C → − A B → ) = 1 2 B C → . \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \frac12\overrightarrow{AC} - \frac12\overrightarrow{AB} = \frac12\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \frac12\overrightarrow{BC}. MN = A N − A M = 2 1 A C − 2 1 A B = 2 1 ( A C − A B 2 1 BC . Пас M N → \overrightarrow{MN} MN B C → \overrightarrow{BC} BC M N = 1 2 B C . MN = \dfrac12 BC. MN = 2 1 BC .
Мисоли 2 (параметр). Барои кадом қимати m m m a ⃗ = ( m ; 3 ) \vec a = (m;\,3) a = ( m ; 3 ) b ⃗ = ( 4 ; m + 1 ) \vec b = (4;\,m + 1) b = ( 4 ; m + 1 )
Ҳал. Шарти x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 x_1y_2 - x_2y_1 = 0 x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 m ( m + 1 ) − 3 ⋅ 4 = 0 , m(m + 1) - 3\cdot 4 = 0, m ( m + 1 ) − 3 ⋅ 4 = 0 , m 2 + m − 12 = 0. m^2 + m - 12 = 0. m 2 + m − 12 = 0. m = 3 m = 3 m = 3 m = − 4. m = -4. m = − 4. m = 3 m = 3 m = 3 ( 3 ; 3 ) (3;\,3) ( 3 ; 3 ) ( 4 ; 4 ) ; (4;\,4); ( 4 ; 4 ) ; m = − 4 m = -4 m = − 4 ( − 4 ; 3 ) (-4;\,3) ( − 4 ; 3 ) ( 4 ; − 3 ) . (4;\,-3). ( 4 ; − 3 ) . 3 3 3 − 4. -4. − 4.
Мисоли 3 (секунҷа бо координатаҳо). A ( − 1 ; 2 ) , A(-1;\,2), A ( − 1 ; 2 ) , B ( 3 ; 5 ) , B(3;\,5), B ( 3 ; 5 ) , C ( 6 ; 1 ) . C(6;\,1). C ( 6 ; 1 ) .
Ҳал. B A → = ( − 4 ; − 3 ) , \overrightarrow{BA} = (-4;\,-3), B A = ( − 4 ; − 3 ) , B C → = ( 3 ; − 4 ) . \overrightarrow{BC} = (3;\,-4). BC = ( 3 ; − 4 ) . B A → ⋅ B C → = − 12 + 12 = 0 , \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = -12 + 12 = 0, B A ⋅ BC = B B B ∣ B A ∣ = ∣ B C ∣ = 5. |BA| = |BC| = 5. ∣ B A ∣ = ∣ BC ∣ = 5. A A A C C C 45 ∘ . 45^\circ. 4 5 ∘ .
Машқҳо 1. Дар параллелограмми A B C D ABCD A BC D M M M B C . BC. BC . A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB} = \vec a A B = a A D → = b ⃗ \overrightarrow{AD} = \vec b A D = b A M → \overrightarrow{AM} A M D M → \overrightarrow{DM} D M a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b
2. a ⃗ = ( 3 ; − 1 ) , \vec a = (3;\,-1), a = ( 3 ; − 1 ) , b ⃗ = ( − 2 ; 4 ) . \vec b = (-2;\,4). b = ( − 2 ; 4 ) . 2 a ⃗ − b ⃗ 2\vec a - \vec b 2 a − b ∣ 2 a ⃗ − b ⃗ ∣ |2\vec a - \vec b| ∣2 a − b ∣
3. Барои кадом λ \lambda λ a ⃗ = ( λ ; − 4 ) \vec a = (\lambda;\,-4) a = ( λ ; − 4 ) b ⃗ = ( 3 ; 2 ) \vec b = (3;\,2) b = ( 3 ; 2 )
4. A ( − 2 ; 1 ) , A(-2;\,1), A ( − 2 ; 1 ) , B ( 1 ; 5 ) , B(1;\,5), B ( 1 ; 5 ) , C ( 5 ; 2 ) . C(5;\,2). C ( 5 ; 2 ) . A B C ABC A BC
5. Бо ёрии векторҳо исбот кунед, ки диагоналҳои росткунҷа баробаранд.
Нишондод A C → = A B → + A D → , \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, A C = A B + A D , B D → = A D → − A B → . \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}. B D = A D A B → ⋅ A D → = 0. \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0. A B ⋅ A D =
6. Вектори воҳидии ҳамсамти a ⃗ = ( − 8 ; 6 ) \vec a = (-8;\,6) a = ( − 8 ; 6 ) 3 3 3 a ⃗ \vec a a
7. ★ Исбот кунед, ки барои медианаҳои A A 1 , AA_1, A A 1 , B B 1 , BB_1, B B 1 , C C 1 CC_1 C C 1 A B C ABC A BC A A 1 → + B B 1 → + C C 1 → = 0 ⃗ . \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \vec 0. A A 1 + B
Нишондод A A 1 → = 1 2 ( A B → + A C → ) . \overrightarrow{AA_1} = \dfrac12\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). A A 1 = 2 1 ( A B + A C ) .
Кор дар синф
Санҷиши даҳонӣ (дар ҷуфт) Ҳамнишастон саволро мепурсад, шумо ҷавоб медиҳед; баъд ҷойҳоро иваз кунед.
Вектор чист?
Бузургии векторӣ аз бузургиҳои дигар бо чӣ фарқ мекунад?
Кадом бузургиҳои векториро медонед?
Дарозии вектор ё бузургии мутлақи векторро чӣ тавр меёбанд?
Формулаи бузургии мутлақи вектори a ⃗ = ( x ; y ) \vec a = (x;\,y) a = ( x ; y )
Формулаи бузургии мутлақи вектори A B → \overrightarrow{AB} A B A ( x 1 ; y 1 ) A(x_1;\,y_1) A ( x 1 ; y 1 ) B ( x 2 ; y 2 ) B(x_2;\,y_2) B ( x 2 ; y 2 )
Таърифи баробарии векторҳоро баён кунед.
Ҳолатҳои ҷойгиршавии векторҳоро фаҳмонед.
Таърифи векторҳои коллинеариро баён кунед.
Суммаи векторҳоро ба воситаи координатаҳояшон нависед.
Хосиятҳои ҷамъи векторҳоро номбар кунед.
Қоидаи секунҷагии ҷамъи векторҳоро баён кунед.
Ҷамъи векторҳоро аз рӯи қоидаи параллелограмм нишон диҳед.
Фарқи векторҳоро баён намоед.
Зарби вектор ба адад кадом хосиятҳоро дорад?
Зарби скалярии векторҳоро баён кунед.
Кунҷи байни векторҳоро аз рӯи кадом формула меёбанд?
Шарти коллинеарӣ будани векторҳоро фаҳмонед.
Шарти перпендикулярии векторҳоро баён кунед.
Диагоналҳои параллелограмм чӣ гуна хосият доранд?
Вектори сифрӣ чист?
Вектори воҳидӣ чист?
Теоремаро дар бораи зарби скалярии векторҳо баён кунед.
Векторро чӣ гуна ба векторҳои воҳидӣ ҷудо мекунанд?
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 2, 3, 4 ва 6. Ҷадвали ҷамъбастро дар дафтар аз хотир нависед.
Дар ин дарс
Ман метавонам ҳамаи амалҳои фасли 2-ро дар як ҷадвал ба ҳам монам ва бо координатаҳо ва бо расм иҷро кунам.Ман метавонам хосиятҳои шаклҳоро бо усули векторӣ исбот кунам.Ман метавонам ба саволҳои назариявии фасл даҳонӣ ҷавоб диҳам. Вазъият барои андешаронӣ Дар ин фасл шумо «ҷабри векторҳо»-ро сохтед: ҳар амал ҳам расм дорад, ҳам формула. Кадомаш дар кадом масъала қулай аст? Масалан, барои исботи «диагоналҳои ромб перпендикуляранд» чӣ беҳтар аст — расм ё зарби скалярӣ?
Расми 1. Амалҳои асосӣ бо расм: ҷамъ, тарҳ ва зарб ба адад. Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом амалро ман бо расм хуб мекунам, кадомро бо координатаҳо? Дар кадом мавзӯъ ҳанӯз ёрӣ лозим аст?
Агар a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b = 0 a ⋅ b = 0
Кадом тасдиқ нодуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A Агар a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b = 0 a ⋅ b = 0
B C Зарби скалярии ду вектор — вектор аст D Кадом векторҳо бо a ⃗ = ( 2 ; 3 ) \vec a = (2;\,3) a = ( 2 ; 3 )
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A ( 2 ; − 3 ) (2;\,-3) ( 2 ; − 3 )
B
C D Исботи «хати миёнаи секунҷа» қадамҳоро ба тартиб гузоред (M , M, M , N N N A B AB A B A C AC A C
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 M N → = 1 2 B C → , \overrightarrow{MN} = \tfrac12\overrightarrow{BC}, MN
2
3
4
−
1
+
)
=
− 12 +
12 =
0 ,
−
0.
B 1
+
=
( − 2 ; − 2 ) .
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec a + \vec b| ∣ a + b ∣
=
( 3 ; 3 )
b ⃗ = 0 ⃗ . \vec b = \vec 0. b = 0 . b ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec b \ne \vec 0 b = 0 A B → + B C → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} A B + BC = A C
∣ λ a ⃗ ∣ = ∣ λ ∣ ⋅ ∣ a ⃗ ∣ |\lambda\vec a| = |\lambda|\cdot|\vec a| ∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ⋅ ∣ a ∣
( − 4 ; − 6 ) (-4;\,-6) ( − 4 ; − 6 )
=
M N ∥ B C MN \parallel BC MN ∥ BC M N = 1 2 B C MN = \tfrac12 BC MN = 2 1 BC M N → = 1 2 ( A C → − A B → ) \overrightarrow{MN} = \tfrac12\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) MN = 2 1 ( A C − A B )
A M → = 1 2 A B → \overrightarrow{AM} = \tfrac12\overrightarrow{AB} A M = 2 1 A B A N → = 1 2 A C → \overrightarrow{AN} = \tfrac12\overrightarrow{AC} A N = 2 1 A C
Ба M N → = A N → − A M → \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} MN = A N − A M
