2.2 · 6/7. Зарби скалярии векторҳо - Геометрия — синфи 9
Таъриф ва a ⃗ 2 \vec a^{\,2} a 2
Диққат: натиҷа адад аст, на вектор. a ⃗ ⋅ a ⃗ \vec a\cdot\vec a a
навбатӣ 2.2 · 7/7. Перпендикулярии векторҳо. Масъалаҳо 1 соат
⋅
Исбот. a ⃗ 2 = x ⋅ x + y ⋅ y = x 2 + y 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 . \vec a^{\,2} = x\cdot x + y\cdot y = x^2 + y^2 = |\vec a|^2. a 2 = x ⋅ x + y ⋅ y = x 2 + y 2 = ∣ a ∣ 2 .
Бигузор a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b O O O O A → = a ⃗ , \overrightarrow{OA} = \vec a, O A = a , O B → = b ⃗ . \overrightarrow{OB} = \vec b. OB = b . Кунҷи байни векторҳо — кунҷи φ = ∠ A O B , \varphi = \angle AOB, φ = ∠ A OB , 0 ∘ ≤ φ ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \varphi \le 180^\circ 0 ∘ ≤ φ ≤ 18 0 ∘ φ = 0 ∘ , \varphi = 0^\circ, φ = 0 ∘ , φ = 180 ∘ . \varphi = 180^\circ. φ = 18 0 ∘ .
Маълум: a ⃗ , \vec a, a , b ⃗ \vec b b φ \varphi φ Матлуб: a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ . \vec a\cdot\vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. a ⋅ b
Исбот. Исбот ба косинус вобаста нест: аввал нишон медиҳем, ки зарби скалярӣ аз ҷойгиршавии тирҳо вобаста нест. Бигузор a ⃗ = ( x 1 ; y 1 ) , \vec a = (x_1;\,y_1), a = ( x 1 ; y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 ; y 2 ) . \vec b = (x_2;\,y_2). b = ( x 2 ; y 2
Қадами 1. Сумма a ⃗ + b ⃗ = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) , \vec a + \vec b = (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2), a + b = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) ,
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( y 1 + y 2 ) 2 = ( x 1 2 + y 1 2 ) + ( x 2 2 + y 2 2 ) + 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = ∣ a ⃗ ∣ 2 + ∣ b ⃗ ∣ 2 + 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ . |\vec a + \vec b|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 = (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) + 2(x_1x_2 + y_1y_2) = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2\,\vec a\cdot\vec b. ∣ a + b ∣ 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( y 1 + y 2 ) 2 = ( x 1 2 + y 1 2 ) + ( x 2 2 + y 2 2 ) + 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + 2 a ⋅ b . a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 2 ( ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 − ∣ a ⃗ ∣ 2 − ∣ b ⃗ ∣ 2 ) . ( ∗ ) \vec a\cdot\vec b = \frac12\left(|\vec a + \vec b|^2 - |\vec a|^2 - |\vec b|^2\right). \qquad (\ast) a ⋅ b = 2 1 ( ∣ a + b Қадами 2. Дар тарафи рости ( ∗ ) (*) ( ∗ ) a ⃗ , \vec a, a , b ⃗ \vec b b a ⃗ + b ⃗ . \vec a + \vec b. a + b . a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b
Қадами 3. Пас системаро чунин интихоб кардан мумкин аст, ки тири O x Ox O x a ⃗ \vec a a a ⃗ = ( ∣ a ⃗ ∣ ; 0 ) . \vec a = (|\vec a|;\,0). a = ( ∣ a ∣ ; 0 ) . b ⃗ \vec b b O x Ox O x φ \varphi φ 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ b ⃗ = ( ∣ b ⃗ ∣ cos φ ; ∣ b ⃗ ∣ sin φ ) \vec b = (|\vec b|\cos\varphi;\; |\vec b|\sin\varphi) b = ( ∣ b b ⃗ \vec b b
Қадами 4. Бо таъриф: a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ ∣ b ⃗ ∣ cos φ + 0 ⋅ ∣ b ⃗ ∣ sin φ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ . \vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi + 0\cdot|\vec b|\sin\varphi = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. a ⋅ b = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ cos φ + 0 ⋅ ∣ b ∣ sin φ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ .
Агар яке аз векторҳо сифрӣ бошад, ду тараф ҳам 0 0 0
Косинуси кунҷи байни векторҳо:
cos φ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 x 2 2 + y 2 2 . \cos\varphi = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\,\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}. cos φ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ a ⋅ b = x 1 2 + y 1 2
Аломати a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b (a ⃗ , \vec a,
Дарозии суммаро аз дарозиҳо ва кунҷ меёбем: аз ( ∗ ) (*) ( ∗ ) ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 + ∣ b ⃗ ∣ 2 + 2 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ . |\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. ∣ a +
Мисоли 1. ∣ a ⃗ ∣ = 3 , |\vec a| = 3, ∣ a ∣ = 3 , ∣ b ⃗ ∣ = 5 |\vec b| = 5 ∣ b ∣ = 5 φ = 120 ∘ . \varphi = 120^\circ. φ = 12 0 ∘ . ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec a + \vec b| ∣ a + b ∣
Ҳал. ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = 9 + 25 + 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ( − 1 2 ) = 34 − 15 = 19. |\vec a + \vec b|^2 = 9 + 25 + 2\cdot 3\cdot 5\cdot\left(-\tfrac12\right) = 34 - 15 = 19. ∣ a + b ∣ 2 = 9 + 25 + 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 1 ) = 34 − 15 = 19. ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ = 19 . |\vec a + \vec b| = \sqrt{19}. ∣ a + b ∣ =
Мисоли 2. Кунҷи байни a ⃗ = ( 1 ; 2 ) \vec a = (1;\,2) a = ( 1 ; 2 ) b ⃗ = ( − 3 ; 1 ) \vec b = (-3;\,1) b = ( − 3 ; 1 )
Ҳал. a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 ⋅ ( − 3 ) + 2 ⋅ 1 = − 1 ; \vec a\cdot\vec b = 1\cdot(-3) + 2\cdot 1 = -1; a ⋅ b = 1 ⋅ ( − 3 ) + 2 ⋅ 1 = − 1 ; ∣ a ⃗ ∣ = 5 , |\vec a| = \sqrt5, ∣ a ∣ = 5 , ∣ b ⃗ ∣ = 10 . |\vec b| = \sqrt{10}. ∣ b ∣ = 10 . cos φ = − 1 5 ⋅ 10 = − 1 5 2 ≈ − 0,1414 , \cos\varphi = \dfrac{-1}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}} = -\dfrac{1}{5\sqrt2} \approx -0{,}1414, cos φ = 5 ⋅ φ ≈ 98,1 ∘ \varphi \approx 98{,}1^\circ φ ≈ 98 , 1 ∘
Худатон санҷед Ду вектор аз ибтидо гузошта шудаанд. Интиҳои онҳоро ҳаракат диҳед: a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ
Зарби скалярӣ санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Зарби скалярии векторҳои a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ = ( 3 ; 4 ) , \vec a = (3;\,4), a = ( 3 ; 4 ) , b ⃗ = ( 6 ; − 2 ) ; \vec b = (6;\,-2); b = ( 6 ; − 2 ) ; a ⃗ = ( − 3 ; − 7 ) , \vec a = (-3;\,-7), a = ( − 3 ; − 7 ) , b ⃗ = ( 2 ; 6 ) . \vec b = (2;\,6). b = ( 2 ; 6 ) .
2. Кунҷи байни векторҳои a ⃗ = ( 3 ; 4 ) \vec a = (3;\,4) a = ( 3 ; 4 ) b ⃗ = ( 1 ; − 3 ) \vec b = (1;\,-3) b = ( 1 ; − 3 ) 0,1 ∘ 0{,}1^\circ 0 , 1 ∘
3. Кунҷи байни векторҳои a ⃗ = ( 2 ; 2 ) \vec a = (2;\,2) a = ( 2 ; 2 ) b ⃗ = ( 1 ; − 1 2 ) \vec b = \left(1;\,-\dfrac12\right) b = ( 1 ; − 2 1 ) 0,1 ∘ 0{,}1^\circ 0 , 1 ∘
4. Кунҷи байни векторҳои a ⃗ = ( 3 ; 1 ) \vec a = (3;\,1) a = ( 3 ; 1 ) b ⃗ = ( 1 ; − 3 ) \vec b = (1;\,-3) b = ( 1 ; − 3 )
5. Агар ∣ a ⃗ ∣ = ∣ b ⃗ ∣ = 1 |\vec a| = |\vec b| = 1 ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec a + \vec b| ∣ a + b ∣
6. Агар ∣ a ⃗ ∣ = ∣ b ⃗ ∣ = 1 |\vec a| = |\vec b| = 1 ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ a ⃗ \vec a a a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b
Нишондод a ⃗ ⋅ ( a ⃗ + b ⃗ ) = a ⃗ 2 + a ⃗ ⋅ b ⃗ . \vec a\cdot(\vec a + \vec b) = \vec a^{\,2} + \vec a\cdot\vec b. a ⋅ ( a + b ) = a 2 + a ⋅ b . a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b a ⃗ \vec a a b ⃗ . \vec b. b .
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4 ва 5; ҳавасмандон — машқи 6. Теорема ва исботи онро (қадамҳои 1–4) дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи зарби скалярии векторҳо ва формулаи a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ . \vec a\cdot\vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ . Ман метавонам зарби скалярӣ ва кунҷи байни векторҳоро бо координатаҳо ҳисоб кунам.Ман метавонам аз аломати зарби скалярӣ муайян кунам, ки кунҷ тез, рост ё кунд аст. Такрор (2 дақиқа)
cos 120 ∘ , \cos 120^\circ, cos 12 0 ∘ , cos 90 ∘ , \cos 90^\circ, cos 9 0 ∘ , cos 60 ∘ \cos 60^\circ cos 6 0 ∘ Агар a ⃗ = ( x ; y ) , \vec a = (x;\,y), a = ( x ; y ) , ∣ a ⃗ ∣ 2 |\vec a|^2 ∣ a
Кунҷи байни ду нур чӣ гуна аст?
Ҷавобҳо
− 1 2 ; -\tfrac12; − 2 1 ; 0 ; 0; 0 ; 1 2 ; \tfrac12; 2 1 Вазъият барои андешаронӣ Ба ҷойи ҷамъ ё зарби вектор ба адад, ду векторро чунин «зарб» кардан мумкин аст, ки натиҷа адад шавад? Масалан, қувва ва роҳ дар физика: A = F ⋅ s ⋅ cos φ A = F\cdot s\cdot\cos\varphi A = F ⋅ s ⋅ cos φ
Таъриф Зарби скалярии векторҳои a ⃗ = ( x 1 ; y 1 ) \vec a = (x_1;\,y_1) a = ( x 1 ; y 1 ) b ⃗ = ( x 2 ; y 2 ) \vec b = (x_2;\,y_2) b = ( x 2 ; y 2 ) a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 . \vec a\cdot\vec b = x_1x_2 + y_1y_2. a ⋅ b =
Хосият a ⃗ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 . \vec a^{\,2} = |\vec a|^2. a 2 = ∣ a
Теорема Зарби скалярии ду вектор ба ҳосили зарби дарозиҳо ва косинуси кунҷи байни онҳо баробар аст:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ . \vec a\cdot\vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi. a ⋅ b Расми 1. Кунҷи φ байни a ва b; тири Ox ба самти a: координатаҳои b — |b| cos φ ва |b| sin φ. Агар a ⃗ ⋅ b ⃗ = − 7 \vec a\cdot\vec b = -7 a ⋅ b = − 7
Як ҷавобро интихоб кунед A Кунд B Рост C Тез D Ёфтан мумкин нест
∣ a ⃗ ∣ = ∣ b ⃗ ∣ = 1 |\vec a| = |\vec b| = 1 ∣ a ∣ = ∣ b ∣
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
=
)
.
∣ 2
−
∣
∣ 2
−
∣
∣ 2
)
.
(
∗
)
∣
cos
φ
;
∣
∣
sin
φ
)
x 1 x 2 + y 1 y 2
.
b ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec b \ne \vec 0 b = 0 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ > 0 |\vec a|\,|\vec b| > 0 ∣ a ∣ ∣ b ∣ > 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ > 0 \vec a\cdot\vec b > 0 a ⋅ b > 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b = 0 a ⋅ b = 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ < 0 \vec a\cdot\vec b < 0 a ⋅ b < 0
.
10
− 1
=
− 0 , 1414 ,
∣ 2
;
x 1 x 2 +
y 1 y 2 .
∣ 2
.
=
=
( 4 ; 3 ) .
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b ∣
=
3 ,
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b ≤
φ ≤
18 0 ∘
=
1
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec a + \vec b| ∣ a + b ∣ 