2.2 · 3/7. Хосиятҳои ҷамъ. Тарҳи векторҳо - Геометрия — синфи 9
Хосиятҳои ҷамъ
Ҷамъи векторҳо мисли ҷамъи ададҳо қоидаҳои қулай дорад.
Дар ин ҷо − a ⃗ = ( − x ; − y ) -\vec a = (-x;\,-y) − a = ( − x ; − y ) a ⃗ = ( x ; y ) : \vec a = (x;\,y):
навбатӣ 2.2 · 4/7. Зарби вектор ба адад 1 соат
a
=
( x ; y ) :
B A → = − A B → \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} B A = − A B Исбот бо координатаҳо. Бигузор a ⃗ = ( x 1 ; y 1 ) , \vec a = (x_1;\,y_1), a = ( x 1 ; y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 ; y 2 ) , \vec b = (x_2;\,y_2), b = ( x 2 ; y 2 c ⃗ = ( x 3 ; y 3 ) . \vec c = (x_3;\,y_3). c = ( x 3 ; y 3
a ⃗ + b ⃗ = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) = ( x 2 + x 1 ; y 2 + y 1 ) = b ⃗ + a ⃗ . \vec a + \vec b = (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2) = (x_2 + x_1;\; y_2 + y_1) = \vec b + \vec a. a + b = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) = ( x 2 + x 1 ; y 2 + y 1 ) = b + a . Дар ин ҷо баробарии миёна аз ҷойивазкунии ададҳо баромад. ∎
Исботи хосиятҳои 1, 2 ва 4
a ⃗ + 0 ⃗ = ( x 1 + 0 ; y 1 + 0 ) = ( x 1 ; y 1 ) = a ⃗ . \vec a + \vec 0 = (x_1 + 0;\; y_1 + 0) = (x_1;\,y_1) = \vec a. a + 0 = ( x 1 + 0 ; y 1 + 0 ) = ( x 1 ; y 1 ) = a . a ⃗ + ( − a ⃗ ) = ( x 1 − x 1 ; y 1 − y 1 ) = ( 0 ; 0 ) = 0 ⃗ . \vec a + (-\vec a) = (x_1 - x_1;\; y_1 - y_1) = (0;\,0) = \vec 0. a + ( − a a ⃗ + ( b ⃗ + c ⃗ ) = ( x 1 + ( x 2 + x 3 ) ; y 1 + ( y 2 + y 3 ) ) = ( ( x 1 + x 2 ) + x 3 ; ( y 1 + y 2 ) + y 3 ) = ( a ⃗ + b ⃗ ) + c ⃗ . \vec a + (\vec b + \vec c) = (x_1 + (x_2 + x_3);\; y_1 + (y_2 + y_3)) = ((x_1 + x_2) + x_3;\; (y_1 + y_2) + y_3) = (\vec a + \vec b) + \vec c. a Хосияти 3 бо расм ҳам равшан аст: ду роҳи a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b b ⃗ + a ⃗ \vec b + \vec a b + a
Аз гурӯҳбандӣ: суммаи ҳар чанд векторро бе қавс навиштан мумкин аст. Масалан, A B → + B C → + C D → = A D → . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. A B + BC + C D = A D . A B → + B C → + C A → = 0 ⃗ . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec 0. A B + BC
Тарҳи векторҳо Сохтани фарқ. Аз нуқтаи A A A A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB} = \vec a A B = a A D → = b ⃗ \overrightarrow{AD} = \vec b A D = b D B → = a ⃗ − b ⃗ . \overrightarrow{DB} = \vec a - \vec b. D B = a −
Исбот. D B → = ( x B − x D ; y B − y D ) = ( ( x B − x A ) − ( x D − x A ) ; ( y B − y A ) − ( y D − y A ) ) = ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) . \overrightarrow{DB} = (x_B - x_D;\; y_B - y_D) = \bigl((x_B - x_A) - (x_D - x_A);\; (y_B - y_A) - (y_D - y_A)\bigr) = (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2). D B = ( x B − x D ; y B − y D ) = ( ( x B − x A ) − ( x D − x A ) ; ( y B − y A ) − ( y D − y A ) ) = ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) .
Қоида: фарқ — вектор аз интиҳои камкунанда ба интиҳои кампешванда (ҳарду аз як нуқта).
Диагоналҳои параллелограмм. Дар параллелограмми A B C D ABCD A BC D A B → = a ⃗ , \overrightarrow{AB} = \vec a, A B = a , A D → = b ⃗ \overrightarrow{AD} = \vec b A D = b A C → = a ⃗ + b ⃗ \overrightarrow{AC} = \vec a + \vec b A C = a + D B → = a ⃗ − b ⃗ \overrightarrow{DB} = \vec a - \vec b D B = a −
Худатон санҷед Векторҳои a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ − b ⃗ \vec a - \vec b a − b
Тарҳи векторҳо санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Хосияти сеюми ҷамъи векторҳоро (ҷойивазкунӣ) аз рӯи қоидаи параллелограмм исбот кунед.
Нишондод Аз як нуқта a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ + b ⃗ , \vec a + \vec b, a + b , b ⃗ + a ⃗ \vec b + \vec a b + a
2. Агар a ⃗ = ( 4 ; 3 ) , \vec a = (4;\,3), a = ( 4 ; 3 ) , b ⃗ = ( − 2 ; − 3 ) , \vec b = (-2;\,-3), b = ( − 2 ; − 3 ) , c ⃗ = ( 6 ; 2 ) \vec c = (6;\,2) c = ( 6 ; 2 ) a ⃗ + b ⃗ ; \vec a + \vec b; a + b ; a ⃗ + c ⃗ ; \vec a + \vec c; a + c ; b ⃗ + c ⃗ ; \vec b + \vec c; b + c ; a ⃗ + b ⃗ + c ⃗ . \vec a + \vec b + \vec c. a + b +
3. Агар a ⃗ = ( 5 ; 6 ) \vec a = (5;\,6) a = ( 5 ; 6 ) b ⃗ = ( 3 ; 4 ) \vec b = (3;\,4) b = ( 3 ; 4 ) a ⃗ − b ⃗ \vec a - \vec b a − b
4. Векторҳои A B → \overrightarrow{AB} A B A C → \overrightarrow{AC} A C A C → − A B → = B C → . \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}. A C − A B
5. Хосияти чоруми ҷамъи векторҳоро (гурӯҳбандӣ) аз рӯи қоидаи секунҷа исбот кунед.
Нишондод Аз як нуқта A B → = a ⃗ , \overrightarrow{AB} = \vec a, A B = a , B C → = b ⃗ , \overrightarrow{BC} = \vec b, BC = b , C D → = c ⃗ \overrightarrow{CD} = \vec c C D = c A D → \overrightarrow{AD} A D
6. Векторҳои a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ − b ⃗ \vec a - \vec b a − b
Нишондод a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) . \vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b). a − b = a + ( − b ) .
7. Дар расми 3 векторҳои a ⃗ , \vec a, a , b ⃗ \vec b b c ⃗ \vec c c a ⃗ − b ⃗ + c ⃗ ; \vec a - \vec b + \vec c; a − b + − a ⃗ + b ⃗ + c ⃗ . -\vec a + \vec b + \vec c. − a + b +
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5, 6 ва 7.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 2.2 · 1/3» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш.
Дар ин дарс
Ман медонам чор хосияти ҷамъи векторҳоро ва метавонам онҳоро бо координатаҳо исбот кунам.Ман метавонам фарқи векторҳоро бо координатаҳо ва бо сохтан ёбам.Ман медонам , ки дар параллелограмм диагоналҳо a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b a ⃗ − b ⃗ \vec a - \vec b a − b Такрор (2 дақиқа)
a ⃗ = ( 2 ; − 3 ) , \vec a = (2;\,-3), a = ( 2 ; − 3 ) , b ⃗ = ( 4 ; 1 ) . \vec b = (4;\,1). b = ( 4 ; 1 ) . a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b Қоидаи секунҷаро бо формула нависед.
A B → + B C → + C D → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} A B + BC Ҷавобҳо
( 6 ; − 2 ) ; (6;\,-2); ( 6 ; − 2 ) ; A B → + B C → = A C → ; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}; A B + Хосият Барои ҳар се вектори a ⃗ , \vec a, a , b ⃗ , \vec b, b , c ⃗ \vec c c
a ⃗ + 0 ⃗ = a ⃗ ; \vec a + \vec 0 = \vec a; a + 0 = Бо нишонаҳои нуқтаҳо: A B → + 0 ⃗ = A B → ; \overrightarrow{AB} + \vec 0 = \overrightarrow{AB}; A B + 0 =
Таъриф Фарқи векторҳои a ⃗ = ( x 1 ; y 1 ) \vec a = (x_1;\,y_1) a = ( x 1 ; y
Расми 1. Фарқи a − b — вектор аз интиҳои b ба интиҳои a. Дар хотир доред Барои ҳар се нуқтаи O , O, O , X , X, X , Y Y Y O X → + X Y → = O Y → , \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}, OX
Расми 2. Диагоналҳои параллелограмм: AC = a + b, DB = a − b. Расми 3. Векторҳои a, b ва c. Ба ҳар баробарӣ номи хосиятро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед a + b = b + a → … ҷойивазкунии тарҳ суммаи ду вектори муқобил сифр аст вектори сифр ҷамъро тағйир намедиҳад гурӯҳбандии ҷамъ ҷойивазкунии ҷамъ
(a + b) + c = a + (b + c) → … ҷойивазкунии тарҳ суммаи ду вектори муқобил сифр аст вектори сифр ҷамъро тағйир намедиҳад гурӯҳбандии ҷамъ ҷойивазкунии ҷамъ
a + 0 = a → … ҷойивазкунии тарҳ суммаи ду вектори муқобил сифр аст вектори сифр ҷамъро тағйир намедиҳад гурӯҳбандии ҷамъ ҷойивазкунии ҷамъ
a + (−a) = 0 → … ҷойивазкунии тарҳ суммаи ду вектори муқобил сифр аст вектори сифр ҷамъро тағйир намедиҳад гурӯҳбандии ҷамъ ҷойивазкунии ҷамъ
Барои ҳар ду вектор a ⃗ − b ⃗ = b ⃗ − a ⃗ . \vec a - \vec b = \vec b - \vec a. a − b =
A B C D ABCD A BC D A B → − A D → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} A B − A D
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
)
,
)
.
)
=
( x 1 −
x 1 ; y 1 −
y 1 ) =
( 0 ; 0 ) =
+
( x 1 +
( x 2 +
x 3 ) ; y 1 +
( y 2 +
y 3 )) =
(( x 1 +
x 2 ) +
x 3 ; ( y 1 +
y 2 ) +
y 3 ) =
+
.
=
;
.
+
BC
=
A D → . \overrightarrow{AD}. A D . ;
a ⃗ + ( − a ⃗ ) = 0 ⃗ ; \vec a + (-\vec a) = \vec 0; a + ( − a ) = 0 ; a ⃗ + b ⃗ = b ⃗ + a ⃗ \vec a + \vec b = \vec b + \vec a a + b = b + a a ⃗ + ( b ⃗ + c ⃗ ) = ( a ⃗ + b ⃗ ) + c ⃗ \vec a + (\vec b + \vec c) = (\vec a + \vec b) + \vec c a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
A B → + B A → = 0 ⃗ ; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec 0; A B + B A = 0 ; A B → + B C → = A C → ; \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}; A B + BC = A C ; A B → + ( B C → + C D → ) = ( A B → + B C → ) + C D → . \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD}. A B + ( BC + C D ) = ( A B + BC ) + C D .
1
)
b ⃗ = ( x 2 ; y 2 ) \vec b = (x_2;\,y_2) b = ( x 2 ; y 2 ) a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) = ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) . \vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b) = (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2). a − b = a + ( − b ) = ( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) .
+
X Y → = O Y → − O X → . \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}. X Y = O Y − OX . Масалан, A C → − A B → = B C → . \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}. A C − A B = BC .
=
( − 5 ; 4 ) ,
c ⃗ = ( 6 ; 3 ) . \vec c = (6;\,3). c = ( 6 ; 3 ) . a ⃗ + b ⃗ + c ⃗ \vec a + \vec b + \vec c a + b + c 
