2.2 · 7/7. Перпендикулярии векторҳо. Масъалаҳо - Геометрия — синфи 9
Шарти перпендикулярӣ
Маълум: a ⃗ ≠ 0 ⃗ , \vec a \ne \vec 0, a = 0
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фасли 2 · 1/3. Векторҳо 1 соат
,
b ⃗ ≠ 0 ⃗ . \vec b \ne \vec 0. b = 0 . Матлуб:
a ⃗ ⊥ b ⃗ ⟺ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot\vec b = 0. a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0. Исбот. Бо теоремаи 2.2 · 6/7: a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ , \vec a\cdot\vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi, a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ , ∣ a ⃗ ∣ > 0 , |\vec a| > 0, ∣ a ∣ > 0 , ∣ b ⃗ ∣ > 0. |\vec b| > 0. ∣ b ∣ > 0.
Бо координатаҳо: ( x 1 ; y 1 ) ⊥ ( x 2 ; y 2 ) ⟺ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0. (x_1;\,y_1) \perp (x_2;\,y_2) \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0. ( x 1 ; y 1 ) ⊥ ( x 2 ; y 2 ) ⟺ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0. ( 3 ; 4 ) ⊥ ( − 4 ; 3 ) , (3;\,4) \perp (-4;\,3), ( 3 ; 4 ) ⊥ ( − 4 ; 3 ) , − 12 + 12 = 0. -12 + 12 = 0. − 12 + 12 = 0.
Диагоналҳои параллелограмм Мисоли 1. Исбот кунед, ки суммаи квадратҳои диагоналҳои параллелограмм ба суммаи квадратҳои тарафҳояш баробар аст.
Маълум: A B C D ABCD A BC D Матлуб: A C 2 + B D 2 = A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2 . AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2. A C 2 + B D 2 = A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2 .
Исбот. Дар расми 1: A C → = A D → + D C → = A B → + A D → \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} A C = A D + D C = A B + A D D C → = A B → \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} D C = A B D B → = A B → − A D → . \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}. D B = A B
Ҳар баробариро ба квадрат мебарем. Барои ҳар ду вектор ( u ⃗ + v ⃗ ) 2 = u ⃗ 2 + 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ + v ⃗ 2 (\vec u + \vec v)^2 = \vec u^{\,2} + 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2} ( u + v ) 2 = u 2 + 2 u ⋅ v + v 2 ( u ⃗ − v ⃗ ) 2 = u ⃗ 2 − 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ + v ⃗ 2 (\vec u - \vec v)^2 = \vec u^{\,2} - 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2} ( u − v v ⃗ \vec v v
A C 2 = A B 2 + A D 2 + 2 A B → ⋅ A D → , D B 2 = A B 2 + A D 2 − 2 A B → ⋅ A D → . AC^2 = AB^2 + AD^2 + 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}, \qquad DB^2 = AB^2 + AD^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}. A C 2 = A B 2 + A D 2 + 2 A B ⋅ A D , D B 2 = A B 2 + A D 2 − 2 A B ⋅ A D . Ҷамъ мекунем: ҳосили зарби скалярӣ нест мешавад, A C 2 + D B 2 = 2 A B 2 + 2 A D 2 . AC^2 + DB^2 = 2AB^2 + 2AD^2. A C 2 + D B 2 = 2 A B 2 + 2 A D 2 . C D = A B CD = AB C D = A B B C = A D , BC = AD, BC = A D , A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2 AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A
Натиҷаҳо (худатон исбот кунед — машқҳои 1, 5, 6): барои квадрат бо тарафи a a a d d d d 2 = 2 a 2 ; d^2 = 2a^2; d 2 = 2 a 2 ; a a a d 1 , d_1, d 1 , d 2 d_2 d 2 d 1 2 + d 2 2 = 4 a 2 ; d_1^2 + d_2^2 = 4a^2; d 1 2 + d 2 2 = 4 a 2 ; a , a, a , b b b d d d d 2 = a 2 + b 2 . d^2 = a^2 + b^2. d 2 = a 2 + b 2 .
Худатон санҷед Вектори a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b = 0 a ⋅ b = 0 b ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec b \ne \vec 0 b = 0
Векторҳои перпендикуляр санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Исбот кунед: агар d d d a a a d 2 = 2 a 2 . d^2 = 2a^2. d 2 = 2 a 2 .
2. Исбот кунед, ки векторҳои: а) a ⃗ = ( 4 ; 1 ) \vec a = (4;\,1) a = ( 4 ; 1 ) b ⃗ = ( 1 ; − 4 ) ; \vec b = (1;\,-4); b = ( 1 ; − 4 ) ; a ⃗ = ( 8 ; 2 ) \vec a = (8;\,2) a = ( 8 ; 2 ) b ⃗ = ( 0,5 ; − 2 ) \vec b = (0{,}5;\,-2) b = ( 0 , 5 ; − 2 )
3. Нуқтаҳои A ( 1 ; 1 ) , A(1;\,1), A ( 1 ; 1 ) , B ( 4 ; 1 ) , B(4;\,1), B ( 4 ; 1 ) , C ( 4 ; 5 ) C(4;\,5) C ( 4 ; 5 )
4. Барои кадом қимати m m m a ⃗ = ( 3 ; 4 ) \vec a = (3;\,4) a = ( 3 ; 4 ) b ⃗ = ( m ; 2 ) \vec b = (m;\,2) b = ( m ; 2 )
5. Исбот кунед: агар дар ромб d 1 d_1 d 1 d 2 d_2 d 2 a a a d 1 2 + d 2 2 = 4 a 2 . d_1^2 + d_2^2 = 4a^2. d 1 2 + d 2 2 = 4 a 2 .
6. Исбот кунед: агар дар росткунҷа d d d a , a, a , b b b d 2 = a 2 + b 2 . d^2 = a^2 + b^2. d 2 = a 2 + b 2 .
7. Чор нуқтаи A ( 1 ; 1 ) , A(1;\,1), A ( 1 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ) , B(2;\,3), B ( 2 ; 3 ) , C ( 0 ; 4 ) , C(0;\,4), C ( 0 ; 4 ) , D ( − 1 ; 2 ) D(-1;\,2) D ( − 1 ; 2 ) A B C D ABCD A BC D
8. Қуллаҳои секунҷа M ( 0 ; 3 ) , M(0;\,\sqrt3), M ( 0 ; 3 ) , P ( 2 ; 3 ) , P(2;\,\sqrt3), P ( 2 ; 3 ) , C ( 3 2 ; 3 2 ) . C\!\left(\dfrac32;\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right). C ( 2 3 ; 2 3
9. Бо ёрии векторҳо исбот кунед, ки диагоналҳои ромб перпендикуляранд.
Нишондод A C → = A B → + A D → , \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, A C = A B + A D , D B → = A B → − A D → . \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}. D B = A B A B → 2 − A D → 2 \overrightarrow{AB}^{\,2} - \overrightarrow{AD}^{\,2} A B 2 − A D
10. Исбот кунед, ки чоркунҷаи A B C D ABCD A BC D
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5, 6 ва 7; ҳавасмандон — машқҳои 8, 9 ва 10.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 9 · Вазифаи хонагӣ · 2.2 · 3/3» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш.
Хулоса
a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ ; \vec a\cdot\vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi; a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ ; a ⃗ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 . \vec a^{\,2} = |\vec a|^2. a 2 = ∣ a Векторҳои ғайрисифр перпендикуляранд, агар ва танҳо агар a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a\cdot\vec b = 0. a ⋅ b = 0.
Коллинеарӣ: b ⃗ = λ a ⃗ \vec b = \lambda\vec a b = λ a x 1 y 2 − x
Параллелограмм: A C → = a ⃗ + b ⃗ , \overrightarrow{AC} = \vec a + \vec b, A C = a +
Дар ин дарс
Ман медонам ва исбот карда метавонам: векторҳои ғайрисифр перпендикуляранд, агар ва танҳо агар зарби скалярии онҳо 0 0 0 Ман метавонам перпендикулярӣ, кунҷи секунҷа ва намуди чоркунҷаро бо координатаҳо санҷам.Ман метавонам бо ёрии векторҳо хосиятҳои диагоналҳои параллелограммро исбот кунам. Такрор (2 дақиқа)
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b Кунҷи байни векторҳо кай рост аст?
a ⃗ = ( 3 ; 1 ) , \vec a = (3;\,1), a = ( 3 ; 1 ) , b ⃗ = ( − 1 ; 3 ) . \vec b = (-1;\,3). b Ҷавобҳо
x 1 x 2 + y 1 y 2 x_1x_2 + y_1y_2 x 1 x 2 + y 1 y 2 Теорема Ду вектори ғайрисифр a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a\cdot\vec b = 0. a ⋅ b = 0.
(⇒) Агар a ⃗ ⊥ b ⃗ , \vec a \perp \vec b, a ⊥ b ,
Расми 1. Параллелограмми ABCD: AC = AB + AD, DB = AB − AD. Расми 2. Чоркунҷаи ABCD дар шабакаи координатӣ. Калимаҳои калидӣ координатаҳои вектор ҷамъи векторҳо қоидаи секунҷа қоидаи параллелограмм тарҳи векторҳо зарби вектор ба адад шарти коллинеарӣ вектори воҳидӣ зарби скалярӣ кунҷи байни векторҳо перпендикулярии векторҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман ҳар амали векторро бо координатаҳо иҷро мекунам; ✓ ман перпендикулярӣ ва коллинеариро бо формула месанҷам; ✗ ман ҳоло ҳам мушкилӣ дорам: ______.
Векторҳои a ⃗ = ( 2 ; − 3 ) \vec a = (2;\,-3) a = ( 2 ; − 3 ) b ⃗ = ( 3 ; 2 ) \vec b = (3;\,2) b
Исботи «суммаи квадратҳои диагоналҳои параллелограмм» қадамҳоро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Ҷамъ мекунем: ҳосили зарби скалярӣ ба ҳам мебарояд, A C 2 + D B 2 = 2 A B 2 + 2 A D 2 AC^2 + DB^2 = 2AB^2 + 2AD^2 A C 2 + D B 2 = 2 A B 2 + 2 A D
2
3
4
Дар секунҷаи A ( 0 ; 0 ) , A(0;\,0), A ( 0 ; 0 ) , B ( 4 ; 0 ) , B(4;\,0), B ( 4 ; 0 ) , C ( − 1 ; 3 ) C(-1;\,3) C ( − 1 ; 3 )
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A Кунҷи B B B
B C
−
) 2
=
2
)
.
−
2
∣ 2
.
2 y 1 = 0 ; x_1y_2 - x_2y_1 = 0; x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 ;
D B → = a ⃗ − b ⃗ ; \overrightarrow{DB} = \vec a - \vec b; D B = a − b ; A C 2 + B D 2 = 2 ( A B 2 + A D 2 ) . AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2). A C 2 + B D 2 = 2 ( A B 2 + A D 2 ) .
=
( − 1 ; 3 ) .
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a\cdot\vec b a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ ; |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi; φ = 90 ∘ , \varphi = 90^\circ, φ = 9 0 ∘ , cos φ = 0 ; \cos\varphi = 0; cos φ = 0 ; − 3 + 3 = 0. -3 + 3 = 0. − 3 + 3 = 0. φ = 90 ∘ , \varphi = 90^\circ, φ = 9 0 ∘ ,
cos φ = 0 \cos\varphi = 0 cos φ = 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a\cdot\vec b = 0. a ⋅ b = 0. (⇐) Агар a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 , \vec a\cdot\vec b = 0, a ⋅ b = 0 , ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ = 0 ; |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi = 0; ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = 0 ; ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\,|\vec b| ∣ a ∣ ∣ b ∣ 0 0 0 cos φ = 0. \cos\varphi = 0. cos φ = 0. Дар 0 ∘ ≤ φ ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \varphi \le 180^\circ 0 ∘ ≤ φ ≤ 18 0 ∘ φ = 90 ∘ \varphi = 90^\circ φ = 9 0 ∘
=
( m ; 9 )
=
( 3 ; 2 )
2
Ҳар баробариро ба квадрат мебарем: A C 2 = A B 2 + A D 2 + 2 A B → ⋅ A D → , AC^2 = AB^2 + AD^2 + 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}, A C 2 = A B 2 + A D 2 + 2 A B ⋅ A D , D B 2 = A B 2 + A D 2 − 2 A B → ⋅ A D → DB^2 = AB^2 + AD^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} D B 2 = A B 2 + A D 2 − 2
Диагоналҳоро ба воситаи тарафҳо менависем: A C → = A B → + A D → , \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, A C = A B + A D , D B → = A B → − A D → \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} D B = A B
Бо C D = A B CD = AB C D = A B B C = A D BC = AD BC = A D A C 2 + B D 2 = A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2 AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 A C 2 + B D 2 = A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2
A B
⋅
−
