16.3. Системаи ду муодилаи хаттии дуномаълума - Алгебра — синфи 7
Система ва ҳалли он
Адади якумро бо x , x, x , y y y x + y = 19 x + y = 19 x + y = 19 x − y = 5. x - y = 5. x − y = 5.
Ҳар кадоми онҳо ду тағйирёбанда дорад. Мо чунин қиматҳои
навбатӣ 16.4. Системаҳои баробарқувва 1 соат
x
ҳам
ҳам
система
Системаи муодилаҳоро бо қавси фигуравӣ менависанд. Системаи масъалаи мо:
{ x + y = 19 , x − y = 5. \begin{cases} x + y = 19, \\ x - y = 5. \end{cases} { x + y = 19 , x − y = 5. Ҷуфти x = 12 , x = 12, x = 12 , y = 7 y = 7 y = 7 12 + 7 = 19 12 + 7 = 19 12 + 7 = 19 12 − 7 = 5 12 - 7 = 5 12 − 7 = 5
Усули графикӣ Графики ҳар як муодилаи хаттӣ хати рост аст. Нуқтаҳои хати аввал — ҳалҳои муодилаи якум, нуқтаҳои хати дуюм — ҳалҳои муодилаи дуюм. Нуқтаи буриши хатҳо ба ҳар ду хат тааллуқ дорад, яъне ҳалли ҳар ду муодила, ҳалли система аст.
Мисоли 1. Системаро ҳал мекунем: { 3 x + 2 y = 2 , 2 x − y = − 8. \begin{cases} 3x + 2y = 2, \\ 2x - y = -8. \end{cases} { 3 x + 2 y = 2 , 2 x − y = − 8.
Графики ҳар як муодиларо дар як ҳамвории координатӣ месозем (расми 1). Хатҳо дар нуқтаи K ( − 2 ; 4 ) K(-2; 4) K ( − 2 ; 4 ) 3 ⋅ ( − 2 ) + 2 ⋅ 4 = 2 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 2 3 ⋅ ( − 2 ) + 2 ⋅ 4 = 2 2 ⋅ ( − 2 ) − 4 = − 8. 2 \cdot (-2) - 4 = -8. 2 ⋅ ( − 2 ) − 4 = − 8. x = − 2 , x = -2, x = − 2 , y = 4 y = 4 y = 4
Чунин усули ёфтани ҳалли система усули графикӣ ном дорад. Он ҳалро тақрибан ҳам нишон медиҳад (агар нуқтаи буриш дар гиреҳи тӯр набошад).
Системаи чандто ҳал дорад? Системаи ду муодилаи хаттӣ дорои ду тағйирёбандаро дида мебароем (ақаллан яке аз коэффитсиентҳои ҳар муодила аз сифр фарқ мекунад). Графикҳо — ду хати рост. Се ҳолати мумкин:
хатҳо ҳамдигарро мебуранд — система ҳалли ягона дорад;
хатҳо параллеланд — система ҳал надорад ;
хатҳо мепайванданд (як хат) — система ҳалҳои бешумор дорад.
Барои ёфтани ҳолат муодилаҳоро ба шакли y = k x + b y = kx + b y = k x + b k k k
Мисоли 2. Системаи { 4 x − 5 y = 1 , 7 x − y = − 6 \begin{cases} 4x - 5y = 1, \\ 7x - y = -6 \end{cases} { 4 x − 5 y = 1 , 7 x − y = − 6
Аз ҳар муодила y y y y = 4 5 x − 1 5 y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{1}{5} y = 5 4 x − 5 1 y = 7 x + 6. y = 7x + 6. y = 7 x + 6. 4 5 = 0,8 \dfrac{4}{5} = 0{,}8 5 4 = 0 , 8 7 7 7
Мисоли 3. Системаи { 5 x + 2 y = − 18 , 15 x + 6 y = − 54 \begin{cases} 5x + 2y = -18, \\ 15x + 6y = -54 \end{cases} { 5 x + 2 y = − 18 , 15 x + 6 y = − 54
Аз ҳар муодила y y y y = − 2,5 x − 9 y = -2{,}5x - 9 y = − 2 , 5 x − 9 y = − 2,5 x − 9. y = -2{,}5x - 9. y = − 2 , 5 x − 9. b b b
Мисоли 4. Системаи { 8 x + 20 y = 3 , 2 x + 5 y = 16 \begin{cases} 8x + 20y = 3, \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} { 8 x + 20 y = 3 , 2 x + 5 y = 16
Аз ҳар муодила y y y y = − 0,4 x + 0,15 y = -0{,}4x + 0{,}15 y = − 0 , 4 x + 0 , 15 y = − 0,4 x + 3,2. y = -0{,}4x + 3{,}2. y = − 0 , 4 x + 3 , 2. − 0,4 , -0{,}4, − 0 , 4 , b b b
Ду хат — як система санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Оё ҷуфти а) x = 2 , x = 2, x = 2 , y = − 1 ; y = -1; y = − 1 ; x = 1 , x = 1, x = 1 , y = 5 y = 5 y = 5 { 6 x + y = 11 , x − 2 y = 4 \begin{cases} 6x + y = 11, \\ x - 2y = 4 \end{cases} { 6 x + y = 11 , x − 2 y = 4
2. Оё ҷуфти u = 4 , u = 4, u = 4 , v = − 3 v = -3 v = − 3
а) { u + 3 v = − 5 , 7 u − 2 v = 34 ; \begin{cases} u + 3v = -5, \\ 7u - 2v = 34; \end{cases} { u + 3 v = − 5 , 7 u − 2 v = 34 ;
б) { 2 u + v = 5 , u + v = − 1 ? \begin{cases} 2u + v = 5, \\ u + v = -1? \end{cases} { 2 u + v = 5 , u + v = − 1 ?
3. Системаи муодилаҳои хаттии дуномаълумае тартиб диҳед, ки барояш ҷуфти а) x = 2 , x = 2, x = 2 , y = − 3 ; y = -3; y = − 3 ; x = 2 , x = 2, x = 2 , y = 0 y = 0 y = 0
4. Системаи муодилаҳоро бо усули графикӣ ҳал кунед:
а) { 3 x − 2 y = 12 , 2 x + 3 y = 8 ; \begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ 2x + 3y = 8; \end{cases} { 3 x − 2 y = 12 , 2 x + 3 y = 8 ;
б) { x − y = 0 , 2 x + 3 y = − 5. \begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + 3y = -5. \end{cases} { x − y = 0 , 2 x + 3 y = − 5.
5. Муайян кунед, ки оё система ҳал дорад, агар дошта бошад, чандто:
а) { − x + 2 y = 8 , x + 4 y = 10 ; \begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10; \end{cases} { − x + 2 y = 8 , x + 4 y = 10 ;
б) { 2 y − x = 1 , 3 y + x = − 6 ; \begin{cases} 2y - x = 1, \\ 3y + x = -6; \end{cases} { 2 y − x = 1 , 3 y + x = − 6 ;
в) { 3 x = 11 − 3 y , 6 y = 22 − 4 x ? \begin{cases} 3x = 11 - 3y, \\ 6y = 22 - 4x? \end{cases} { 3 x = 11 − 3 y , 6 y = 22 − 4 x ?
6. Оё система ҳал дорад? Чандто:
а) { x = 6 y − 1 , 2 x − 10 y = 2 ; \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 2; \end{cases} { x = 6 y − 1 , 2 x − 10 y = 2 ;
б) { 3 x − 7 y = 5 , x − y − 7 = 0 ; \begin{cases} 3x - 7y = 5, \\ x - y - 7 = 0; \end{cases} { 3 x − 7 y = 5 , x − y − 7 = 0 ;
в) { 10 x − 4 y = 5 , 8 y − 20 x = − 10 ? \begin{cases} 10x - 4y = 5, \\ 8y - 20x = -10? \end{cases} { 10 x − 4 y = 5 , 8 y − 20 x = − 10 ?
7. Се ҳалли гуногуни системаи муодилаҳоро нишон диҳед:
а) { x − 2 y = 5 , 3 x − 6 y = 15 ; \begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x - 6y = 15; \end{cases} { x − 2 y = 5 , 3 x − 6 y = 15 ;
б) { 2,5 y + x = − 0,5 , 2 x + 5 y = − 1. \begin{cases} 2{,}5y + x = -0{,}5, \\ 2x + 5y = -1. \end{cases} { 2 , 5 y + x = − 0 , 5 , 2 x + 5 y = − 1.
Дар хона 8. Кадоме аз ҷуфтҳои ( − 3 ; 4 ) , (-3; 4), ( − 3 ; 4 ) , ( − 2 ; − 6 ) , (-2; -6), ( − 2 ; − 6 ) , ( − 4 ; 3 ) (-4; 3) ( − 4 ; 3 )
а) { x = y − 7 , 3 x + 4 y = 0 ; \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0; \end{cases} { x = y − 7 , 3 x + 4 y = 0 ;
б) { 3 x − y = 0 , 5 x − y = − 4 ? \begin{cases} 3x - y = 0, \\ 5x - y = -4? \end{cases} { 3 x − y = 0 , 5 x − y = − 4 ?
9. Системаи муодилаҳои хаттиро бо усули графикӣ ҳал кунед:
а) { x + y = 4 , x − y = 2 ; \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2; \end{cases} { x + y = 4 , x − y = 2 ;
б) { 4 x − y = 10 , x − y = 1 ; \begin{cases} 4x - y = 10, \\ x - y = 1; \end{cases} { 4 x − y = 10 , x − y = 1 ;
в) { 3 x + 4 y = 6 , x + 2 = 0. \begin{cases} 3x + 4y = 6, \\ x + 2 = 0. \end{cases} { 3 x + 4 y = 6 , x + 2 = 0.
10. Дар шакли бисёрузва нависед:
а) ( 2 m 2 − m + 7 ) ( 2 m − 6 ) + 12 ; (2m^2 - m + 7)(2m - 6) + 12; ( 2 m 2 − m + 7 ) ( 2 m − 6 ) + 12 ;
б) 12 m 3 − ( 3 m − 2 ) ( 4 m 2 − m + 1 ) . 12m^3 - (3m - 2)(4m^2 - m + 1). 12 m 3 − ( 3 m − 2 ) ( 4 m 2 − m + 1 ) .
11. Аз баробарӣ y y y x , x, x , x x x y y y
а) 1 2 ( 8 x − 4 y ) − 5 = 6 ( 1 3 x + 1 2 y ) ; \dfrac{1}{2}(8x - 4y) - 5 = 6\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2}y\right); 2 1 ( 8 x − 4 y ) − 5 = 6 ( 3 1 x + 2 1 y ) ;
б) 5 x + 4 y 2 − 3 4 = 1 2 x − ( y − 2 x ) . \dfrac{5x + 4y}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}x - (y - 2x). 2 5 x + 4 y − 4 3 =
12. Оё муодилаҳои зерин баробарқувваанд:
а) ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x − 2 (x - 1)(x - 2) = x - 2 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x − 2 x − 1 = 1 ; x - 1 = 1; x − 1 = 1 ;
б) x 2 − 9 = x + 3 x^2 - 9 = x + 3 x 2 − 9 = x + 3 x − 3 = 1 ? x - 3 = 1? x − 3 = 1 ?
13. Ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) ( x − 1 ) 3 − 1 ; (x - 1)^3 - 1; ( x − 1 ) 3 − 1 ;
б) ( 2 a + b ) 2 − 4 a 2 ; (2a + b)^2 - 4a^2; ( 2 a + b ) 2 − 4 a 2 ;
в) ( 7 p + q ) 3 − ( q − 7 p ) 3 . (7p + q)^3 - (q - 7p)^3. ( 7 p + q ) 3 − ( q − 7 p ) 3 .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 8–13.
Дар дафтар нависед: системае, ки хатҳояш параллеланд, ва системае, ки ҳалҳои бешумор дорад.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 16.3.
Хулоса
Система — якчанд муодила дар зери як қавси фигуравӣ; ҳалли система — ҷуфте, ки ҳар як муодиларо қаноат мекунад.Усули графикӣ : хатҳоро месозем, нуқтаи буришро меёбем ва санҷем.Ду хат: мебуранд — як ҳал; параллеланд — ҳал нест; мепайванданд — бешумор ҳал.
Барои шумораи ҳалҳо коэффитсиентҳои кунҷии y = k x + b y = kx + b y = k x + b
Дар ин дарс
Ман метавонам гӯям, ки система ва ҳалли система чист.Ман метавонам санҷам, ки ҷуфт ҳалли система аст ё не.Ман метавонам системаро бо усули графикӣ ҳал кунам.Ман метавонам аз рӯйи графикҳо муайян кунам, ки система якто, бешумор ҳал дорад ё ҳал надорад. Такрор (2 дақиқа)
Оё ҷуфти ( 3 ; 1 ) (3; 1) ( 3 ; 1 ) x + y = 4 x + y = 4 x + y = 4
Аз муодилаи 2 x + y = 5 2x + y = 5 2 x + y = 5 y y y x x x
Ду хати рости y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 y = 2 x − 3 y = 2x - 3 y = 2 x − 3
Ҷавобҳо
3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 y = 5 − 2 x . y = 5 - 2x. y = 5 − 2 x . 2 2 2 b b b 1 1 Вазъият барои андешаронӣ Суммаи солҳои бародар ва хоҳар 19 сол аст, фарқи синну соли онҳо — 5 сол. Бародар чанд сол дорад ва хоҳар чанд сол? Як шарт ҷавобҳои бисёр медиҳад. Бо ду шарт чӣ мешавад?
Таъриф Ҳалли системаи муодилаҳои дорои ду тағйирёбанда — ҷуфти қиматҳои тағйирёбандаҳост, ки ҳар як муодилаи системаро ба баробарии дуруст табдил медиҳад.
Ҳал кардани система — ёфтани ҳамаи ҳалҳо ё исбот кардани он, ки ҳал вуҷуд надорад.
Расми 1. Графикҳои муодилаҳои система дар нуқтаи K(−2; 4) ҳамдигарро мебуранд. Қоида Агар k 1 ≠ k 2 k_1 \ne k_2 k 1 = k 2 k 1 = k 2 k_1 = k_2 k
Калимаҳои калидӣ система ҳалли система усули графикӣ нуқтаи буриш хатҳои параллел
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро нуқтаи буриши ду хат ҳалли система аст? Бо суханони худ нависед.
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам санҷам, ки ҷуфт ҳалли система аст ё не.
Ман метавонам системаро бо графикҳо ҳал кунам.
Ман метавонам аз рӯйи k k k b b b
Ҷуфти ( 1 ; 5 ) (1; 5) ( 1 ; 5 ) { x + y = 6 2 x − y = − 2 \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = -2 \end{cases} { x + y = 6 2 x − y = − 2
Системаи { y = 3 x + 1 y = 3 x − 4 \begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = 3x - 4 \end{cases} { y = 3 x + 1 y = 3 x − 4
Як ҷавобро интихоб кунед A бешумор ҳал B як ҳал C ҳал надорад D ду ҳал
Системаи { x + y = 3 2 x + 2 y = 6 \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} { x + y = 3 2 x + 2 y = 6
Як ҷавобро интихоб кунед A бешумор B ду ҳал C ҳал надорад D як ҳал
Кадом ҷуфт ҳалли системаи { 2 x + y = 1 x − y = 5 \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - y = 5 \end{cases} { 2 x + y = 1 x − y = 5
Як ҷавобро интихоб кунед A ( 3 ; − 2 ) (3; -2) ( 3 ; − 2
B C D
2 1
x
−
( y −
2 x ) .
1
1
=
k 2
)
