4.2 · 1/4. Камон, кунҷи марказӣ ва кунҷи дарункашида - Геометрия — синфи 7
Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 7 4. Давра ва доира
4.2 · 1/4. Камон, кунҷи марказӣ ва кунҷи дарункашида 1 соат
Камон ва кунҷи марказӣ
Ду нуқтаи A A A B B B
Камонҳо мисли кунҷҳо бо градус чен карда мешаванд. Нимдавра — камонест, ки бузургиаш 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘
Кунҷи марказӣ ва камони ба он такякунанда бузургии градусии якхела доранд: ∠ A O B = A
навбатӣ 4.2 · 2/4. Кунҷҳои ба як камон такякунанда. Кунҷи ба диаметр такякунанда 1 соат
B ⌢ . \angle AOB = \overset{\frown}{AB}. ∠ A OB = A B ⌢ .
Кунҷи дарункашида Масалан, дар расми 2 кунҷи A C B ACB A CB C C C C A CA C A C B CB CB A B AB A B
Маълум: ∠ A C B \angle ACB ∠ A CB A B ⌢ \overset{\frown}{AB} A B ⌢
Матлуб: ∠ A C B = 1 2 A B ⌢ . \angle ACB = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}. ∠ A CB = 2 1 A B ⌢ .
Маркази O O O A C B ACB A CB
Ҳолати 1. Маркази давра дар як тарафи кунҷ мехобад. Бигзор C A CA C A ∠ 1 = ∠ A C B \angle 1 = \angle ACB ∠1 = ∠ A CB ∠ 2 = ∠ A O B . \angle 2 = \angle AOB. ∠2 = ∠ A OB .
O B = O C OB = OC OB = OC радиусҳо. Пас △ B O C \triangle BOC △ BOC ∠ O B C = ∠ 1 \angle OBC = \angle 1 ∠ OBC = ∠1 кунҷҳои назди асос. ∠ 2 \angle 2 ∠2 △ B O C \triangle BOC △ BOC A , O , C A, O, C A , O , C ∠ 2 = ∠ 1 + ∠ O B C = 2 ⋅ ∠ 1 \angle 2 = \angle 1 + \angle OBC = 2 \cdot \angle 1 ∠2 = ∠1 + ∠ OBC = 2 ⋅ ∠1 кунҷи берунӣ. ∠ 2 = A B ⌢ \angle 2 = \overset{\frown}{AB} ∠2 = A B ⌢ кунҷи марказӣ ба камон баробар аст. Аз 2 ва 3: ∠ 1 = 1 2 ∠ 2 = 1 2 A B ⌢ . \angle 1 = \dfrac{1}{2}\angle 2 = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}. ∠1 = 2 1 ∠2 = 2 1
Яъне ∠ A C B = 1 2 A B ⌢ . \angle ACB = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}. ∠ A CB = 2 1 A B ⌢ .
Ҳолати 2. Маркази давра дар дохили кунҷ мехобад Диаметри C D CD C D D D D A B AB A B C D CD C D A C B ACB A CB ∠ 1 = ∠ A C D , \angle 1 = \angle ACD, ∠1 = ∠ A C D , ∠ 2 = ∠ D C B . \angle 2 = \angle DCB. ∠2 = ∠ D CB .
∠ A C B = ∠ 1 + ∠ 2 \angle ACB = \angle 1 + \angle 2 ∠ A CB = ∠1 + ∠2 нури C D CD C D A C B ACB A CB ∠ 1 = 1 2 A D ⌢ \angle 1 = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AD} ∠1 = Ҳолати 3. Маркази давра берун аз кунҷ мехобад Диаметри C D CD C D B B B A D AD A D ∠ A C D = ∠ 1 + ∠ 2 , \angle ACD = \angle 1 + \angle 2, ∠ A C D = ∠1 + ∠2 , ∠ 1 = ∠ A C B , \angle 1 = \angle ACB, ∠1 = ∠ A CB , ∠ 2 = ∠ B C D . \angle 2 = \angle BCD. ∠2 = ∠ BC D .
∠ A C D = ∠ 1 + ∠ 2 , \angle ACD = \angle 1 + \angle 2, ∠ A C D = ∠1 + ∠2 , ∠ 1 = ∠ A C D − ∠ B C D \angle 1 = \angle ACD - \angle BCD ∠1 = ∠ A C D − ∠ BC D нури C B CB Дар ҳар се ҳолат теорема исбот шуд. ∎
Худатон санҷед: нуқтаи C C C
Кунҷи дарункашида ва камон санҷида бин! Аз нав Мисоли 1. Кунҷи дарункашида 48 ∘ 48^\circ 4 8 ∘
Ҳал. Камон ду маротиба калон аст: A B ⌢ = 2 ⋅ 48 ∘ = 96 ∘ . \overset{\frown}{AB} = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ. A B ⌢ = 2 ⋅ 4 8 ∘ = 9 6 ∘ . ∠ A O B = 96 ∘ . \angle AOB = 96^\circ. ∠ A OB = 9 6 ∘ . Ҷавоб: 96 ∘ . 96^\circ. 9 6 ∘ .
Кор дар синф
Машқҳо 1. Бузургии кунҷҳои марказиро ёбед, агар онҳо ба камонҳои зерини давра такя намоянд:
ба нисфи давра;
ба чоряки давра;
ба 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1
ба 1 6 \dfrac{1}{6} 6 1
ба 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1
ба 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1
2. Кунҷи дарункашида ва кунҷи марказӣ ба ҳамон як камон такя мекунанд. Агар кунҷи марказӣ маълум бошад, кунҷи дарункашидаро ёбед: 1) 30 ∘ ; 30^\circ; 3 0 ∘ ; 60 ∘ ; 60^\circ; 6 0 ∘ ; 90 ∘ ; 90^\circ; 9 0 ∘ ; 120 ∘ ; 120^\circ; 12 0 ∘ ; 150 ∘ . 150^\circ. 15 0 ∘ .
3. Кунҷи дарункашида ба бузургии зерин баробар аст: 1) 25 ∘ ; 25^\circ; 2 5 ∘ ; 40 ∘ ; 40^\circ; 4 0 ∘ ; 22 ∘ 5 ′ ; 22^\circ 5'; 2 2 ∘ 5 ′ ; 60 ∘ ; 60^\circ; 6 0 ∘ ; 74 ∘ 12 ′ . 74^\circ 12'. 7 4 ∘ 1 2 ′ .
4. Камони A B AB A B 84 ∘ 84^\circ 8 4 ∘ A O B AOB A OB A C B ACB A CB (C C C дар камони калони давра).
5. Дар дафтар се ҳолати ҷойгиршавии маркази давраро нисбат ба кунҷи дарункашида кашед ва дар ҳар як расм кунҷи дарункашидаро бо камони такякунандааш нишон диҳед.
6. Нуқтаҳои A , B , C , D A, B, C, D A , B , C , D A C B ACB A CB A C D ACD A C D
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4, 5 ва 6. Дар дафтари хотира таърифҳои камон, кунҷи марказӣ ва кунҷи дарункашида ва теоремаро нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам камони давра, кунҷи марказӣ ва кунҷи дарункашида чист.Ман медонам , ки кунҷи марказӣ ба камони такякунандаи худ баробар аст.Ман метавонам исбот кунам, ки кунҷи дарункашида ба нисфи камони такякунандааш баробар аст. Такрор (2 дақиқа)
Кунҷи берунии секунҷа ба чӣ баробар аст?
Кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу чӣ гунаанд?
Радиусҳои як давра чӣ гунаанд?
Ҷавобҳо
ба суммаи ду кунҷи дарунии бо он ҳамсоя набуда; 2) баробар; 3) баробар.
Вазъият барои андешаронӣ Давра кашед, дар он нуқтаҳои A A A B B B A O B AOB A OB C C C A C B ACB A CB
Таъриф Камони давра — қисми давра, ки дар байни ду нуқтаи давра воқеъ аст. Камони A B AB A B A B ⌢ . \overset{\frown}{AB}. A B ⌢ .
Расми 1. Кунҷи марказии AOB ба камони AB такя мекунад (камон бо сурх нишон дода шудааст). Таъриф Кунҷи марказӣ — кунҷест, ки қуллааш маркази давра ва тарафҳояш радиусҳо мебошанд. Кунҷи марказии A O B AOB A OB A B AB A B такя мекунад.
Таъриф Кунҷи дарункашида — кунҷест, ки қуллааш дар давра мехобад ва тарафҳояш хордаҳо мебошанд.
Теорема Бузургии кунҷи дарункашида ба нисфи бузургии камони ба он такякунанда баробар аст.
Расми 2. Ҳолати 1: маркази O дар тарафи CA-и кунҷи ACB. Оё медонед? Дар исботи ҳолатҳои 2 ва 3 мо аввал ҳолати 1-ро исбот кардем ва сипас дигар ҳолатҳоро ба он овардем. Ин усули маъмули математикист: масъалаи душворро ба масъалаи оддитар мебаранд.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Фарқи кунҷи марказӣ ва кунҷи дарункашида чист? Ба кадоме аз онҳо камони такякунанда баробар аст ва ба кадоме — нисфи он?
Исботи теорема дар ҳолати 1 (маркази O O O C A CA C A ∠ 1 = ∠ A C B , \angle 1 = \angle ACB, ∠1 = ∠ A CB , ∠ 2 = ∠ A O B \angle 2 = \angle AOB ∠2 = ∠ A OB
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 ∠ 2 \angle 2
2
3
4
Ба ҳар қадами исбот асоси онро мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед O B = O C OB = OC OB = OC
→ … кунҷи берунии секунҷа радиусҳои як давра кунҷҳои амудӣ аломати якуми баробарии секунҷаҳо кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу кунҷи марказӣ ба камон баробар аст ∠ O B C = ∠ O C B \angle OBC = \angle OCB ∠ OBC = ∠ OCB
→ … кунҷи берунии секунҷа радиусҳои як давра кунҷҳои амудӣ аломати якуми баробарии секунҷаҳо кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу кунҷи марказӣ ба камон баробар аст ∠ A O B = ∠ O B C + ∠ O C B \angle AOB = \angle OBC + \angle OCB ∠ A OB = ∠ OBC +
→ … кунҷи берунии секунҷа радиусҳои як давра кунҷҳои амудӣ аломати якуми баробарии секунҷаҳо кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу кунҷи марказӣ ба камон баробар аст → … кунҷи берунии секунҷа радиусҳои як давра кунҷҳои амудӣ аломати якуми баробарии секунҷаҳо кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу кунҷи марказӣ ба камон баробар аст
A B
⌢
.
2 1
A D ⌢
∠ 2 = 1 2 D B ⌢ \angle 2 = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{DB} ∠2 = 2 1 D B ⌢ ҳолати 1: маркази давра дар тарафи C D CD C D ∠ A C B = 1 2 ( A D ⌢ + D B ⌢ ) = 1 2 A B ⌢ \angle ACB = \dfrac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DB}\right) = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB} ∠ A CB = 2 1 ( A D ⌢ + D B ⌢ ) = 2 1 A B ⌢ камони A B AB A B A D AD A D D B DB D B CB
∠ A C D = 1 2 A D ⌢ \angle ACD = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AD} ∠ A C D = 2 1 A D ⌢ ∠ B C D = 1 2 B D ⌢ \angle BCD = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{BD} ∠ BC D = 2 1 B D ⌢ ҳолати 1. ∠ A C B = 1 2 ( A D ⌢ − B D ⌢ ) = 1 2 A B ⌢ \angle ACB = \dfrac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AD} - \overset{\frown}{BD}\right) = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB} ∠ A CB = 2 1 ( A D ⌢ − B D ⌢ ) = 2 1 A B ⌢ камони A B AB A B A D AD A D B D BD B D ∠2
∠ 2 = ∠ 1 + ∠ O B C \angle 2 = \angle 1 + \angle OBC ∠2 = ∠1 + ∠ OBC O B = O C OB = OC OB = OC △ B O C \triangle BOC △ BOC ∠ O B C = ∠ 1 \angle OBC = \angle 1 ∠ OBC = ∠1
Пас ∠ 2 = 2 ⋅ ∠ 1 \angle 2 = 2 \cdot \angle 1 ∠2 = 2 ⋅ ∠1
∠ 2 \angle 2 ∠2 A B AB A B ∠ 1 = 1 2 A B ⌢ \angle 1 = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB} ∠1 = 2 1 A B ⌢
∠
OCB
∠ A O B = A B ⌢ \angle AOB = \overset{\frown}{AB} ∠ A OB = A B ⌢
Расми 3. Ҳолати 2: маркази O дар дохили кунҷи ACB; диаметри CD. Расми 4. Ҳолати 3: маркази O берун аз кунҷи ACB; диаметри CD. 
