Мисоли 1. Маълум аст, ки чор нуқта дар як ҳамворӣ намехобанд. Муайян кунем, ки ягон сетои онҳо дар як хати рост ҷойгир шуда наметавонад.
Ҳал. Фарз мекунем, ки сетои онҳо дар як хати рост ҷойгиранд. Ду ҳолат аст:
Зиддият ҳосил шуд, пас фарз нодуруст аст. Ҷавоб: не, сетои дилхоҳи онҳо дар як хат намехобанд.
Мисоли 2. Нишон диҳем: агар хатҳои рости AB ва CD дар як ҳамворӣ набошанд, хатҳои рости AC ва BD низ дар як ҳамворӣ нестанд.
Ҳал. Фарз мекунем, ки ва дар як ҳамвории мехобанд. Аз ин бармеояд, ки нуқтаҳои ҳама дар ҷойгиранд. Ба хатҳои ва аксиомаи татбиқ мекунем: ҳар яке ду нуқтаи худро дар дорад, пас ва Яъне ва дар як ҳамворӣ мехобанд — ин ба шарти масъала зид аст. Пас ва дар як ҳамворӣ нестанд.
Дар охири боби аввал аввалин маълумотро дар бораи ҷойгиршавии нуқта, хат ва ҳамворӣ меорем (дар мавзӯъҳои оянда муфассалтар омӯхта мешавад).
Фигураҳо
Чӣ гуна ҷойгир шуда метавонанд
ду ҳамвории гуногун
ягон нуқтаи умумӣ надоранд ё аз рӯйи як хати рост мебуранд (C4)
ду хати рости гуногун
ягон нуқтаи умумӣ надоранд ё дар як нуқта мебуранд
нуқта ва хат
нуқта дар хат аст ё не
нуқта ва ҳамворӣ
нуқта дар ҳамворӣ аст ё не
хат ва ҳамворӣ
хат дар ҳамворӣ аст ё нуқтаи умумӣ надорад ё ҳамворӣро дар як нуқта мебурад
Хати рост ва ҳамвории дар он ҷойгирнабуда бештар аз як нуқтаи умумӣ дошта наметавонанд: агар ду нуқтаи умумӣ мебуданд, мувофиқи C3 хат дар ҳамворӣ мемонд. Ин ҷавоби пурраи аксиомаи C3 ба саволи ҷойгиршавии хат ва ҳамворӣ аст (расми 2). Ду хати рост, ки нуқтаи умумӣ надоранд, ду хел мешаванд — ин дар 2.4 · 1/2 омӯхта мешавад.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Тарафи BC-и секунҷаи ABC дар ҳамвории α ҷойгир аст. Нуқтаҳои M ва N мувофиқан дар тарафҳои AB ва AC мехобанд ва аз B ва C фарқ мекунанд. Нишон диҳед, ки агар M дар α набошад, N низ дар α нест.
Ду нуқтаи X,Y ва нуқтаи A ҳамвориеро медиҳанд (агар дар як хат нестанд); ин ҳамворӣ α-ро аз рӯйи хат мебурад. Дар ҳамворӣ хат ҳамворро ба ду қисм ҷудо мекунад — аксиомаи планиметрия.
Барои такрор
9. Оё дар секунҷа ҳар медиана аз маркази давраи берункашида мегузарад?
10. Исбот кунед, ки баландиҳои секунҷа ha,hb,hc ва радиуси давраи дарункашидаи он r нобаробарии ha+hb+hc≥9r-ро қаноат мекунонанд.
11. Исбот кунед, ки агар A,B кунҷҳои тези △ABC бошанд ва sinAsinB>21 бошад, кунҷи C ҳам тез аст.
12. Яке аз кунҷҳои секунҷаи росткунҷа ба миёнаи арифметикии ду кунҷи дигар баробар аст. Катетҳои секунҷаро ёбед, агар гипотенузаи он c бошад.
Ҷойгиршавии нуқта, хат ва ҳамворӣ: ду ҳамвории гуногун — нуқтаи умумӣ надоранд ё аз рӯйи хат мебуранд; хат ва ҳамворӣ (хат дар ҳамворӣ нест) — нуқтаи умумӣ надоранд ё як нуқта доранд.
Агар хат ва ҳамворӣ ду нуқтаи умумӣ дошта бошанд, хат дар ҳамворӣ аст (C3).
Саволҳо барои санҷиши дониш
Дар ҷуфт аз ҳамдигар пурсед ва ҷавоб диҳед.
Аксиомаҳои стереометрияро баён кунед ва шарҳ диҳед.
Теоремаро дар бораи хат ва нуқта баён кунед. Дар исботи он кадом аксиомаҳо истифода мешаванд?
Аз ду нуқта, аз якчанд нуқтаи дар як хат буда ё аз як хат чандто ҳамворӣ гузаронидан мумкин аст?
Бо кадом роҳҳо ҳамвориро якқимата муайян кардан мумкин аст?
Ду хати рост ва ду ҳамворӣ чӣ гуна ҷойгир шуда метавонанд?
Кадом аксиома ба саволи ҷойгиршавии хат ва ҳамворӣ ҷавоб медиҳад?
Дар ин дарс
Ман метавонам тасдиқро бо усули «баръакс» (бо зиддият) исбот кунам.
Ман медонам, ки ду нуқта, хат ва ҳамворӣ дар фазо чӣ тавр ҷойгир шуда метавонанд.
Ман метавонам масъалаҳои мавҷудият, шумора ва ҷойгиршавиро бо аксиомаҳо ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
Се роҳи якқимата муайян кардани ҳамвориро номбар кунед.
Агар аз ду ҳамворӣ як нуқтаи умумӣ бошад, чӣ гуфтан мумкин аст?
Хати рост ба ҳамворӣ ду нуқтаи умумӣ дорад. Хулоса чист?
Ҷавобҳо
се нуқтаи дар як хат набуда, хат ва нуқта, ду хати буранда; 2) онҳо хати умумӣ доранд (C4); 3) хат дар ҳамворӣ ҷойгир аст (C3).
Вазъият барои андешаронӣ
Чор нуқта дар як ҳамворӣ намехобанд. Оё метавонад се нуқтаи онҳо дар як хати рост бошанд? Бе расм бо чашм назар карда намефаҳмед — лозим аст, ки бо аксиомаҳо исбот кунем. Ин дарс чунин тарзи андеша — «баръакс» — ро таълим медиҳад.
Фарз мекунем, ки тасдиқи исботшаванда нодуруст аст (баръаксашро қабул мекунем).
Аз ин фарз бо аксиомаҳо ва теоремаҳо мантиқан хулоса мебарорем.
Расми 1. Чор нуқтаи A, B, C, D: се нуқтаи A, B, C ҳамвории α-ро муайян мекунанд, D берун аз он аст.
Нуқтаи чорум ҳам дар ин хат аст. Он гоҳ ҳамаи чор нуқта дар як хат аст ва аз онҳо бешумор ҳамворӣ мегузарад — ин ба шарти масъала зид аст (чор нуқта дар як ҳамворӣ нестанд).
Нуқтаи чорум дар ин хат нест. Он гоҳ аз хат ва ин нуқта ягона ҳамворӣ мегузарад (теоремаи якум), ки ҳар чор нуқтаро дар бар мегирад — боз зиддият ба шарти масъала.
Расми 2. Хати рост ва ҳамворӣ: хат дар ҳамворӣ, нуқтаи умумӣ нест, як нуқтаи умумӣ.
