1.1. Фанни стереометрия ва мафҳумҳои асосии он - Геометрия — синфи 10
Стереометрия чиро меомӯзад
Шумо планиметрияро медонед: он фигураҳоро дар ҳамворӣ меомӯзад (калимаи лотинии planum — ҳамвор ва юнонии metreo — чен мекунам). Акнун ба қисми дигари геометрия мегузарем — стереометрия (юнонии stereos — фазоӣ ва metreo — чен мекунам). Он фигураҳои фазоиро меомӯзад, яъне фигураҳоеро, ки ҳамаи онҳоро дар як ҳамворӣ ҷойгир кардан мумкин нест.
Стереометрия танҳо се чизро меомӯзад: шакл, андоза ва ҷойгиршавии байниҳамдигарии фигураҳои фазоӣ. Дигар хосиятҳоро ба эътибор намегирад. Масалан, дар бораи кубе, ки теғааш 5 см аст, ё параллелепипеде, ки масоҳати сатҳаш 18 см 2 18\ \text{см}^2 18 см 2
Фазо — сеченака
Хатти рост якченака аст, ҳамворӣ — дученака, фазо — сеченака. Чӣ маъно дорад?
Дар хатти рост аз нуқтаи ибтидоии O O O A A A як адад (мусбат ё манфӣ, вобаста ба самт) муайян мешавад.
Дар ҳамворӣ аз
навбатӣ 1.2 · 1/3. Аксиомаҳои стереометрия 1 соат
O O O
ду адад
Дар фазо ба ин ду самт боз як самти сеюм — ба пеш-қафо — илова мешавад. Мавқеи нуқта бо се адад муайян мешавад. Чӣ тавр ин ададҳоро менависанд, дар 5.14 · 1/2 мебинем.
Мафҳумҳои асосӣ Ҳар таъриф мафҳуми нав (масалан, квадрат)-ро ба воситаи мафҳуми аллакай маълум (ромб ё росткунҷа) шарҳ медиҳад; мафҳуми маълум бошад — ба воситаи мафҳумҳои боз ҳам пештар. Занҷири таърифҳо беохир буда наметавонад: охир ба фигураҳое мерасем, ки ба воситаи дигар фигураҳо шарҳ дода намешаванд. Онҳоро бе таъриф қабул мекунем ва мафҳумҳои асосӣ (ибтидоӣ) меномем.
Тасаввуроти мо дар бораи онҳо аз ҳаёти ҳаррӯза аст: зарраи хурд — нуқта, риштаи таранг — хатти рост, сатҳи миз ё оби ором — қисми ҳамворӣ. Вале ин танҳо ишора аст, зеро ҳар ҷисми воқеӣ ҳаҷм дорад: девор ҳам дароз, ҳам баланд ва ҳам ғафс аст. Дар геометрия хатти рост ва ҳамворӣ аз нуқтаҳо иборат ҳастанд, ғафсӣ надоранд ва ба ҳамаи тарафҳо беохир кашида шудаанд (хатти рост — ба ду тараф).
Дар планиметрия як ҳамворӣ буд. Дар стереометрия ҳамвориҳои гуногун зиёданд: дар як хона ҳар девор ва фарш — ҳамвории худро дорад. Дар расм танҳо як қисми ҳамвориро, одатан параллелограмм мекашанд ва мефаҳмонанд, ки ҳамворӣ ба ҳамаи тарафҳо давом мекунад.
Рамзгузорӣ Нуқтаҳоро бо ҳарфҳои калони лотинӣ (A , A, A , B , B, B , C , … C,\dots C , … (a , a, a , b , b, b , c , … c,\dots c , … A B AB A B (α , \alpha, α , β , \beta, β , γ , … \gamma,\dots γ , …
Стереометрия калимаҳоеро истифода мебарад, ки муносибатҳои байни фигураҳоро ифода мекунанд: «ҷойгир аст», «мегузарад», «мебурад», «баробар аст», «тааллуқ дорад». Онҳо низ бе таъриф қабул мешаванд.
Агар хати рости a a a α \alpha α танҳо як нуқтаи умумӣ дошта бошанд, мегӯем: хати рост ҳамвориро мебурад (расми 3, боло). Агар ду ҳамворӣ гуногун бошанд ва ба ҳам бираванд, онҳо ҳамдигарро мебуранд (расми 3, поён): онҳо аз рӯйи як хати рост — хати буриш — бурида мешаванд.
Кубро худатон давр диҳед ва мушоҳида кунед: кадом теғаҳо рах-рах мешаванд ва вақте ки куб давр мезанад, чӣ тағйир меёбад?
Куб: теғаҳои пинҳон санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Кадоме аз ин фигураҳо ё ҷисмҳо дар як ҳамворӣ ҷойгир намешаванд : секунҷа, миз, порча, давра, параллелепипед, китоб, доира, кура, куб, квадрат, телевизор, трапетсия?
2. Ҳамвории α \alpha α B B B
3. Хати рости b b b β \beta β
4. Хати рост ҳамвориро дар нуқта мебурад. Расми мувофиқро кашед ва онро бо рамз нависед.
5. Маълум аст, ки ду нуқтаи хати рости a a a α \alpha α
6. Ду ҳамворӣ ду нуқтаи умумӣ доранд. Дар бораи хати росте, ки ин нуқтаҳоро мепайвандад, чӣ гуфтан мумкин аст?
7. Рӯяи параллелепипед ҳамворӣ шуда метавонад? Қисми ҳамворӣ-чӣ?
8. Ҳамворӣ фазоро ба чанд қисм ҷудо мекунад?
9. Ду ҳамворие, ки ҳамдигарро мебуранд, фазоро ба чанд қисм ҷудо мекунанд?
10. Нуқтаҳои A , A, A , B , B, B , C C C B C BC BC A B = 3,2 AB = 3{,}2 A B = 3 , 2 A C = 4,4 AC = 4{,}4 A C = 4 , 4
11. Чор хати рости a , a, a , b , b, b , c , c, c , d d d a , a, a , b , b, b , c c c b , b, b , c , c, c , d d d
12. Кунҷҳои назди асоси секунҷаи баробарпаҳлу α \alpha α tg α = 4. \operatorname{tg}\alpha = 4. tg α = 4. 25 см 2 25\ \text{см}^2 25 см 2
13. Хати миёнаи трапетсияи баробарпаҳлу, ки дар атрофи доира кашида шудааст, ба 68 68 68 64 64 64
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 6, 7, 8 ва 9 ва вазифаи хонагии онлайн (6 савол). Машқҳои 10–13 — ихтиёрӣ, барои такрор.
Хулоса
Стереометрия шакл, андоза ва ҷойгиршавии байниҳамдигарии фигураҳои фазоиро меомӯзад. Фазо — сеченака: мавқеи нуқта бо се адад муайян мешавад.Мафҳумҳои асосии стереометрия: нуқта, хатти рост ва ҳамворӣ — бе таъриф қабул мешаванд. Ҳамворӣ ба ҳамаи тарафҳо беохир давом мекунад; дар расм онро бо параллелограмм тасвир мекунанд.Рамзҳо: A ∈ α A\in\alpha A ∈ α A ∉ α , A\notin\alpha, A ∈ / α , a ⊂ α a\subset\alpha a ⊂ α a ⊄ α . a\not\subset\alpha. a ⊂ α . мебурад ; ду ҳамворӣ аз рӯйи як хати рост ҳамдигарро мебуранд .
Қисми пинҳоншудаи расм бо хати рах-рах тасвир мешавад.
Саволҳо барои санҷиши дониш Дар ҷуфт ба ҳамдигар савол диҳед ва ҷавоб гӯед.
Мафҳумҳои асосии планиметрияро номбар кунед.
Мафҳумҳои асосии стереометрияро номбар кунед.
Стереометрия чиро меомӯзад?
Сеченака будани фазоро чӣ тавр фаҳмондан мумкин аст?
Муносибатҳои асосии стереометрияро номбар кунед.
Рамзҳои тааллуқ доштан ва тааллуқ надоштанро нависед ва мисол оред.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки стереометрия чиро меомӯзад ва чаро фазо «сеченака» аст.Ман медонам мафҳумҳои асосии стереометрия: нуқта, хатти рост, ҳамворӣ — ва рамзҳои ∈ , \in, ∈ , ∉ , \notin, ∈ / , ⊂ . \subset. ⊂ . Ман метавонам нуқта, хатти рост ва ҳамвориро дар расм тасвир кунам ва ҷойгиршавии онҳоро бо рамз нависам. Такрор (2 дақиқа)
Мафҳумҳои асосии планиметрия кадомҳоянд?
Чанд нуқтаи хатти рост барои муайян кардани он кифоя аст?
Секунҷа, давра, квадрат — ин фигураҳо дар як ҳамворӣ мехобанд? Мисоле биёред, ки дар як ҳамворӣ намехобад.
Ҷавобҳо
нуқта ва хатти рост; 2) ду нуқта; 3) ҳа, мехобанд; ҷисмҳои «ҳаҷмнок» — қуттӣ, кура, хона — дар як ҳамворӣ намегунҷанд.
Вазъият барои андешаронӣ Ба кунҷи синфхона нигаред: ду девор ва фарш — се ҳамворӣ, ки дар як нуқта мепайвандад. Варақи дафтарро аз миёна хам кунед: ду қисми ҳамвор дар як хат мебуранд. Як ҳамвории планиметрия барои чунин фигураҳо кифоя нест.
Чӣ тавр фигураи фазоиро дар варақи ҳамвор дуруст мекашем ва чӣ тавр дар бораи он исбот мекунем? Ин саволи асосии соли таҳсили имсола аст. Дар ин дарс кори худро оғоз мекунем.
Расми 1. Нуқта дар хатти рост, дар ҳамворӣ ва дар фазо: 1, 2 ва 3 адад. Дар хотир доред Мафҳумҳои асосии стереометрия: нуқта , хатти рост ва ҳамворӣ .
Расми 2. Нуқта ва хати рост нисбат ба ҳамворӣ: A дар ҳамворӣ, B берун аз он; хати a дар ҳамворӣ. Таъриф
Агар нуқтаи A A A α \alpha α A A A A ∈ α . A\in\alpha. A ∈ α . A ∉ α . A\notin\alpha. A ∈
Расми 3. Хати рост ҳамвориро дар нуқтаи O мебурад; ду ҳамворӣ аз рӯйи хати c бурида мешаванд. Дар хотир доред Дар расмҳо қисми хат ё ҳамворӣ, ки аз пушти фигураи дигар дида намешавад, бо хати рах-рах тасвир мешавад. Ин қоида ба шумо кӯмак мекунад, ки фигураи фазоиро аз ҳамвор фарқ кунед.
Калимаҳои калидӣ стереометрия фигураи фазоӣ мафҳуми асосӣ нуқта хатти рост ҳамворӣ тааллуқ доштан хатти буриш
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед (✓ — медонам, ✗ — боз такрор мекунам):
Фарқи стереометрия аз планиметрияро шарҳ дода метавонам.
Нуқта, хати рост ва ҳамвориро бо ҳарфҳо ишора мекунам ва ∈ , \in, ∈ , ∉ , \notin, ∈ / , ⊂ \subset ⊂
Хати рости ҳамвориро буранда ва ду ҳамвории ҳамдигарро буранда тасвир карда метавонам.
Ҳамворӣ дар ҳамаи самтҳо беохир давом мекунад ва канор надорад.
Кадом мафҳумҳо мафҳумҳои асосии (ибтидоии) стереометрия мебошанд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A секунҷа B ҳамворӣ C хатти рост D куб E нуқта
Дар расми фазоӣ хати рах-рах чиро нишон медиҳад?
Як ҷавобро интихоб кунед A Хатти рости дарозаш номаълум B Қисми хат ё ҳамвориро, ки аз пушти фигураи дигар дида намешавад C Хатти ба ҳамворӣ перпендикуляр D Хатти ёрирасонро, ки бояд тоза карда шавад
Чанд адад мавқеи нуқтаро дар фазо якқимата муайян мекунад?
Як ҷавобро интихоб кунед A 2 B 4 C 3 D 1
Рамзро бо маъно ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед A ∈ α A\in\alpha A ∈ α
→ … хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир аст хати рости a ба ҳамвории α перпендикуляр аст хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир нест нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ надорад нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ дорад A ∉ α A\notin\alpha A ∈ / α
→ … хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир аст хати рости a ба ҳамвории α перпендикуляр аст хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир нест нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ надорад нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ дорад a ⊂ α a\subset\alpha a ⊂ α
→ … хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир аст хати рости a ба ҳамвории α перпендикуляр аст хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир нест нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ надорад нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ дорад a ⊄ α a\not\subset\alpha a
→ … хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир аст хати рости a ба ҳамвории α перпендикуляр аст хати рости a пурра дар ҳамвории α ҷойгир нест нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ надорад нуқтаи A ба ҳамвории α тааллуқ дорад /
α .
Агар ҳар як нуқтаи хатти рости a a a α \alpha α a a a α \alpha α a ⊂ α . a\subset\alpha. a ⊂ α . a a a α \alpha α a ⊄ α . a\not\subset\alpha. a ⊂ α .
⊂
α
