6.19 · 3/3. Перпендикулярии векторҳо - Геометрия — синфи 10
Перпендикулярии векторҳо
Ду вектори ғайринулӣ перпендикуляр номида мешавад, агар кунҷи байнашон 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec a\perp\vec b a ⊥ b
навбатӣ Такрор ва санҷиш: боби 6 · 1/2. Кори санҷишӣ 1 соат
Исбот. Аз формулаи a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ ∣ a ⃗ ∣ ≠ 0 , |\vec a|\ne0, ∣ a ∣ = 0 , ∣ b ⃗ ∣ ≠ 0 |\vec b|\ne0 ∣ b ∣ = 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 ⟺ cos φ = 0 ⟺ φ = 90 ∘ . \vec a\cdot\vec b=0\iff\cos\varphi=0\iff\varphi=90^\circ. a ⋅ b ■ \blacksquare ■
Пас ин санҷиш хело содда аст: се зарб, ҷамъ ва нулро муқоиса кунед. Масалан, ( 1 ; 2 ; 3 ) (1;\,2;\,3) ( 1 ; 2 ; 3 ) ( 3 ; 0 ; − 1 ) (3;\,0;\,-1) ( 3 ; 0 ; − 1 ) 3 + 0 − 3 = 0. 3+0-3=0. 3 + 0 − 3 = 0. ( 1 ; 0 ; 0 ) , (1;\,0;\,0), ( 1 ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ; 0 ) , (0;\,1;\,0), ( 0 ; 1 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ; 1 ) (0;\,0;\,1) ( 0 ; 0 ; 1 )
Мисоли 1. Координатаҳои вектори b ⃗ \vec b b a ⃗ = ( − 1 ; 1 ; − 2 ) \vec a=(-1;\,1;\,-2) a = ( − 1 ; 1 ; − 2 ) a ⃗ ⋅ b ⃗ = 12. \vec a\cdot\vec b=12. a ⋅ b = 12.
Ҳал. b ⃗ = λ a ⃗ = ( − λ ; λ ; − 2 λ ) . \vec b=\lambda\vec a=(-\lambda;\;\lambda;\;-2\lambda). b = λ a = ( − λ ; λ ; − 2 λ ) . a ⃗ ⋅ b ⃗ = λ ( 1 + 1 + 4 ) = 6 λ = 12 , \vec a\cdot\vec b=\lambda(1+1+4)=6\lambda=12, a ⋅ b = λ = 2. \lambda=2. λ = 2. Ҷавоб: b ⃗ = ( − 2 ; 2 ; − 4 ) . \vec b=(-2;\,2;\,-4). b = ( − 2 ; 2 ; − 4 ) .
Мисоли 2. Барои кадом m m m a ⃗ = ( m ; 7 ; − 2 ) \vec a=(m;\,7;\,-2) a = ( m ; 7 ; − 2 ) b ⃗ = ( − 3 ; m ; 2 ) \vec b=(-3;\,m;\,2) b = ( − 3 ; m ; 2 )
Ҳал. a ⃗ ⋅ b ⃗ = m ⋅ ( − 3 ) + 7 ⋅ m + ( − 2 ) ⋅ 2 = − 3 m + 7 m − 4 = 4 m − 4. \vec a\cdot\vec b=m\cdot(-3)+7\cdot m+(-2)\cdot2=-3m+7m-4=4m-4. a ⋅ b = m ⋅ ( − 3 ) + 7 ⋅ m + ( − 2 ) ⋅ 2 = − 3 m + 7 m − 4 = 4 m − 4. m = 1. m=1. m = 1. Ҷавоб: m = 1. m=1. m = 1.
Мисоли 3. Исбот кунед, ки секунҷаи бо қуллаҳои A ( 1 ; 1 ; 1 ) , A(1;\,1;\,1), A ( 1 ; 1 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 2 ) , B(2;\,3;\,2), B ( 2 ; 3 ; 2 ) , C ( 2 ; 0 ; 2 ) C(2;\,0;\,2) C ( 2 ; 0 ; 2 )
Ҳал. Векторҳои тарафҳоро аз A A A A B → = ( 1 ; 2 ; 1 ) , \overrightarrow{AB}=(1;\,2;\,1), A B = ( 1 ; 2 ; 1 ) , A C → = ( 1 ; − 1 ; 1 ) . \overrightarrow{AC}=(1;\,-1;\,1). A C = ( 1 ; − 1 ; 1 ) . A B → ⋅ A C → = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 1 = 0. \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot1=0. A B ⋅ A C A B ⊥ A C , AB\perp AC, A B ⊥ A C , A A A A B 2 = 6 , AB^2=6, A B 2 = 6 , A C 2 = 3 , AC^2=3, A C 2 = 3 , B C 2 = 9 = 6 + 3. BC^2=9=6+3. B C 2 = 9 = 6 + 3. ■ \blacksquare ■
Худатон кӯшиш кунед Перпендикулярии векторҳо санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Барои кадом қимати n n n a ⃗ = ( 2 ; − 1 ; 3 ) , \vec a=(2;\,-1;\,3), a = ( 2 ; − 1 ; 3 ) , b ⃗ = ( 1 ; 3 ; n ) ; \vec b=(1;\,3;\,n); b = ( 1 ; 3 ; n ) ; a ⃗ = ( n ; − 2 ; 1 ) , \vec a=(n;\,-2;\,1), a = ( n ; − 2 ; 1 ) , b ⃗ = ( n ; 2 n ; 4 ) ? \vec b=(n;\,2n;\,4)? b = ( n ; 2 n ; 4 )?
2. Се нуқта дода шудаанд: A ( 1 ; 0 ; 1 ) , A(1;\,0;\,1), A ( 1 ; 0 ; 1 ) , B ( − 1 ; 1 ; 2 ) , B(-1;\,1;\,2), B ( − 1 ; 1 ; 2 ) , C ( 0 ; 2 ; − 1 ) . C(0;\,2;\,-1). C ( 0 ; 2 ; − 1 ) . O z Oz O z D ( 0 ; 0 ; c ) D(0;\,0;\,c) D ( 0 ; 0 ; c ) A B → \overrightarrow{AB} A B C D → \overrightarrow{CD} C D
3. Исбот кунед, ки секунҷаи қуллаҳояш дар нуқтаҳои A ( 2 ; 1 ; 3 ) , A(2;\,1;\,3), A ( 2 ; 1 ; 3 ) , B ( 7 ; 4 ; 5 ) , B(7;\,4;\,5), B ( 7 ; 4 ; 5 ) , C ( 4 ; 2 ; 1 ) C(4;\,2;\,1) C ( 4 ; 2 ; 1 )
4. Координатаҳои вектори b ⃗ \vec b b a ⃗ = ( 1 ; 1 ; − 1 2 ) \vec a=\left(1;\,1;\,-\dfrac12\right) a = ( 1 ; 1 ; − 2 1 ) k ⃗ = ( 0 ; 0 ; 1 ) \vec k=(0;\,0;\,1) k = ( 0 ; 0 ; 1 ) ∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec b|=3 ∣ b ∣ = 3
5. Кунҷи байни векторҳои a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ c ⃗ \vec c c a ⃗ + b ⃗ + c ⃗ \vec a+\vec b+\vec c a + b + ∣ a ⃗ ∣ = 1 , |\vec a|=1, ∣ a ∣ = 1 , ∣ b ⃗ ∣ = 2 , |\vec b|=2, ∣ b ∣ = 2 , ∣ c ⃗ ∣ = 3 |\vec c|=3 ∣ c ∣ = 3
6. Векторҳои a ⃗ = ( 2 ; 1 ; 0 ) \vec a=(2;\,1;\,0) a = ( 2 ; 1 ; 0 ) b ⃗ = ( − 1 ; 3 ; 2 ) \vec b=(-1;\,3;\,2) b = ( − 1 ; 3 ; 2 ) λ \lambda λ λ a ⃗ + b ⃗ \lambda\vec a+\vec b λ a + b b ⃗ \vec b b
7. Аз нуқтаи додашуда ба ҳамворӣ ду моил гузаронида шудааст, ки яке аз дигараш 26 26 26 12 12 12 40 40 40
8. Аз нуқтаи A A A A B AB A B B B B C C C B 1 B_1 B 1 C 1 C_1 C 1 B B 1 BB_1 B B 1 A B = 6 AB=6 A B = 6 A C : C C 1 = 2 : 5 AC:CC_1=2:5 A C : C C 1 = 2 : 5
9. Вектори воҳидиеро ёбед, ки ба вектори a ⃗ = ( 1 ; 2 ; − 4 ) \vec a=(1;\,2;\,-4) a = ( 1 ; 2 ; − 4 )
10. Маълум аст, ки ҳангоми параллелкӯчонӣ нуқтаи A ( 4 ; − 1 ; 3 ) A(4;\,-1;\,3) A ( 4 ; − 1 ; 3 ) B ( − 1 ; 2 ; 7 ) B(-1;\,2;\,7) B ( − 1 ; 2 ; 7 )
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4–6 ва вазифаи хонагии онлайн (6 савол). Машқҳои 7–10 — барои такрор, ихтиёрӣ.
Хулоса
a ⃗ ⊥ b ⃗ ⟺ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0 a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos φ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi a ⋅ b = cos 90 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0 Барои параметр: зарби скалярӣ мекунем, ба нул баробар мекунем, муодиларо ҳал мекунем.
Росткунҷа будани секунҷа: аз як қулла ду вектор мебарем; зарби скалярӣ нул — кунҷи рост.
Саволҳо барои санҷиши дониш Дар ҷуфт аз ҳамдигар пурсед ва ҷавоб диҳед.
Зарби скалярии ду вектор чӣ тавр муайян карда мешавад?
Хосиятҳои зарби скалярии векторҳоро номбар кунед.
Кунҷи байни ду вектори ғайринулӣ бо кадом формула ҳисоб мешавад?
Перпендикулярии ду вектор чӣ хел фаҳмида мешавад? Онро чӣ тавр муқаррар кардан мумкин аст?
Дар ин дарс
Ман медонам шарти перпендикулярии ду вектор: a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a\cdot\vec b=0. a ⋅ b = 0. Ман метавонам параметрро аз шарти перпендикулярӣ ёбам ва перпендикулярии векторҳоро санҷам.Ман метавонам бо координатаҳо исбот кунам, ки секунҷа росткунҷа аст. Такрор (2 дақиқа)
a ⃗ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , \vec a=(1;\,2;\,3), a = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b ⃗ = ( 2 ; − 1 ; 0 ) . \vec b=(2;\,-1;\,0). b = ( 2 ; − 1 ; 0 ) . a ⃗ ⋅ b ⃗ = ? \vec a\cdot\vec b=? a ⋅ b = ? cos φ \cos\varphi cos φ a ⃗ ⋅ b ⃗ , \vec a\cdot\vec b, a ⋅ b cos 90 ∘ = ? \cos90^\circ=? cos 9 0 ∘ = ? Ҷавобҳо
2 − 2 + 0 = 0 ; 2-2+0=0; 2 − 2 + 0 = 0 ; cos φ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ; \cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}; cos φ = ∣ Теорема Ду вектори ғайринулии a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b
Расми 1. Секунҷаи ABC аз рӯ, аз самти перпендикуляр ба ҳамвории он дида шудааст: AB · AC = 0, кунҷи A рост аст. Дарозиҳо: AB = √6, AC = √3, BC = 3. Калимаҳои калидӣ зарби скалярӣ кунҷи байни векторҳо векторҳои перпендикуляр шарти перпендикулярӣ вектори воҳидӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед (✓ — медонам, ✗ — боз такрор мекунам):
Зарби скалярро аз координатаҳо ва аз дарозиҳо бо кунҷ ҳисоб мекунам.
Кунҷи байни векторҳоро аз cos φ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} cos φ = ∣ a
Векторҳои ( 1 ; 2 ; 3 ) (1;\,2;\,3) ( 1 ; 2 ; 3 ) ( 3 ; 0 ; − 1 ) (3;\,0;\,-1) ( 3 ; 0 ; − 1 )
Қуллаҳои секунҷа: K ( 0 ; 0 ; 0 ) , K(0;\,0;\,0), K ( 0 ; 0 ; 0 ) , L ( 2 ; 1 ; − 2 ) , L(2;\,1;\,-2), L ( 2 ; 1 ; − 2 ) , M ( 1 ; 2 ; 2 ) . M(1;\,2;\,2). M ( 1 ;
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D секунҷа росткунҷа нест
Кадом ҷуфтҳо перпендикуляранд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A ( 2 ; 2 ; 1 ) (2;\,2;\,1) ( 2 ; 2 ; 1 ) ( 1 ; 1 ; 1 ) (1;\,1;\,1) ( 1 ; 1 ; 1 )
B ( 3 ; − 1 ; 2 ) (3;\,-1;\,2) ( 3 ; − 1 ; 2 )
C D =
0 ⟺
cos φ =
0 ⟺
φ =
9 0 ∘ .
λ ( 1 +
1 +
4 ) =
6 λ =
12 ,
=
1 ⋅
1 +
2 ⋅
( − 1 ) +
1 ⋅
1 =
0.
,
∣
∣
∣
;
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0. \vec a\cdot\vec b=0. a ⋅ b = 0. ∣∣
∣
Перпендикулярии векторҳоро санҷида, параметрро аз a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a\cdot\vec b=0 a ⋅ b = 0
=
( 4 ; k ; 1 )
=
( 2 ; − 1 ; 2 )
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 18. \vec a\cdot\vec b=18. a ⋅ b = 18.
2
;
2
)
.
( 1 ; 3 ; 1 )
( 1 ; 0 ; 0 ) (1;\,0;\,0) ( 1 ; 0 ; 0 ) ( 0 ; 5 ; 7 ) (0;\,5;\,7) ( 0 ; 5 ; 7 )
( 1 ; 1 ; 1 ) (1;\,1;\,1) ( 1 ; 1 ; 1 ) ( 1 ; − 2 ; 1 ) (1;\,-2;\,1) ( 1 ; − 2 ; 1 )
