6.17. Вектор дар фазо ва координатаҳои он - Геометрия — синфи 10
Вектор дар фазо
Мисли ҳамворӣ, порчаи самтдор вектор номида мешавад. Агар яке аз нуқтаҳои порча ибтидо ва дигаре интиҳо ҳисоб шавад, вектори A B → \overrightarrow{AB} A B A A A B B B баробар аст, агар самташон як хел ва дарозиашон баробар бошад. Ҳамон як вектор аз ҳар нуқта гузошта мешавад.
Ҳамаи ин аз ҳамворӣ ба фазо осон мегузарад: як координатаи иловагӣ илова мешавад.
Расми 1 нишон медиҳад: ин се адад — дарозии се теғаи параллелепипеде, ки диагоналаш
навбатӣ 6.18 · 1/2. Ҷамъи векторҳо 1 соат
A B AB A B
Вектори нулӣ (A = B A=B A = B — вектори 0 ⃗ = ( 0 ; 0 ; 0 ) ; \vec 0=(0;\,0;\,0); 0 = ( 0 ; 0 ; 0 ) ; 0 0 0 a ⃗ \vec a a a ⃗ ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) \vec a(a_1;\,a_2;\,a_3) a ( a 1 ; a 2 ; a a ⃗ = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) . \vec a=(a_1;\,a_2;\,a_3). a = ( a 1 ; a 2
Баробарии векторҳо Чаро? Бигзор A B → = D C → . \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. A B = D C . A B C D ABCD A BC D A C AC A C B D BD B D x A + x C = x B + x D , x_A+x_C=x_B+x_D, x A + x C = x B + x x B − x A = x C − x D . x_B-x_A=x_C-x_D. x B − x A = x C − x y y y z z z
Мисол. A ( 2 ; 7 ; − 3 ) , A(2;\,7;\,-3), A ( 2 ; 7 ; − 3 ) , B ( 1 ; 0 ; 3 ) , B(1;\,0;\,3), B ( 1 ; 0 ; 3 ) , C ( − 3 ; − 4 ; 5 ) C(-3;\,-4;\,5) C ( − 3 ; − 4 ; 5 ) D ( − 2 ; 3 ; − 1 ) . D(-2;\,3;\,-1). D ( − 2 ; 3 ; − 1 ) .
A B → = ( 1 − 2 ; 0 − 7 ; 3 − ( − 3 ) ) = ( − 1 ; − 7 ; 6 ) , \overrightarrow{AB}=(1-2;\;0-7;\;3-(-3))=(-1;\,-7;\,6), A B = ( 1 − 2 ; 0 − 7 ; 3 − ( − 3 )) = ( − 1 ; − 7 ; 6 ) , D C → = ( − 3 − ( − 2 ) ; − 4 − 3 ; 5 − ( − 1 ) ) = ( − 1 ; − 7 ; 6 ) . \overrightarrow{DC}=(-3-(-2);\;-4-3;\;5-(-1))=(-1;\,-7;\,6). D C = ( − 3 − ( − 2 ) ;
Координатаҳо мувофиқ омаданд, пас A B → = D C → . \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. A B = D C . B C → = A D → \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} BC = A D ( − 4 ; − 4 ; 2 ) (-4;\,-4;\,2) ( − 4 ; − 4 ; 2 ) A B C D ABCD A BC D
Мисоли 1. Нуқтаҳои A ( 4 ; 3 ; 0 ) , A(4;\,3;\,0), A ( 4 ; 3 ; 0 ) , B ( − 1 ; 2 ; 4 ) , B(-1;\,2;\,4), B ( − 1 ; 2 ; 4 ) , C ( 0 ; 2 ; 5 ) C(0;\,2;\,5) C ( 0 ; 2 ; 5 ) D ( x ; y ; z ) D(x;\,y;\,z) D ( x ; y ; z ) A B → = C D → . \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. A B = C D .
Ҳал. A B → = ( − 1 − 4 ; 2 − 3 ; 4 − 0 ) = ( − 5 ; − 1 ; 4 ) , \overrightarrow{AB}=(-1-4;\;2-3;\;4-0)=(-5;\,-1;\,4), A B = ( − 1 − 4 ; 2 − 3 ; 4 − 0 ) = ( − 5 ; − 1 ; 4 ) , C D → = ( x − 0 ; y − 2 ; z − 5 ) . \overrightarrow{CD}=(x-0;\;y-2;\;z-5). C D = ( x − 0 ; y − 2 ; z
x − 0 = − 5 , y − 2 = − 1 , z − 5 = 4. x-0=-5,\qquad y-2=-1,\qquad z-5=4. x − 0 = − 5 , y − 2 = − 1 , z − 5 = 4. Аз ин ҷо x = − 5 , x=-5, x = − 5 , y = 1 , y=1, y = 1 , z = 9. z=9. z = 9. Ҷавоб: D ( − 5 ; 1 ; 9 ) . D(-5;\,1;\,9). D ( − 5 ; 1 ; 9 ) .
Дарозии вектор Дарозии вектори a ⃗ ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) \vec a(a_1;\,a_2;\,a_3) a ( a 1 ; a 2 ; a 3 )
∣ a ⃗ ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}. ∣ a ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Агар a ⃗ = A B → , \vec a=\overrightarrow{AB}, a = A B , A A A B B B
∣ A B → ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . Ду вектор баробар аст ⇔ самти яксон ва дарозии баробар ⇔ координатаҳои баробар. Дарозии баробар барои баробарии векторҳо кифоя нест : ( 3 ; 0 ; 0 ) (3;\,0;\,0) ( 3 ; 0 ; 0 ) ( 0 ; 3 ; 0 ) (0;\,3;\,0) ( 0 ; 3 ; 0 )
Вектори дарозиаш 1 1 1 воҳидӣ меноманд. Масалан, a ⃗ ( 1 2 ; 1 2 ; 1 2 ) \vec a\left(\dfrac12;\,\dfrac12;\,\dfrac1{\sqrt2}\right) a ( 2 1 ; 2 1 ; 2 1 )
∣ a ⃗ ∣ = 1 4 + 1 4 + 1 2 = 1. |\vec a|=\sqrt{\frac14+\frac14+\frac12}=1. ∣ a ∣ = 4 1 + 4 1 + 2 1 = 1. Мисоли 2. Дарозии векторҳои a ⃗ = ( 4 ; 1 ; − 2 ) \vec a=(4;\,1;\,-2) a = ( 4 ; 1 ; − 2 ) b ⃗ = ( 1 ; 2 ; z ) \vec b=(1;\,2;\,z) b = ( 1 ; 2 ; z ) z z z
Ҳал. ∣ a ⃗ ∣ = 16 + 1 + 4 = 21 , |\vec a|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}, ∣ a ∣ = 16 + 1 + 4 = 21 , ∣ b ⃗ ∣ = 1 + 4 + z 2 = 5 + z 2 . |\vec b|=\sqrt{1+4+z^2}=\sqrt{5+z^2}. ∣ b ∣ = 1 + 4 + z 2 ∣ a ⃗ ∣ 2 = ∣ b ⃗ ∣ 2 |\vec a|^2=|\vec b|^2 ∣ a ∣ 2 = ∣ b 21 = 5 + z 2 , 21=5+z^2, 21 = 5 + z 2 , z 2 = 16 , z^2=16, z 2 = 16 , z = ± 4. z=\pm4. z = ± 4. ( 1 ; 2 ; 4 ) (1;\,2;\,4) ( 1 ; 2 ; 4 ) ( 1 ; 2 ; − 4 ) (1;\,2;\,-4) ( 1 ; 2 ; − 4 ) a ⃗ \vec a a z z z
Худатон кӯшиш кунед Вектор ва координатаҳои он санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Координатаҳои вектори A B → \overrightarrow{AB} A B A ( 2 ; − 1 ; − 7 ) A(2;\,-1;\,-7) A ( 2 ; − 1 ; − 7 ) B ( 3 ; − 4 ; − 2 ) ; B(3;\,-4;\,-2); B ( 3 ; − 4 ; − 2 ) ; A ( 0 ; − 1 ; 6 ) A(0;\,-1;\,6) A ( 0 ; − 1 ; 6 ) B ( 4 ; 8 ; − 3 ) B(4;\,8;\,-3) B ( 4 ; 8 ; − 3 )
2. Дарозии вектори a ⃗ = ( 4 ; − 1 ; − 2 ) \vec a=(4;\,-1;\,-2) a = ( 4 ; − 1 ; − 2 )
3. Нуқтаҳои A ( 1 ; 0 ; 1 ) , A(1;\,0;\,1), A ( 1 ; 0 ; 1 ) , B ( − 1 ; 1 ; 2 ) , B(-1;\,1;\,2), B ( − 1 ; 1 ; 2 ) , C ( 0 ; 2 ; − 1 ) C(0;\,2;\,-1) C ( 0 ; 2 ; − 1 ) D ( x ; y ; z ) D(x;\,y;\,z) D ( x ; y ; z ) A B → \overrightarrow{AB} A B C D → \overrightarrow{CD} C D
4. Дарозии векторро, ки ибтидояш нуқтаи A ( 0 ; − 2 ; 3 ) A(0;\,-2;\,3) A ( 0 ; − 2 ; 3 ) B ( 4 ; 8 ; − 1 ) B(4;\,8;\,-1) B ( 4 ; 8 ; − 1 )
5. Векторҳои a ⃗ = ( 2 ; 1 ; − 4 ) \vec a=(2;\,1;\,-4) a = ( 2 ; 1 ; − 4 ) b ⃗ = ( x ; − 1 ; 2 ) \vec b=(x;\,-1;\,2) b = ( x ; − 1 ; 2 ) x x x
6. Дарозии вектори n ⃗ = ( − a ; a ; − 2 a ) \vec n=(-a;\,a;\,-2a) n = ( − a ; a ; − 2 a ) 6 6 6
7. Нуқтаҳои A ( 1 ; 0 ; 2 ) , A(1;\,0;\,2), A ( 1 ; 0 ; 2 ) , B ( 2 ; 1 ; 0 ) , B(2;\,1;\,0), B ( 2 ; 1 ; 0 ) , C ( 1 ; 2 ; 0 ) C(1;\,2;\,0) C ( 1 ; 2 ; 0 )
Нишондод Агар A B C D ABCD A BC D A B → = D C → . \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. A B = D C . D D D
8. Катетҳои секунҷаи росткунҷа ба 7 7 7 24 24 24 α \alpha α 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
9. Дар тири O z Oz O z A ( 2 ; 1 ; 1 ) A(2;\,1;\,1) A ( 2 ; 1 ; 1 ) B ( 4 ; − 2 ; 2 ) B(4;\,-2;\,2) B ( 4 ; − 2 ; 2 )
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4–6 ва вазифаи хонагии онлайн (6 савол). Машқҳои 7–9 — ихтиёрӣ.
Хулоса
Вектор — порчаи самтдор. Координатаҳои A B → \overrightarrow{AB} A B интиҳо минус ибтидо , ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) . (x_2-x_1;\;y_2-y_1;\;z_2-z_1). ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) . Ду вектор баробар аст ⇔ координатаҳои мувофиқашон баробаранд ⇔ самти яксон ва дарозии баробар.
Дарозӣ: ∣ a ⃗ ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ; |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}; ∣ a ∣ = a 1 2
Саволҳо барои санҷиши дониш Дар ҷуфт аз ҳамдигар пурсед ва ҷавоб диҳед.
Чаро дар фазо порчаи самтдорро вектор меноманд?
Координатаҳои вектор чӣ тавр муайян карда мешаванд?
Шарти баробарии ду вектор бо координатаҳояшон чӣ тавр навишта мешавад?
Дарозии вектор бо ёрии координатаҳояш чӣ тавр муайян карда мешавад?
Вектори нулӣ чист? Оё он самт дорад? Дарозиаш чанд аст?
Вектори воҳидӣ чӣ тавр номида мешавад?
Дар ин дарс
Ман медонам , ки вектор дар фазо чист, ва координатаҳои онро аз координатаҳои ибтидо ва интиҳо ҳисоб мекунам.Ман метавонам дарозии векторро ёбам, баробарии векторҳоро аз рӯи координатаҳояшон санҷам ва вектори воҳидиро шиносам.Ман мефаҳмам , ки чаро ҳамаи ин аз ҳамворӣ ба фазо бо як адади дигар (координатаи сеюм) мегузарад. Такрор (2 дақиқа)
Масофаи байни A ( 1 ; 2 ; 3 ) A(1;\,2;\,3) A ( 1 ; 2 ; 3 ) B ( 4 ; 6 ; 3 ) B(4;\,6;\,3) B ( 4 ; 6 ; 3 )
Дар ҳамворӣ вектори A B → \overrightarrow{AB} A B A ( 1 ; 2 ) A(1;\,2) A ( 1 ; 2 ) B ( 4 ; 6 ) B(4;\,6) B ( 4 ; 6 )
Кадом ду вектор баробар номида мешаванд?
Ҷавобҳо
9 + 16 + 0 = 5 ; \sqrt{9+16+0}=5; 9 + 16 + 0 = 5 ; A B → = ( 3 ; 4 ) , \overrightarrow{AB}=(3;\,4), Вазъият барои андешаронӣ Дрон аз нуқтаи A A A B B B ҳамон ҷойивазкуниро иҷро кунад, чӣ тавр мефаҳмем, ки ин ҳамон «вектор» аст?
Қоида Агар ибтидои вектор A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) A(x_1;\,y_1;\,z_1) A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) B(x_2;\,y_2;\,z_2) B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) координатаҳои вектори A B → \overrightarrow{AB} A B x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 x_2-x_1,\quad y_2-y_1,\quad z_2-z_1 x 2 − x 1 , y 2 − y минус ибтидо». Менависанд: A B → = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) . \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\;y_2-y_1;\;z_2-z_1). A B = ( x 2 − x
Расми 1. Вектори AB дар параллелепипед: координатаҳояш — се фарқ x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁. Қоида Ду вектор баробар аст, агар координатаҳои мувофиқашон баробар бошанд; ва баръакс.
Расми 2. Векторҳои баробари AB ва DC: ABCD — параллелограмм. Бештар омӯзед Дар дарси оянда векторҳоро ҷамъ мекунем ва ба адад зарб мекунем. Ҳама амалҳо дар координатаҳо анҷом дода мешаванд, пас аз ҳамворӣ фарқи калон нест: як координатаи иловагӣ.
Калимаҳои калидӣ вектор ибтидо ва интиҳо координатаҳои вектор векторҳои баробар дарозии вектор вектори воҳидӣ вектори нулӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед (✓ — медонам, ✗ — боз такрор мекунам):
Координатаҳои A B → \overrightarrow{AB} A B A A A B B
Вектори ( 1 3 ; 1 3 ; 1 3 ) \left(\dfrac13;\,\dfrac13;\,\dfrac13\right) ( 3 1 ; 3 1 ; 3
Нуқтаҳои A ( 1 ; 2 ; 3 ) , A(1;\,2;\,3), A ( 1 ; 2 ; 3 ) , B ( 2 ; 4 ; 6 ) , B(2;\,4;\,6), B ( 2 ; 4 ; 6 ) , C ( 0 ; 1 ; − 1 ) , C(0;\,1;\,-1), C ( 0 ;
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
3
)
;
a 3
)
.
D
,
D
.
−
4
−
3 ; 5 −
( − 1 )) =
( − 1 ; − 7 ; 6 ) .
−
5 ) .
=
∣ 2
+
a 2 2
+
a 3 2
;
∣ A B → ∣ = |\overrightarrow{AB}|= ∣ A B ∣ = Вектори воҳидӣ
Вектори нулӣ
( 0 ; 0 ; 0 ) . (0;\,0;\,0). ( 0 ; 0 ; 0 ) . A B
=
( 3 ; 4 ) ,
∣ A B → ∣ = 5 ; |\overrightarrow{AB}|=5; ∣ A B ∣ = 5 ; 1
,
z 2
−
z 1
1
;
y 2
−
y 1 ; z 2 −
z 1 ) .
B
Баробарии векторҳоро аз рӯи координатаҳо месанҷам ва нуқтаи нопайдоро меёбам.
Дарозии векторро ҳисоб мекунам ва вектори воҳидиро мешиносам. m
>
0.
1
)
1
;
−
1
)
,
D ( 1 ; 3 ; 2 ) D(1;\,3;\,2) D ( 1 ; 3 ; 2 ) A B → = C D → \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} A B = C D
A D → = B C → \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} A D = BC
A C → = C D → \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD} A C = C D
A B → = D C → \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} A B = D C
