6.19 · 2/3. Кунҷи байни векторҳо - Геометрия — синфи 10
Кунҷи байни ду вектор
Ду вектори ғайринулии a ва b-ро аз як нуқта мегузорем. Кунҷи байни ду нур () — аст (расми 1).
навбатӣ6.19 · 3/3. Перпендикулярии векторҳо
1 соат
0∘≤φ≤180∘
кунҷи байни векторҳо
Зарби скалярӣ ва косинуси кунҷ
Исбот. Аз як нуқта (A) AC=a ва AB=b мегузорем; он гоҳ BC=a− (расми 1). Секунҷаи ABC-ро мегирем: тарафҳояш ∣a∣, ∣b∣ ва ∣a−b∣, кунҷи байни ду тарафи аввал — φ.
Ҳолатҳои хос: агар φ=0∘ ё φ=180∘, секунҷа вайрон мешавад, лекин (1) боз ҳам дуруст аст. Дар ҳақиқат, он гоҳ b=λa ва a⋅b= дар тарафи рости (1): ∣a∣⋅∣λ∣∣a (ишора + барои λ>0, φ=0∘; ишора − барои λ<0, φ=180∘). Исбот шуд. ■
Формулаи (1) ду тарафи «ба ҳам нигаронида» дорад: дар як тараф — координатаҳо, дар тарафи дигар — дарозиҳо ва кунҷ. Он се истифода дорад:
Бо координатаҳо:
cosφ=a12+a22+a32⋅b12+b22+b32a1b1+a2b2+a3b.
Аз ин ҷо: a⋅b>0⟺φ тез; a⋅b<0 кунд (барои векторҳои ғайринулӣ).
Мисол. Кунҷи байни a=(1;2;2) ва b=(2;3;6)-ро ёбед.
Ҳал. a⋅b=2+6+12=20, ∣a∣=3, ∣b∣=7. cosφ=2120≈0,952, φ≈17,8∘ (бо калкулятор).
Бо калкулятор: тугмаи cos−1 (ё arccos) кунҷро аз косинусаш медиҳад; калкулятор бояд дар реҷаи дараҷа бошад. Арккосинусро дар алгебра дақиқтар меомӯзед; ҳоло танҳо ин тугмаи калкулятор лозим аст.
Мисоли 1. Бузургии кунҷи байни векторҳои a=(0,4;α;1) ва b=(0;2;−1) ба 6π баробар аст. Қимати α-ро ёбед.
23=cos6π=∣a∣∣b∣a0,4+α2+1⋅0+4+11,4+α2⋅5 Аз ин ҷо 2(2α−1)=15⋅1,4+α2. Муодилаи иррационалиро ҳал мекунем: ҳар ду тарафро ба квадрат мебарем:
16α2−16α+4=21+15α2,α2−16α−17=0. Решаҳо: α1=−1 ва α2=17. Санҷиш: тарафи рост мусбат аст (решаи квадрат), пас тарафи чап низ бояд мусбат бошад: 2α−1>0. Ин ҷо α1=−1 мувофиқ нест (2⋅(−1)−1=−3<0) — решаи бегона. Ҷавоб: α=17.
Худатон кӯшиш кунед
Кунҷи байни векторҳосанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
1. Куби ABCDA1B1C1D1-ро ба системаи координатӣ гузоред: A — ибтидо, нимтирҳои AB, AD, AA1 — тирҳои мусбат, теғаи куб 1. Кунҷи байни векторҳои AC ва AB1-ро ёбед.
2. Кунҷи байни векторҳои a ва b ба 150∘ баробар аст, ∣a∣=3, ∣b∣=2. Бузургии зеринро ёбед: 1) a⋅b; 2) ∣a+b∣ 3) ∣a−b∣ 4) (a+2b
3. Кунҷи байни векторҳои a=(α;1;6/5) ва b=(3;1;0) ба 4π баробар аст. Бузургии α-ро ёбед.
4. Нуқтаҳои A(0;1;−1), B(1;−1;2), C(3;1;0), D(2;−3;1) дода шудаанд. Косинуси кунҷи байни векторҳои AB ва CD-ро ёбед.
5. Се нуқта дода шудаанд: A(0;1;−1), B(1;−1;2), C(3;1;0). Косинуси кунҷи C-и секунҷаи ABC-ро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–5. Вазифаи хонагии онлайн дар охири мавзӯи 6.19 меояд.
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаи a⋅b=∣a∣∣b∣cosφ ва исботи онро.
- Ман метавонам зарби скалярро аз дарозиҳо ва кунҷ ёбам ва кунҷи байни векторҳоро аз координатаҳо ҳисоб кунам.
- Ман метавонам муодилаи иррационалиро, ки ҳангоми ҳисоби кунҷ пайдо мешавад, ҳал кунам ва решаи бегонаро рад кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- a=(1;−1;2), b=(3;2;−1). a⋅b=?
- Теоремаи косинусҳоро барои секунҷаи ABC нависед (BC2=…).
- (a−b)-ро бо нависед.
Ҷавобҳо
- 3−2−2=−1; 2) BC2=AB 3)
ТеоремаЗарби скалярии ду вектор ба ҳосили зарби дарозиҳояшон ва косинуси кунҷи байнашон баробар аст:
a⋅
Расми 1. Секунҷа дар болои векторҳои a, b ва a − b: кунҷи φ дар қуллаи A.
- Теоремаи косинусҳо: ∣a−b
- 1) Аз ∣a∣, ∣b ва ёфтани
Агар a⋅b<0 бошад, кунҷи байни векторҳои ғайринулии ва кунд аст.
Косинуси кунҷи байни ду вектор ба −22 баробар аст. Кунҷ чанд дараҷа аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Кунҷи байни a=(α;1;1) ва ба баробар аст. Баъди ба квадрат бардоштан ва ҳосил шуд. Кадоме решаи бегонаро бояд рад кард?
Як ҷавобро интихоб кунед
λ
∣
∣2
;
∣
⋅
(±1)=
3
⟺
φ
⋅
=
=
2α−1
.
2
;
2
;
)
⋅
2
a⋅b 2
+
AC2−
2AB⋅
ACcosA;
∣a∣2−2a⋅b+∣b∣2.
=
cosφ.(1)
∣2
=
Аз натиҷаи 2∘ (дарси қаблӣ): ∣a−b∣2=∣a∣2−2a⋅b+∣b∣2. Ҳар ду тарафи чап якхелаанд, пас тарафҳои рост низ ба ҳам баробаранд. ∣a∣2+∣b∣2-ро хат мезанем ва ба −2 тақсим мекунем: a⋅b ∣
a⋅b. 2) Аз a⋅b, ∣a∣, ∣b∣ ёфтани φ: cosφ=∣a∣∣b 3) Санҷидани перпендикулярӣ (φ=90∘⟺a⋅b=0) — дарси оянда. ∣
=
4,
a⋅b-ро
=
(1;4;8)
∘
b
=
(1;1;0)
α=0, зеро a⋅b=1=0
α=−4, зеро a⋅b=α+1<0, вале cos60∘>0
=
∣
.